Riassunto esame Analisi dei dati, prof Finesso, libro consigliato Appunti di probabilità, Finesso

1. Teoria Assiomatica

• Spazio di probabilità _{(Ω, F, P)}

dove:

1. Ω = insieme degli esiti detto spazio campionario
2. F = famiglia di sottoinsiemi di Ω

Ha struttura di algebra

3. P = Funzione che mappa elementi di F in [0, 1] ovvero:

p : F → [0,1], misura

• positiva
• normalizzata a 1

1.1 Spazio Campionario Ω

Insieme degli esiti (quello che osservo) → eventi elementari.

Può essere un insieme numerico ma anche non numerico

Ω = {0,1} Ω = {Testa, Croce}

Cardinalità = n° di elementi dell'insieme (si indica con il modulo |Ω|)

Può essere:

1. finita Ω = {0,1,2}
2. infinita numerabile pari a quelli di N Ω = {0,1,2,...}
3. continua pari a quelli di R Ω = R₊ = [0,∞)
4. superiore a quella di R Ω = ]0,20[ → R

Se:

1. Ω ≤ |N| → discreti
2. Ω ≥ |R| → continui

Terminologia Spazio Campionario

1. Esiti (o eventi elementari) elementi w dello spazio campionario Ω
2. Eventi = sottoinsiemi di Ω

Ω ⊂ Ω → evento certo

∅ ∈ Ω → evento impossibile

Teoria Assiomatica

Spazio di probabilità: (Ω, F, P)

• Ω - insieme degli esiti detto spazio campionario
• F - famiglia di sottoinsiemi di Ω
• P - funzione che mappa elementi di F in [0,1] ovvero: p: F → [0,1], misura
  • Positiva
  • Normalizzata a 1

1.1 Spazio Campionario Ω

Insieme degli esiti (quello che osservo) → eventi elementariPuò essere un insieme numerico, ma anche non numerico

• Ω = {0,1}
• Ω = {Testa, Croce}

Cardinalità = n° di elementi dell'insieme (si indica con il modulo |Ω|)Può essere:

• Finita - Ω = {0,1,2}
• Infinita numerabile - pari a quelli di N → Ω = {0,1,2,...}
• Continua - pari a quelli di R → Ω = R₊ = [0,∞)
• Superiore a quella di R - Ω = [0,2^ω) → |R|

Se:

1. Ω ≤ |N| → Discreti
2. Ω ≥ |R| → Continui

Terminologia Spazio Campionario

1. Esiti (o eventi elementari) - elementi ω dello spazio campionario Ω
2. Eventi - sottoinsiemi di Ω

• Ω ⊂ Ω → Evento certo
• Φ ∈ Ω → Evento impossibile

OPERAZIONI ELEMENTARI SUGLI EVENTI

1. COMPLEMENTARE _c

   esiti w ∈ Ω che non appartengono ad E

2. INTERSEZIONE E ∩ F

   esiti w ∈ Ω che appartengono sia ad E che ad F

3. UNIONE E ∪ F

   esiti w ∈ Ω che appartengono ad almeno uno degli eventi E e F

4. DIFFERENZA E \ F

   esiti che appartengono ad E ma non a F

   E \ F = E ∩ F^c

5. DIFFER. SIMMETRICA E Δ F

   esiti che appartengono o ad E o a F, ma non ad entrambi

   E Δ F = (E ∪ F) \ (E ∩ F)

LEGGI

1. COMMUTATIVE

   1. E ∩ F = F ∩ E
   2. E ∪ F = F ∪ E

2. ASSOCIATIVE

   1. E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F) ∪ G
   2. E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F) ∩ G

3. DI ASSORBIMENTO

   1. E ∪ (E ∩ F) = E
   2. E ∩ (E ∪ F) = E

4. DI IDEMPOTENZA

   1. E ∪ E = E
   2. E ∩ E = E

⑤ Di Identità

1. E ∪ ∅ = E
2. E ∩ Ω = E

⑥ Distributive

1. E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F) ∪ (E ∩ G)
2. E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G)

⑦ De Morgan

1. (E ∩ F)^c = E^c ∪ F^c
2. (E ∪ F)^c = E^c ∩ F^c

Osservaz.

Qualsiasi espressione che consiste di complementazioni, intersezioni, unioni, differenze e differenze simmetriche di due eventi si può esprimere utilizzando esclusivamente intersezioni e complementi (oppure unioni e complementi). Attraverso per esempio le Leggi di De Morgan.

⇒ Decomposizioni di eventi in unioni di eventi mutuamente esclusivi

1. Partizione di Ω = una partizione di Ω è una famiglia {E_n}_{n=1}^∞ di eventi mutuamente esclusivi la cui unione è Ω disgiunti
2. Decom