Riassunti Meccanica Razionale

DOPPIO PRODOTTO VETTORIALE

u ∧ (v ∧ w) = (u ∙ w)v - (u ∙ v)w

ovvero

(u ∧ v) ∧ w = (u ∙ w)v - (v ∙ w)u

PRODOTTO MISTO

u ∧ v ∧ w ⇒ segno dipenda da no. di permutazioni

pari non cambia

dispari cambia

EQ. LINEARE VETTORIALE

a ∧ v = b

a ∧ b necessariamente

⇒ v = λa + a ∧ b / a²

v_y = |b|

let|b| = h ∧ j

let|a| = h ∧ j

la parte rad a non conta.

CINEMATICA

oP = r_P(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

v = dr / dt = ẋ(t)i + ẏ(t)j + ż(t)k

⇒ dp = v dt

⇒ ds = |ṗ| |v̇| dt

ds = √(ẋ² + ẏ² + ż²)

s(t) = ∫₀^t |v| dt

ȧ_t = dv / dt = ẍ(t)i + ÿ(t)j + z̈(t)k

ds = |v(t)| >> 0 ⇒ invertible

⇒ t(s) = p(t) = p(t(s)) = p(s)

{p(s) divide il carattere geometrico da quello cinematico.

s(t)}

corod. polari

è un mot. di rif. mobile. Bisogna esprimere i versori mobili in funzione di quelli fissi, per poterli derivare.

ê_r = λi + βj

ê_r ∙ î = |ê₁||i| cosσ = ∆ ⇒ ∆ = cosσ

ê_r ∙ ĵ = |ê₁||Ĵ| cos(π/2 - ϑ) - sinσ = B ⇒ B = sinσ

ê_θ = versore ortogonale a ê_r = -sinσ i + cosσ j

dê_n / dt = -sinσ ĩ + cosσ ĵ = Ėê_θ

Doppio prodotto vettoriale

u ∧ (v ∧ w) = (u ∙ w)v - (u ∙ v)w ovvero (u ∧ v) ∧ w = (w ∙ u)v - (w ∙ v)u

Prodotto misto

u ∙ v ∧ w => segno dipenda da n^o di permutazioni pari non cambia dispari cambia

Eq Lineare Vettoriale

∧ v = ⊥ necessariamente v = λ + a ∧ / a² ▯l1l2l3▯ k h = [hl1 hl2] lat|b1b2|

Cinematica

θP = Ρ - Ρ(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k v = dΡ / dt = ẋ(t)i + ẏ(t)j + ż(t)k a = dv / dt = ẍ(t)i + ÿ(t)j + z̈(t)k

Teme intrinseco

t̂ = dΡ / ds |dt̂/ds|=c curvatura; quanto rapidamente t̂ cambia direzione rispetto a s⃗ n̂ = 1/c dt̂ / ds = ρ dt / ds raggio del cerchio oscul.

N.B. dt̂ / ds ⊥ t̂

Coord polari

ε̂₁ = λ₁i + λ₂j + λ₃k dε̂ / dt = ̇ε̂ + ϑê

2) coordinate libere (o lagrangiane): coordinate scelte successive e sufficienti per definire la posizione di tutti i punti/corpi del sistema.

n: n° p.ti mat.

r: vincoli

Gradi di libertà: n° di coordinate indipendenti

(Se il sistema è olonomo (ovvero vincolato solo con vincoli olonomi))

GdL = 3N - r

Se il sistema è olonomo N = GdL

Vincolo: qualunque condizione imposta ad un sistema che gli impedisce di assumere una generica posizione e/o atto di moto.

Matematicamente sono tradotti in relazioni finite o differenziali tra le coordinate, le relazioni possono essere:

• EQUAZIONI (Vengono detti BILATERI)
• DISEQUAZIONI (Vengono detti UNILATERI)

Se i legami sono tradotti da relazioni finite si dicono vincoli di posizione. Se sono invece relazioni differenziali (ovvero in cui intervengono le velocità) si dicono di mobilità.

I vincoli si distinguono inoltre in olonomi e anolonomi:

• OLONOMI: vincoli di posizione e vincoli di mobilità riducibili, ovvero riconducibili, a relazioni tra le posizioni (integrabile). I vincoli olonomi riducono il numero di coordinate libere.
• ANOLONOMI: vincoli di mobilità irriducibili (Non integrabile). Tali vincoli così riducono la mobilità del sistema ma non il numero di coordinate libere.

Atto di moto:

L'insieme delle velocità di tutti i punti del sistema in un istante t. Non ha senso parlare di velocità di un sistema in quanto ogni punto del sistema ha la sua velocità. (continuo)

L'atto di moto di un corpo rigido può sempre ridursi ad un atto di

moto roto-traslatorio desc