Riassunto corso Calcolo numerico (Prof. Mazzia)

Aritmetica di macchina

Introduzione

Aritmetica di macchinax ∈ ℝ x = K infinite cifre nella parte frazionaria. Lo numero in base 10 X₁₀ = Xm*10^-1 + Xm_-1*10^-2 + ... X_-4*10^-4. X₂ = Xm_2n + Xm₄*2^-n-4.

Passaggio da base 2 a base 10

X₂ = 101,01

Passaggio da base 10 a base 2

X₁₀ = 5.25

Parte intera: 5: 2 = 2, 2: 1 = 1

Parte frazionaria: 0.25: 2 = 0.5, 0.5: 2 = 1.0, 0.2: 2 = 0.4.

X₂ = 101.01

Esempio

X₁₀ = 1/10 (0.1)₁₀ = [0.0001100110011...]₂

Numeri in base 10 e base 2

Aritmetica di macchinax ∈ ℝ x = K infinite cifre nella parte frazionaria. Lo numero in base 10 X₁₀ = 1032.57 = 1.10³ + 0.10³ + 3.10¹ + 2.10⁰ + 5.10^-1 + 7.10^-2. Il calcolatore funziona in base 2 ed esegue tutte le operazioni in base 2.

Conversione tra basi

X₂ = X_m2ⁿ + X_m-12^n-1 ... X₀2⁰ + X₁2^-1 + X₂2^-2 dove X_m, X_m-1, ... sono 0 o 1 (Fino all'intero e precedente alla base).

Passaggio da base 2 a base 10 X₂ = 101.01 = 1.2² + 0.2¹ + 1.2⁰ + 0.1.2^-1 + 1.2^-2 4 + 0 + 1 + 0.25₁₀ (5.25)₁₀.

Dettaglio delle conversioni

Passaggio da base 10 a base 2 X₁₀ = 5.25 = 5 + 0.25 → parte frazionaria + parte intera.

• Parte intera: 5 : 2 = 2 resto 1 → X₀
• 2 : 2 = 1 resto 0 → X₁
• 1 : 2 = 0 resto 1 → X₂

• Parte frazionaria: 0.25.2 = 0.5 parte intera = 0 → X₁
• 0.5.2 = 1.0 parte intera = 1 → X₂
• 0.0.2 = 0.0 parte intera = 0 → X₃

X₂ = 101.01

Esempi di conversione

Esempio: X₁₀ = 1/10 = 0.1 numero con finite cifre decimalip.

• p.1 0:2 = 0 resto 0 = X₀
• pf 0.4.2 = 0.2 parte intera = 0 = X₁
• 0.2.2 = 0.4 parte intera = 0 → X₂
• 0.4.2 = 0.8 parte intera = 0 → X₃
• 0.8.2 = 1.6 parte intera = 1 → X₄
• 0.6.2 = 1.2 parte intera = 1 → X₅
• 0.2.2 = 0.4 parte intera = 0 → X₆

(0,1)₁₀ = [0.0001100110011...]₂ |0.0001|... effetto di errore nel calcolatore

Rappresentazione in virgola mobile

Rappresentazione in Virgola Mobile Normalizzata Standard IEEE

X₀ = 525.35 = 52.53 ∙ 10¹ = 5.2535 ∙ 10² = 5253.5 ∙ 10^-1

X₁₀ = (segno) f base e esponente

f: parte intera 1.cifre per la parte intera

1_e ∈ NX = 1.f ∙ 2^e

Esempi di rappresentazione

1. Scrivere il numero 1.00010010₂ in base 10.

1 ∙ 2⁷ + 0 ∙ 2⁶ + 0 ∙ 2⁵ + 0.2⁴ + 1 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 0 ∙ 2^-1 + 0 ∙ 2^-2 + 1 ∙ 2^-3

2⁷ + 2³ + 2^-4 = 128 + 8 + 0.25 = [136.25]₁₀

2. Scrivere il numero (765.625)₁₀ in base 2.

Parte intera: 765:2 = 382 resto 1 Parte decimale: 0.625 parte intera.

Dettagli sulla rappresentazione in floating point

Tutti i calcolatori f = ±f₁, f₂, …, f_n ed e = ±e₁, e₂, … e_e.

Abbiamo n cifre per la mantissa in base 2 e WHO per esponente. Le cifre vengono chiamate bits (binary digits).

Un numero in floating point viene così descritto.

1. X = ±1 ∙ 2^e ∙ (x₀∙ 2^-1 + x₁∙ 2^-2 + x₂∙ 2^-3 + … + x_n∙ 2^-n)

1 bit: 0/1 “sì/no”.

f₀ non viene messo in memoria poiché sempre uguale, ma c’è!

Può essere schematizzato nel seguente modo:

Segno, cifre dell'esponente, cifre della mantissa. Ogni cella rappresenta un bit, di conseguenza può essere 0 oppure 1.

d_x nonché lo spazio per memorizzare il numero.

Viene messo prima l'esponente della mantissa poiché se si vogliono confrontare due numeri, il primo andiamo a confrontare l'ordine di grandezza (e quindi l'esponente) e poi la parte decimale (i.e. la mantissa).

Abbiamo quindi 1 cella per il segno, n celle per l'esponente, n celle per la mantissa.

Le cellatte vengono assegnate in base a dei compromessi: bits, singola precisione di cui 32, doppia precisione 64 di cui.

Gli esponenti possono essere positivi o negativi (5.96 • 10⁴; 5.96 • 10^-4) ma vengono memorizzati nel calcolatore solo positivi → è necessario un metodo in modo che rappresenti gli esponenti negativi.