Riassunto esame Analisi dei dati, prof Finesso, libro consigliato Appunti di probabilità, Finesso

1. Teoria Assiomatica

- Spazio di probabilità (Ω, F, P)

• Ω - insieme degli esiti detto spazio campionario
• F - famiglia sottoinsiemi di Ω
• P - funzione che mappa elementi di F in [0,1] ovvero:

• P: F ⟶ [0,1], misura positiva
• normalizzata a 1

1.1 Spazio Campionario Ω

Insieme degli esiti (quello che osservo) ⟶ eventi elementari.

Può essere un insieme numerico ma anche non numerico.

• Ω = {0, 1}
• Ω = {Testa, Croce}

Cardinalità = n° di elementi dell'insieme (si indica con il modulo |Ω|)

Può essere:

• Finita ⟶ Ω = {0, 1, 2}
• Infinita numerabile ⟶ pari a quelli di ℕ ⟶ Ω = {0, 1, 2, ...}
• Continua ⟶ pari a quelli di ℝ ⟶ Ω = ℝ ⟶ [0, ∞)
• Superiore a quella di ℝ ⟶ Ω ≠|≠ [0, 2π) ⟶ |R|

Se:

1. Ω ≤ |ℕ| ⟶ Discreti
2. Ω ≥ |ℝ| ⟶ Continui

Terminologia Spazio Campionario

1. Esiti (o eventi elementari) ⟶ elementi ω dello spazio campionario Ω
2. Eventi ⟶ sottoinsiemi di Ω

ω ∈ Ω ⟶ Evento certo

∅ ∈ Ω ⟶ Evento impossibile

OPERAZIONI ELEMENTARI SUGLI EVENTI

1. COMPLEMENTARE

   E^C - esiti w∈Ω che non appartengono a E

2. INTERSEZIONE

   E ∩ F - esiti w∈Ω che appartengono sia ad E che ad F

3. UNIONE

   E ∪ F - esiti w∈Ω che appartengono ad almeno uno degli eventi E e F

4. DIFFERENZA

   E \ F - esiti che appartengono ad E ma non a F

   E \ F = E ∩ F^C

5. DIFFER. SIMMETRICA

   E Δ F - esiti che appartengono o ad E o a F, ma non ad entrambi

   E Δ F = (E ∩ F^C) ∪ (F ∩ E^C)

LEGGI

1. COMMUTATIVE
   1. E ∩ F = F ∩ E
   2. E ∪ F = F ∪ E
2. ASSOCIATIVE
   1. E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F) ∪ G
   2. E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F) ∩ G
3. DI ASSORBIMENTO
   1. E ∪ (E ∩ F) = E
   2. E ∩ (E ∪ F) = E
4. DI IDEMPOTENZA
   1. E ∪ E = E
   2. E ∩ E = E

9

P(∪ E_i) ≤ ∑ P(E_i)

10

P(E ∪ F ∪ G) = P(E) + P(F) + P(G)

− P(E ∩ F) − P(E ∩ G) − P(F ∩ G)

+ P(E ∩ F ∩ G)

11

P(E ∪ F ∪ G ∪ H) = P(E) + P(F) + P(G) + P(H)

− P(E ∩ F) − P(E ∩ G) − P(E ∩ H) − P(F ∩ G) − P(F ∩ H) − P(G ∩ H)

+ P(E ∩ F ∩ G) + P(E ∩ F ∩ H) + P(E ∩ G ∩ H) + P(F ∩ G ∩ H)

− P(E ∩ F ∩ G ∩ H)

12

P(E Δ F) = P(E) + P(F) − 2 ⋅ P(E ∩ F)

1.4 Possibili scelte di P

> Misura empirica

Definizione (Misura empirica)

Si ripete m volte l'esperimento E, registrando ad ogni prova l'evento elementare osservato. Sia (w_i1, w_i2, ..., w_im) la sequenza delle m osservazioni. Per ogni E ∈ F sia:

M_E = frequenza di E nelle m prove = numero di w_i ∈ E

La mappa p̂_m : F → R che associa ad ogni E ∈ F il numero reale

p̂_m(E) = M_E/m = frequenza relativa di E nelle m prove

è detta misura di probabilità empirica

La probabilità empirica dipende da m volte cui si ripete l'esperimento.

Esempio

Ω = {T, C}

E = esce T

lim_m→∞ p̂_m(E) = lim_m→∞ M_E/m = 1/2

• Per riempire la 1^a scatola si devono scegliere k₁ gettoni da n ->

        ^mC_k

• 2^a scatola: deve scegliere k₂ gettoni dai rimanenti ->

        ^m-k₁C_k2

• 3^a scatola: deve scegliere k₃ gettoni dai rimanenti ->

        ^m-k₁-k₂C_k3

• m^a scatola deve scegliere k_m gettoni dai rimanenti ->

        ^{m-k₁-...-k_m-1}C_km

                                     =

                                                                                  ^m!/_{k1! k2!...km!}

Combinazioni (non conta l'ordine)

• Con ripetizione: m scatole distinte
• k gettoni identici da allocare
• nessun vincolo di riempimento
• ogni scatola può contenere da 0 a k gettoni

M + k - 1C_k

• Senza ripetizione: m scatole distinte
• k gettoni identici da allocare
• ogni scatola può contenere 0 o 1 gettoni
• Poiché i gettoni sono indistinguibili si devono contare le combinazioni, ovvero D(k, k) come si era fatto per il corrispondente caso del campionamento

m!C_k

3.4 FORMULE DELLA PROBAB. TOTALE E DI BAYES

→ FORMULA DELLA PROBABILITÀ TOTALE

TEOREMA

Sia _E, _F, _P uno spazio di probabilità ed _F ∈ _F un evento con _P(_F) > 0, allora per ogni _E ∈ _E:

P(_E) = P(_E|_F) P(_F) + P(_E|_{F^C) P(F^C)}

In generale se \{_Fk\}^m_k=1 è una partizione di Ω con _P(_Fk) > 0 per ogni k, vale:

P(_E) = ^m∑_k=1 P(_E|_Fk) P(_Fk)

OSSERVAZIONE

P(_e1 = _R) = P(_e2 = _R) e voglio sia nell'estrazione con reinserimento sia senza reinserimento.

→ FORMULA DI BAYES

Mi permette di scambiare la condizione passando da P(_A|_B) a P(_B|_A). Quindi:

P(_Fk|_E) = P(_E|_Fk)_P(_Fk) / P(_E) = ^m∑_k=1 P(_E|_Fk) P(_Fk)

3.5 EVENTI INDIPENDENTI

DEFINIZIONE (Independent)

Gli eventi _E, _F ∈ _F si dicono indipendenti se:

P(_{E ∩ F}) = P(_E) P(_F)

Nel qual caso scriveremo _E⊥ _F

Due eventi sono indipendenti se il risultato del secondo evento non dipende dal primo. (⇒ NON SEMPRE ATTENZIONE!)

OSSERVAZIONI

1. L'indipendenza è simmetrica _E⊥ _F allora anche _F⊥ _E