Riassunto di Elettrotecnica

Richiami sugli operatori vettoriali

Gradiente

Def: funzione scalare → vettore ∇φ: campo scalare φ ∇φ·^→m = ^lim_dm→0 (dφ/dm) φ = ∫_A^B ∇φ·d^→s = φ(B) − φ(A) inerte; ∮_C ^→u·d^→l = 0

Divergenza

Dei: vettore → scalare Sia ∆V un volume delimitato da una superficie chiusa ∆S e sia φ il flusso di ^→u attraverso ∆S ∇ · ^→u = ^lim_∆V→0 (φ(ū) / ∆V) ∇ · ^→u > 0 se volume è una sorgente ∇ · ^→u < 0 se volume è un pozzo ∇ · ^→u = 0 campo solenoidale (tante linee entrano quante ne escono)

Teorema della divergenza o Gauss - Ostrogradski

Il flusso del vettore ^→u attraverso una superficie chiusa S è pari all'integrale della divergenza di ∇ · ^→u sul volume racchiuso da S ∬_S ^→u·^→n ds = ∬_V ∇·^→u dv

Rotore

Def: vettore → vettore Dei: ∆S superficie aperta avente come contorno γ Sia Φ(a) le circuito-arrività in lungo γ, allora: ∇×^→u·^→m = ^lim_∆S→0 (Φ(a) / ∆S) dove Φ(a) = ∬_S ^→u·d^→l

Teorema di Stokes

∬_S ∇×^→u·d^→s = ∮_C ^→u·d^→l

Da cui si deduce che: 1) I flussi di ∇×^→u attraverso due superfici qualsiasi che abbiano lo stesso contorno γ sono uguali. 2) Rotore → quindi vettore solenoidale. 3) Se ^→u è conservativo (origine stesso rotore è definita sulla curva γ allora ∇×^→u = 0 (non obbligo una notazione imposta dal campo di avere un rotore)

RICHIAMI SULLE NOZIONI PRINCIPALI DI ELETTROMAGNETISMO

Per una carica puntiforme in moto nel vuoto vale

VETTORE POLARIZZAZIONE ELETTRICA

• P = lim _ΔV→0 (Δp/ΔV) = momento di dipolo elettrico (C·m) - polarizzazione elettrica del mezzo (C/m²)

VETTORE MAGNETIZZAZIONE

• M = lim _ΔV→0 (Δm/ΔV) = momento di dipolo magnetico (A·m²) - magnetizzazione del mezzo (A/m)

VETTORE SPOSTAMENTO ELETTRICO

• D = ε₀E + P

VETTORE IND. MAGNETICA (CAMPO MAGNETICO)

• B = μ₀(H + M) - Induzione magnetica
• H = B/μ₀ - M - Campo magnetico

P = ε₀ χ_e E

M = χ_m H

RIASSUNTO:

• P = ε₀ χ_e E
• M = χ_m H
• D = ε_e E + P
• D = ε₀ ε_r E
• B = μ₀(H + M)
• B = μ₀ μ_r H

ε_r = 1 + χ_e

μ_r = 1 + χ_m

Costanti:

• ε₀ = costante dielettrica del vuoto (8.854×10^-12 F/m)
• ε_r = costante dielettrica relativa (adimensionale)
• μ₀ = permeabilità magnetica nel vuoto (1.256×10^-6 H/m)
• μ_r = permeabilità relativa del mezzo (adimensionale)
• χ_e = suscettività elettrica (adim.)
• χ_m = suscettività magnetica (adim.)

Relazioni di legame materiali:

• Per i mezzi lineari: B = μH, D = εE

Teoria dei circuiti

Condizioni esterne per un circuito

_dB/_dt = 0;

_dD/_dt = 0

∃ ^{- edd} = ^b ⌈ B ⌉^ds ↔

E conservativo

E = -∇γ

(facendo questa attrazione posso considerare il campo conservativo)

∃⌈ _dB/_dt ⌉^mds = 0

(solenoidale) per B esterno a re

∃ J ⌈ds⌉ = 0

(J e'^{- un verso selezionico})

J = ∃(E ± ^te)

per una J eest e solo dov esto ovce nella combinazionin l'asculele

Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT)

Per una qualsiasi sequenza chiusa di nodi, la somma algebrica delle tensioni (tra due nodi successivi) e nulla.

- V_AB+ V_BC+V_DC-V_DA = 0

Legge di Kirchhoff alle correnti (LKC)

Per ogni superficie chiusa che interese universalmente le componenti tracci componenti e non componenti stesse, la somma algebrica delle correnti all'interno e nulla.

S'aj considerando in primo luogo uno superficie chiusa ed acadinda al sue interno il sue basi.

Potenza assorbita da un componente

P_a(t) = ∑ V_j i_j

P(t) = dE/dt

V_AB = ^b⌈ E ⌉^dd

P(t) = dQ/dt = V I

P_a(t)' = ∑ V_in i_j

P_a(t)" = ∑ V_j i_j

(DM: ispeto che →P_a(t) = P_a(t)' - P_a(b))

V_AB + V_d -V_j' = 0 → V_t' = V_d + V_AB

P_a(t)'

= ∑ V_j' i_j - ∑ (V_j' + V_AB) i_j = ∑ V_j' i_j + ∑ V_AB i_j

P_a(t) = P_a(t)' + V_j ∑

i_j = LKC = 0

P_a(t)" = P_a(t)' = P_a(t)

CONDENSATORE

C = capacità [F]

C = ϵ₀S/d

ϵ = ϵ₀e_m^d

i = C^dv/_dt LEGGE COSTITUTIVA

i₀ è una corrente di spostamento se ∂/∂t = 0 i = 0

Dim:

iV = C^dv/_dt

Ricordando che P_o(t) = P(v(t)) = Δ^t = C^dv/_dt (ovviamente il meno è linea are)

V = ¹/_C∫^t₀ I(t)dt

⇒

₡in grado di immagazzinare energia elettrostatica

₡da comprenda ha individuo

E_a = ∫^t1_t0 P_a(t)dt = ∫^t1_t0 γv_dt

= ∫^t1_t0 v C^dv/_dt dt = ∫^t1_t0 ^dv/_dt(¹/₂ Cv²)dt = ¹/₂ Gv²

L_pa(t)= ^d/_dt(¹/₂ Cv²)

Perciò è un componente passivo

C_eqserie = (Σ ¹/_Cj)^-1

C_eq parallelo = Σ C_j