Riassunti esame statistica

VARIABILI CASUALI DISCRETE

Può assumere un insieme finito o numerabile di valori. Data una variabile discreta si definisce funzione di probabilità (f.p.) di X la funzione che associa ai valori in R le rispettive probabilità di verificarsi.

Proprietà:

1. P(x) ∈ [0,1] per ogni x.
2. ∑ P(x) = 1.

La cumulata della funzione di probabilità di una variabile casuale discreta X viene detta funzione di ripartizione F(x). Data una v.c. discreta si definisce funzione di ripartizione di X la funzione che associa ai valori in R le rispettive probabilità di verificarsi.

∑ P(x) = P(X ≤ x) rappresenta la probabilità che la v.c. X assuma un valore nell'intervallo [X ≤ x].

La funzione di probabilità può essere rappresentata graficamente ponendo i valori x in ascissa e quelli P(x) in ordinata.

Proprietà della funzione di ripartizione:

1. È non

   La funzione di ripartizione di una v.c. discreta è sempre una funzione crescente a gradini.

   Ha due asintoti: lim F(x) = 0 per x → -∞ e lim F(x) = 1 per x → +∞.

   È continua a destra (ovvero rimane costante per tutti i valori più grandi di x finché non cambia valore): lim F(x) = F(x+) per x → x0.

   La media e la varianza di una v.c. sono definite in modo identico alla media e la varianza di un carattere statistico (la funzione di probabilità corrisponde alla distribuzione delle frequenze relative di un carattere statistico). La media e la varianza sono concetti importanti per sintetizzare le caratteristiche della v.c.

   VALORE ATTESO: il valore atteso o media di una variabile casuale discreta X è dato dalla somma dei prodotti tra i valori della variabile casuale e le rispettive probabilità: E(X) = ∑(xi * P(xi)) per i = 1, 2, ..., n.

   VARIANZA: La varianza di una variabile casuale discreta X è data da:

   una variabile casuale discreta è definita come il valore atteso degli scarti al quadrato dalla media.

   X = Σi (xi - E[X])^2 P(xi)

   Formula alternativa:

   E[X^2] = E[X]^2 + V[X]

   DEVIAZIONE STANDARD: si trova facendo la radice quadrata della varianza di una v.c.

   SD[X] = √V[X]

   COVARIANZA: la covarianza tra due variabili casuali discrete X e Y è definita come:

   cov(X, Y) = Σi Σj (xi - E[X])(yj - E[Y]) P(xi, yj)

   Proprietà del valore atteso e della varianza di una v.c.:

   - Trasformazione lineare: E[aX + b] = aE[X] + b

   V[aX + b] = a^2V[X]

   - Somma di v.c.: E[X + Y] = E[X] + E[Y]

   V[X + Y] = V[X] + V[Y]

   INDIPENDENZA TRA DUE V.C.

   Dalla teoria della probabilità è

   noto che se due eventi sono indipendenti allora P(A ∩ B) = P(A) * P(B) Se due variabili casuali discrete sono indipendenti tra loro allora: E[X * Y] = E[X] * E[Y] Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] NOTE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ - Funzione matematica, in grado di riprodurre approssimativamente l'andamento reale del fenomeno, in base alle frequenze relative osservate. - I modelli probabilistici sono funzioni matematiche che possono dipendere da uno o più parametri, ossia costanti numeriche. Al variare dei valori cambia la forma della funzione. I più noti modelli probabilistici per v.c. discrete sono: Distribuzione Uniforme discreta: è una variabile che può assumere solo valori interi compresi in un certo intervallo, tutti con la stessa probabilità. Assume valori compresi in un certo intervallo [a, a+s-1], con la stessa probabilità 1/s. Si indica con X ~ Ud(a, b). Media evarianza sono date da: a+b[ ] =E X 2 2(a−b)[ ] =V X 12 Distribuzione di Bernoulli (dicotomica): una variabile casuale suscettibile di assumere due soli valori viene detta variabile casuale dicotomica, binaria o di Bernoulli. Solitamente i valori sono 0 e 1 che rappresentano rispettivamente insuccesso e successo (non necessariamente positivo). La probabilità di successo si indica con ( )=π ( )=1−π=1 e di conseguenza . Si indica con π : P X P X=0( ) e la funzione di probabilità è:X Ber π Il valore atteso e la varianza sono dati: 2∑[ ] ( ) ( )+= =0 =πE X x f x × 1−π 1× πi ii=1 x [ ]2 2 2 2 2( )=( ) ( )+(1−π ( ) ( ) ( )¿ [X ])i−E(¿ ) =π + (1−π ) =π + =π (1−π )f x 0−π 1−π π 1−π π 1−π π 1−πi 2∑[ ] = ¿V X i=1 Distribuzione binomiale: supponiamo di effettuare n prove indipendenti. Ogni prova è

   Una variabile casuale di Bernoulli può assumere il valore 0 o 1. La probabilità di una prova che assume valore 1 è uguale a pi greco mentre di una prova che assume valore 0 è uguale a ( ). La variabile casuale binomiale rappresenta il numero di successi ottenuti in n prove indipendenti di un esperimento casuale che può avere due soli risultati (successo o insuccesso). La funzione di probabilità è:
   P(X=x) = ( ) ^x (1- ) ^n-x
   Dove ^x _n è definito coefficiente binomiale ("n su x") ed indica il rapporto ( )
   n!
   x!(n-x)!
   Il coefficiente binomiale fornisce il numero di possibili combinazioni di n elementi presi x alla volta. Regole generali:
   [ ] = ⁿ
   Il valore atteso è: E(X) = ⁿ
   (1- )
   La varianza si ottiene: V(X) = 0,5
   Il valore atteso e la varianza crescono al crescere di n. Per , la distribuzione è simmetrica rispetto al valore atteso che

   è pari a n/2. Per n che tende a +infinito la distribuzione tende ad essere simmetrica rispetto al valore atteso; VARIABILI CASUALI CONTINUE Sono variabili casuali il cui insieme dei valori è non numerabile. Una variabile casuale è continua se può assumere un qualunque valore in un intervallo a,b dove a e b possono essere anche + o - infinito. Nel caso continuo il valore della probabilità di un singolo evento è infinitesimo. La misura di probabilità ha senso solo in un intervallo. Data una v.c. continua x che assume valori in un intervallo è associata una funzione (funzione di densità) definita in modo che: La funzione densità corrisponde alla funzione di probabilità delle v.c. discrete ma l'unica differenza è che questa non rappresenta una probabilità. La funzione densità serve a calcolare la probabilità che X assuma un valore compreso in un certo intervallo. Tale

   La probabilità è rappresentata dall'area sottesa dalla curva in quell'intervallo. La probabilità della v.c. continua pari ad un valore è pari a 0: questo perché lo spazio campionario (a,b) è talmente numeroso che la sua probabilità unitaria si ripartisce tra un numero infinito di punti da diventare infinitesima.

   Data una v.c. continua X che assume valori in un intervallo (a,b) con funzione di densità f(x), la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulative viene detta funzione di ripartizione. La funzione di ripartizione ci P(X ≤ x) serve a calcolare la probabilità che la v.c. X assuma un valore compreso in un qualsiasi intervallo reale.

   Data una v.c. continua X, la probabilità che X assuma valori nell'intervallo [a,b]:

   Considerata la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X descritta dalla funzione di ripartizione F(x), fissato un livello di

   Probabilità p, si chiama quantile di livello p la quantità in corrispondenza della quale la funzione di ripartizione assume il valore p. ∞∫[ ] ( )Valore atteso di una v.c. continua X: =E X xf x dx=μ X−∞ ∞[ ] ∫2 2( ) ( ) 2[ ] [ ] [ ] ( )Varianza di una v.c. continua X: =E =V X x−E X x−E X f x dx=σ x−∞I più noti modelli probabilistici per variabili casuali continue sono:Distribuzione uniforme continua: una v.c. uniforme continua è una v.c. che assume valori reali equiprobabili in un intervallo limitato [a,b]con a e b numeri reali. La sua funzione di densità è:a+b[ ] =E XValore atteso: 22(a−b)[ ]Varianza: ;=V X 12Distribuzione normale (o Gaussiana): la v.c. normale di Gauss è la distribuzione più importante per le sue numerose applicazioni e proprietà di cui gode. È usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali

   ianze delle due v.c. normali;La media campionaria di un campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione normale è una v.c. normale con media uguale alla media della popolazione e varianza uguale alla varianza della popolazione divisa per n;La differenza tra due medie campionarie estratte da due campioni casuali indipendenti di dimensione n1 e n2 da due popolazioni normali con medie uguale e varianze uguali è una v.c. normale con media uguale a zero e varianza uguale alla somma delle varianze divisa per n1+n2;La proporzione campionaria di un campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione binomiale con parametro p è approssimativamente una v.c. normale con media uguale a p e varianza uguale a p(1-p)/n;La differenza tra due proporzioni campionarie estratte da due campioni casuali indipendenti di dimensione n1 e n2 da due popolazioni binomiali con parametri p1 e p2 è approssimativamente una v.c. normale con media uguale a p1-p2 e varianza uguale a p1(1-p1)/n1+p2(1-p2)/n2.