Riassunto esame Analisi 1, docente Gavioli

Cap. 9 integrale 1 parte

Sia f : [a,b] → R limitata

Andiamo a definire un numero che determineremo col simbolo: ^b∫_a f(x) dx, il quale rappresenti nel caso f > 0, l'area del "Trapezoide"

T = {(x,y) ∈ R² | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

Si chiama suddivisione dell'intervallo [a,b] un insieme finito di punti:

P = {x₀, x₁, ..., x_n} dove si suppone:

x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b

Tali punti suddividono [a,b] in un intervallo:

[x_i-1, x_i], i = 1, ..., n

Su ciascuno dei quali potremo considerare i valori:

Cap. 9 integrale 1 parte

Sia f : [a,b] -> R limitata

Andiamo a definire un numero che determineremo col simbolo: ∫_a^b f(x) dx, il quale rappresenti nel caso f > 0, l'area del "Trapezoide"

T = {(x,y) ∈ R² | a <= x <= b, 0 <= y <= f(x)}

Si chiama suddivisione dell'intervallo [a,b] un insieme finito di punti:

P = {x₀, x₁, ..., x_n} dove si suppone:

x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b

Tali punti suddividono [a,b] in un intervallo:

[x_i-1, x_i], i = 1, ..., n

Su ciascuno dei quali potremo considerare i valori:

m_i = inf { f(x) ; x_i-1 ≤ x ≤ x_i }

M_i = sup { f(x) ; x_i-1 ≤ x ≤ x_i }

Somma inferiore e somma superiore

Si chiama somma inferiore associata alla funzione f ed alla suddivisione P, il numero:

S^-(f;P) = Σ_i=1ⁿ m_i (x_i - x_i-1)

Si chiama somma superiore associata alla funzione f ed alla suddivisione P, il numero:

S⁺(f;P) = Σ_i=1ⁿ M_i (x_i - x_i-1)

Alcune proprietà

Denoto con Δ la famiglia di tutte le suddivisioni dell'intervallo di [a,b].

• 1) ∀P ∈ Δ S^-(f;P) ≤ S⁺(f;P)

Infatti:

m_i ≤ M_i => m_i(x_i - x_i-1) ≤ M_i(x_i - x_i-1) => Σ_i=1ⁿ S^-(f;P) ≤ S⁺(f;P)

• 2) ∀P,Q ∈ Δ Se P ≤ Q => S^-(f;P) ≤ S^-(f;Q)

Aggiungendo punti

• 3) ∀P,Q ∈ Δ P ≤ Q => S⁺(f;P) ≥ S⁺(f;Q)

V P,Q in D

S^-(f;P) <= S⁺(f;Q)

Infatti:

S^-(f;P) <= S^-(f;P u Q) <= S⁺(f;P u Q) <= S⁺(f;Q)

P <= P u Q

Q <= P u Q

Poiché la disuguaglianza:

S^-(f;P) <= S⁺(f;Q) vale V P,Q in D

Tenendo fissa Q e facendo variare P si ottiene:

sup_{P in D} S^-(f;P) <= S⁺(f;Q)

Facendo ora variare Q ottengo:

sup_{P in D} S^-(f;P) <= inf_{Q in D} S⁺(f;Q)

Integrale inferiore e integrale superiore

Posto ora:

• Integral da a b f(x) dx = sup_{P in D} S^-(f;P) -> integrale inferiore di f su [a,b]
• Integral da a b f(x) dx = inf_{Q in D} S⁺(f;Q) -> integrale superiore di f su [a,b]

Diremo che f è integrabile secondo Riemann su [a,b] se:

^*∫_a^b f(x) dx = ^*∫_a^b f(x) dx

Ed il loro comune valore sarà:

∫_a^b f(x) dx

R([a,b]) ← Funzioni integrabili secondo Riemann su [a,b]

Proprietà fondamentale dell'integrale

• F ∈ R k ∈ R ⇒ kf ∈ R e ∫_a^b kf(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx
• F,g ∈ R ⇒ f+g ∈ R e ∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx
• F ∈ R([a,b]) e a < c < b ⇒ f_|[a,c] ∈ R([a,b]) e f_|[c,b] ∈ R([b,c])
• ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx
• Attività rispetto all'intervallo

Monotonia dell'integrale

4) Monotonia dell'integrale

f, g e R e f <= g => _a^b f(x) dx <= _a^b g(x) dx.

f(x) <= g(x) Vx e [a,b]

Significato geometrico nel caso generale.

Se