Riassunto esame Analisi 1, docente Gavioli

Name: Riassunto esame Analisi 1, docente Gavioli
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Author: massy271

Revisionato il 21/09/2026

di massy271

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Gli argomenti trattati sono i seguenti:
5.[Successioni numeriche]:
Limitatezza, monotonia, successioni convergenti e divergenti, limitatezza di una successione convergente, successioni indeterminate, limite di una successione monotona, alcuni limiti notevoli, caratterizzazione sequenziale del limite di una funzione.
6.[Serie numeriche]:
Serie convergenti, divergenti, indeterminate, la seria geometrica, carattere della serie a termini positivi, la condizione necessaria di convegenza, divergenza della serie armonica classica, la serie armonica generalizzata, criterio del confronto: diretto ed in forma asintotica, criterio del rapporto e della radice, criterio di Leibniz, convergenza di una serie in campo complesso.
7.[Continuità]:
Definizione, classificazione delle discontinuità, conservazione della cotinuità tramite le operazioni elementari e la composizione, continuità dele funzioni fondamentali, proprietà delle funzioni continue: i teoremi di Weiestrass, degli zeri, dei valori intermedi, continuità delle funzioni monotone, relazione tra continuità, iniettività e monotonia, continuità della funzione inversa, il concetto di uniforme continuità, il teorema di Heine-Cantor.
8.[Calcolo differenziale]:
Definizione di derivata e suo significato geometrico, retta tangente al grafico di una funzione, relazione tra continuità e derivabilità, derivate delle funzioni fondamentali, regole di derivazione: derivata di una somma, di un prodotto, della funzione reciproca, composta, inversa, i teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, relazione tra monotonia e segno della derivata prima, funzioni concave e convesse, relazione tra convessità e monotonia della derivata prima, derivata seconda, punti di flesso."> Riassunto per l' esame di Analisi 1, basato su appunti personali presi a lezione e studio del testo consigliato dal docente Gavioli : "Elementi di analisi matematica uno, Paolo Marcellini - …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gavioli Andrea

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2015-2016

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Cap 5 - Limiti di successioni

Successione

Successione f: N -> R

Può essere data in due forme:

Forma esplicita a_n = 1/n
Forma (implicita) per ricorrenza

0! = 1

n! = n(n-1)!

L'unico limite che conviene considerare è:

lim a_n = l

n->oo l e R

Si può avvicinare in qualsiasi modo.

∀ε > 0 ∃μ e R : ∀n > μ |a_n - l| < ε

Si può esprimere come:

l - ε < a_n < l + ε

Dato un certo valore μ in poi trovo un n che è compreso nella fascia. ∀ε > 0 ∃n_ε e N : ∀n > n_ε; |a_n - l| < ε

Cap 5 - Limiti di successioni

Successione

Successione f: N -> R

Può essere data in due forme:

Forma esplicita a_n = 1/n
Forma (implicita) per ricorrenza

0! = 1

n! = n(n-1)!

L'unico limite che conviene considerare è:

lim a_n = l

n->infinito

l e R

Si può avvicinare in qualsiasi modo.

∀ε > 0 ∃μ ∈ R : ∀n > μ |a_n - l| < ε

Si può esprimere come:

l - ε < a_n < l + ε

Dato un certo valore μ in poi trovo un n che è compreso nella fascia. ∀ε > 0 ∃n_ε ∈ N: ∀n > n_ε; |a_n - l| < ε

c è una quantità arbitraria che non cambia la situazione.

Esempio di funzione oscillante

lim n->oo (-1)ⁿ/n = 0

V e > 0 E p e R : V n > p | (-1)ⁿ/n - 0 | < e

|(-1)ⁿ/n - 0| = (-1)ⁿ/n = 1/n

1/n < e n > 1/e -> p

Il meno va via perché il modulo è 1.

p = 1/e

n_e = [1/e] + 1 ma non serve determinato e.

Tipica funzione oscillante.

Esempio con seno

lim n->oo (n + sen n)/(n³ - n² + 1) = 0

V e > 0 E p e R : | (n + sen n)/(n³ - n² + 1) - 0 | < e

V n > 0

|(n + sen n)/(n³ - n² + 1)| = (n + sen n)/(n³ - n² + 1)

l.e.D. essendo n compreso tra 1 e -1, sono positivi.

Ora faccio delle maggiorazioni

sen n < n

n³ - n² + 1 > n³ - n² = n²(n - 1) > n² V n > 1

Quindi:

1/(n³ - n² + 1) < 1/n²

(n + sen n)/(n³ - n² + 1) < (n + n)/n² = 2/n < e

n > 2/e

e qual valore

dal quale inizio

a trovare punti

compresi nella

fascia.

Limite infinito positivo

limn->oo a_n = + oo

Vx e R 3mu e R: Vn > mu a_n > M

(ha senso con M>0)

Fa quello che vuole

poi va all'infinito

limn->oo eⁿ = + oo

Vx e R 3mu e R: Vn > mu eⁿ > M

eⁿ > M

n > ln M

mu = ln M

valutazione soddisfatta

Limite infinito negativo

lim a_n = -infty

n->+infty

u in R ∴p ∀n>p a_n < M

(ha senso fare la verifica con M<0)

J(l,e) = { ]l-x, l+x[ l in R ]x, +infty[ l = +infty ]-infty, x[ l = -infty

∀J(l,e): ∃p ∀n>N a_n in J(l,e)

Teorema: unicità del limite

Teo.] Unicità del limite

Se il limite esiste è unico

Suppongo per assurdo che:

lim a_n = a ; lim a_n = b b != a

scelto 0 < e < |b-a|/2

2e < |b-a| = |b-a_n + a_n-a| ≤≤ |b-a_n| + |a_n-a| < e + e Assurdo

e < e n = max{mu₁, mu₂}

Scrivere:

lim a_n = a

forall e > 0 ∃ mu₁: forall n > mu₂ |a_n-a| < e

lim a_n = b

forall e > 0 ∃ mu₂: forall n > mu₂ |a_n-b| < e

Successioni limitate

Introduzione

Successioni limitate

Introduzione:

regolari { convergente: lim a_n = l, l e R

divergente: lim a_n = +/- infinito

non regolari: non esiste lim a_n

Definizione

Def.

a_n è limitata superiormente se:

esiste M e R: a_n <= M per ogni n e N

a_n è limitata inferiormente se:

esiste M e R: a_n >= M per ogni n e N

a_n è limitata se:

esiste M e R: |a_n| <= M per ogni n e N

Teo.

Ogni successione convergente è limita

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