Riassunti Meccanica Razionale

Doppio Prodotto Vettoriale

u ∧ (v ∧ w) = (u ·w)v – (u ·v)w ovvero (u ∧ v) ∧ w = (u ·w)v – (v ·w)u

Prodotto Misto

u ∧ v ∧ w → segno dipende da n° di permutazioni

Eq Lineare Vettorale

a ∧ b =     a + b a essenzialmente

Cinematica

OP = P(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k v = dP = x(t)i + y(t)j + z(t)k dt = → dP = v dt → ds = |dP| = √(ẋ² + ẏ² + ż²) dt

a = dv = ẍ(t)i + ÿ(t)j + z̈(t)k

ds = |v| dt o > inversibile → t (s) → P(t) = P(t(s')) = P(s)

Tema Intrinseco

t = dP, t = |v| ds

|dt| = c curvatura: quanto rapidamente t cambia direzione rispetto a ds

n̂ = 1/c dt – ρ dt

coord polari è un moti di rif. mobile. Bisogna esprimere i versori mobili in funzione di quelli fissi, per poterli derivare.

ê = λ f λ = |λ| |λf| cosθ = Δ → Δ = cosθ ê j = |λ| |j| cos(π/2 – θ) de = -sinωe + cosωj

2) coordinate libere (o lagrangiane): coordinate scalari necessarie e sufficienti per definire la posizione di tutti i punti/corpi del sistema a rigide o libere

N: n° punti materiali

n = 3N - r (nello spazio)

GdL: n° di coordinate indipendenti

(Se il sistema è olonomo (ovvero vincolato solo con vincoli olononi))

GdL = 3N-r, se il sistema è anomonico n = GdL

Vincolo: qualsiasi condizione imposta ad un sistema che gli impedisce di assumere una generica posizione e/o atto di moto.

Matematicamente sono tradotti in relazioni finite o differenziali tra le coordinate, le relazioni possono essere:

• Equazioni (vengono detti BILATERI)
• Disequazioni (vengono detti UNILATERI)

Se i legami sono tradotti da relazioni finite si dicono vincoli di posizione. Se sono invece relazioni differenziali (ovvero in cui intervengono le velocità) si dicono di mobilità.

I vincoli si distinguono inoltre in olonomi e anomonici:

• Olonomi: vincoli di posizione e vincoli di mobilità riducibili

(ovvero riconducibili, a relazioni tra le posizioni (integrabili)). I vincoli olonomi riducono il numero di coordinate libere.

• Anomonici: vincoli di mobilità irriducibili.

(Non integrabili).

In questo caso riducono la mobilità del sistema ma non il numero di coordinate libere.

Atto di moto: l'insieme delle velocità di tutti i punti del sistema in un istante t. Nota ha senso parlare di velocità di un sistema in quanto ogni punto del sistema ha la sua velocità.

L'atto di moto di un corpo rigido può sempre ridursi ad un atto di moto rototraslatorio detto così da v(p) = v(c) + ω Λ (rp)

se esiste un punto c (t.c. v(c)=v(c), allora rispetto a quel punto l'atto di moto diventa rotatorio: v(r)=ω(r)=∑(rp)=Σ(rp).

In particolare in assenza di altri punti tali che rp = 0 si possono per λ hanno valore nulla. Questa retta è detta asse d'istantanea rotazione.

L'atto di moto è traslatorio e diventa v(p)=v(a).

se v(a)=v è: ∑=Σ a Relation di Poions e si dimostra che se esiste, è unico ed è indipendente dalla terna mobile scelta.

per un corpo rigido esiste un sistema principale d'inerzia tale che

detti ¹_i, ¹_j, ¹_k i versori diretti come gli assi principali d'inerzia

Nel piano ¹₃ = ¹_k → ¹₂ = ¹_i × ¹_o ← ¹₂

le prime due equazioni cardinali permettono di descrivere il moto del sistema

ma esistono delle altre equazioni dette equazioni pure del moto

ma con cui compensare le reazioni vincolari. Queste equazioni non cadono

più informazioni di quante non se ne hanno già nelle cardinali.

Nella pratica quindi si preferisce ricavare il moto ovvero l'evoluzione

delle coordinate del punto nel tempo attraverso le eq. pure e poi

utilizzare le equazioni cardinali per determinare le reazioni vincolari.

Si definisce energia cinetica ¹_N = ¹ m ² c² che esteso ad un sistema

di punti materiali diventa ¹_i=1 ² m₁ v²_u

da notare che ² ₁ e nulla se ^0-6 mentre ¹ e nulla solo se le

velocità di tutti i punti sono nulle.

^, come ², gode di addittività rispetto alle parti (ovvero ² è la somma

di (sup>3) di ciascun corpo rigido) ma a differenza di ² ₁ però, non gode

di addittività rispetto alle velocità

ovvero

ma

in quando

infatti

entra quindi in gioco il teorema di König.

Se V_i = V_c V²_i = V²_c + V¹_i

Teorema di König

Energia cinetica

- Moto rotatorio

- _in

Ipotesi del criterio di instabilità di Ljapunov

L'ipotesi stabilisce che:

• Se l'elemento A di U in corrispondenza di q₀ ha almeno un autovalore positivo, q₀ è instabile.

Nel corso delle 2g definisce il criterio di Ljapunov. Nel caso di 2g definisce il criterio di Ljapunov.

• Per verificare che q₀ non è punto di minimo relativo va condotta nel continuo. Se uno degli autovalori dovesse essere nullo, il criterio è inconcludente.
• Nel corso di 2g è necessario e sufficiente che gli autovalori siano esternamente minori di 0.
• Nel corso di 1g è instabile qualunque q₀ t.c. esiste t ∈ I₀(q₀) t.c. q(t)² ≥ q² porta c._(2-g)
  • dE/dt = 0
  • d(T-U)/dt = 0
• U = V(q)
• dU/da = U' U'(q₀) = 0 (criterio di Dirichlet-Lagrange)
• d²U/da² = U''(q₀) < 0

=> dE = d/dt (1/2 a(q)q² - U(q)) = 0

Sviluppando E in serie di Taylor in q₀

a(q) ≈ a(q₀)

U(q) ≈ U(q₀) + U'³(q₀)(q-q₀) + 1/2 U''(q₀)(q-q₀)²

=> dE/dt (1/2 a(q₀)q₀² - U₀) - 1/2 U''(q₀)(q-q₀)²) = a(q)₀q₀ - U''(q₀)(q-q₀)q₀ = 0

es. linearizzata

chiamiamo ε = q - q₀ => ε̇ = q̇ ε̈ = q̈

=> A(q₀)ε̈ - U'(q₀)ε = 0 => ε̈ - U''(q₀)ε = 0

• chiamiamo ω = √(U'(q₀)/a(q₀))
• ω è detta pulsazione o frequenza

=> ε̈ + ω²ε = 0 => E(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) = cos(ωt + φ)

infine si definisce periodo T = 2π/ω

12) Per passare alla meccanica relativa si sostituiscono a_r e V_a con le definizioni in termini relativi:

=> ma_t = F₄ => ma_t = ma_r + ma_Q

=> ma_t = F₄ - ma₀ = ma_Q

definiamo F_r := - ma₀ e F_Q := - ma_Q date forze apparenti

=> ma_t = F_Q + F₄ + F₂

• esendo a_r = a_a + ω × (ω × (aP)) + 0 × [ω × (ω × (aP))] (con 0 origine del sistema mobile)

e a_t = ω H_V(P)

se a_a e v_a sono nulli allora ma_Q = F₂ e il sistema è inerziale

(equivale a dire che il moto di q è nell'asse o uniformemente m)