Reti di telecomunicazioni - la progettazione di un filtro numerico

Conversione da specifiche analogiche a numeriche

QH(s) = n jθ(s − je )rr=1con (2r − 1)π (2)θ =r 2nK ( ) è il guadagno, mentre n ( ) è l'ordine del ltro, cioè il grado del∈ R ∈ Npolinomio.

Il prototipo della funzione passa-basso analogica può essere utilizzato perderivare la funzione di trasferimento numerica passa-alto. Questo lo si puòottenere tramite la trasformazione: Ã !−1Ω 1 + z0s → → Ω0 −1λ 1 − z

Figura 2: Trasformazioni dal piano al piano e dal piano al piano .s λ λ z

32.3 Conversione da speciche analogiche a numeriche!õ ¶ω (2πf )p p (3)Ω = tan π = tan(0, 346π) = 1, 905= tan πp ω (2πf )N N !õ ¶ω (2πf )s s (4)Ω = tan = tan(0, 284π) = 1, 245π = tan πs ω (2πf )N N

2.4 Ordine del ltroLa seguente espressione ci permette di calcolare l'ordine del ltro:αs /10 2,210 −1 10 −1)log( log(

αp /10 0,110 −1 10 −1 (5)= = 7, 5n ≥ 2 log(Ω /Ω ) 2 log(1, 905/1, 245)p sarrotondanto per eccesso si ottiene n = 82.5

Calcolo di Ω 0(frequenza per cui il ltro attenua di 3dB) deve soddisfare entrambe leΩ0seguenti disequazioni α /10 α /10log(10 − 1) log(10 − 1)s p (6)n ≥ ∧ n ≥2 log(Ω /Ω ) 2 log(Ω /Ω )0 s 0 p2.5.1 Prima condizioneSe Ω − Ω > 00 sallora log(Ω /Ω ) = log(Ω ) − log(Ω ) > 00 s 0 squindi dalla 6a si ha α /10)log(10 − 1)slog(Ω ) − log(Ω ) ≥0 s 2nαs /10 log(102,2log(10 −1) −1)+log(Ω ) +log(1,245)Ω ≥ 10 = 10 = 1, 7082s2n 2·80 42.5.2 Seconda condizioneSe Ω − Ω < 00 pallora log(Ω /Ω ) = log(Ω ) − log(Ω ) < 00 p 0 pquindi dalla 6b si ha α /10)log(10 − 1)plog(Ω ) − log(Ω ) ≤0 p 2nαp /10 log(100,1log(10 −1) −1)+log(Ω ) +log(1,905)Ω ≤ 10 = 10 = 1,

7510p2n 2·802.5.3 Intervallo di Ω0si trova nell'intervallo:Ω0 1, 7082 ≤ Ω ≤ 1, 75100scegliendo il valore medio si pone Ω = 1, 729602.6 Polinomio in sLa funzione di trasferimento del ltro passa-basso di Butterworth, nel casospecico, con e , è:K = 1 n = 8 1H(s) = Q 8 jθ(s - je )rr=1con ( )(2r - 1)π 1 3 5 7 9 11 13 15θ = = π, π, π, π, π, π, π, πr 2 · 8 16 16 16 16 16 16 16 16Sviluppando si ottiene: 1H(s) = ···j3/16π j5/116π j7/16πj1/16π (s - je ) (s - je ) (s - je )(s - je ) | | || {z } {z } {z } {z }A B C D (7)··· j11/16π j13/16π j15/16πj9/16π (s - je ) (s - je ) (s - je )(s - je ) | | || {z } {z } {z } {z }E F G H5Figura 3: Disposizione degli angoli sul piano.θrUsando la formula di Eulero si ottiene:j1/16π (8)e = cos(1/16π) + j sin(1/16π)j3/16π (9)e = cos(3/16π) +

j sin(3/16π)j5/16π (10)e = cos(5/16π) + j sin(5/16π)j7/16π (11)e = cos(7/16π) + j sin(7/16π)j9/16πe = cos(9/16π) + j sin(9/16π) (12)= − cos(7/16π) + j sin(7/16π)j11/16πe = cos(11/16π) + j sin(11/16π) (13)= − cos(5/16π) + j sin(5/16π)j13/16πe = cos(13/16π) + j sin(13/16π) (14)= − cos(3/16π) + j sin(3/16π)j15/16πe = cos(15/16π) + j sin(15/16π) (15)= − cos(1/16π) + j sin(1/16π)

Vista la simmetria, moltiplico i fattori due a due (primo con l'ultimo e così via):

A · H = (s − j cos(1/16π) + sin(1/16π))(s + j cos(1/16π) + sin(1/16π))2 2= (s + sin(1/16π)) + (cos(1/16π))2 2 2= s + 2s · sin(1/16π) + sin (1/16π) + cos (1/16π)2 (16)= s + 0, 390181s + 1 6

B · G = (s − j cos(3/16π) + sin(3/16π))(s + j cos(3/16π) + sin(3/16π))2 2= (s + sin(3/16π)) + (cos(3/16π))2 2 2= s + 2s · sin(3/16π) + sin

(3/16π) + cos (3/16π)2 (17)= s + 1, 11114s + 1C · F = (s − j cos(5/16π) + sin(5/16π))(s + j cos(5/16π) + sin(5/16π))2 2= (s + sin(5/16π)) + (cos(5/16π))2 2 2= s + 2s · sin(5/16π) + sin (5/16π) + cos (5/16π)2 (18)= s + 1, 66294s + 1D · E = (s − j cos(7/16π) + sin(7/16π))(s + j cos(7/16π) + sin(7/16π))2 2= (s + sin(7/16π)) + (cos(7/16π))2 2 2= s + 2s · sin(7/16π) + sin (7/16π) + cos (7/16π)2 (19)= s + 1, 96157s + 1Tornanando al polinomio :H(s) 1 (20)H(s) = (A · H)(B · G)(C · F )(D · E)1H(s) = ···2 2 2(s + 0, 390181s + 1)(s + 1, 11114s + 1)(s + 1, 66294s + 1)··· 2(s + 1, 961572s + 1)1 1 1= · · ·2 2 2(s + 0, 390181s + 1) (s + 1, 11114s + 1) (s + 1, 66294s + 1)1 (21)· 2(s + 1, 961572s + 1)2.7 Polinomio in λΩTrasformazione (prototipo passa-alto) cons → Ω = 1, 72960 0λ 1

7296(1 + z )) + 0, 390181(1, 7296(1 + z )(1 - z )) + (1 - z )^-1 2(1 - z)= -1 -2 -2 -1 -22, 9915(1 + 2z + z ) + 0, 67484(1 - z ) + (1 - 2z + z )^-1 2(1 - z)= -1 -2 -2 -1 -22, 9915 + 5.9830z + 2, 9915z + 0, 67484 - 0, 67484z + 1 - 2z + z )^-1 2(1 - z)= -1 -2 -2 -1 -22, 9915 + 3, 9830z + 3, 3166z^-1 2(1 - z ) (24)= 0, 21429 -1 -21 + 0, 85356z + 0, 71076z^8 -1 2(1 - z )β = -1 2 -1 -1 -1 2(1, 7296(1 + z )) + 1, 11114(1, 7296(1 + z )(1 - z )) + (1 - z )^-1 2(1 - z)= -1 -2 -2 -1 -22, 9915(1 + 2z + z ) + 1, 92183(1 - z ) + (1 - 2z + z )^-1 2(1 - z)= -1 -2 -2 -1 -22, 9915 + 5.98303z + 2, 99152z + 1, 92183 - 1, 9283z + 1 - 2z + z )^-1 2(1 - z)= -1 -25, 9133

+ 3, 9830z + 2, 06967z−1 2(1 − z ) (25)= 0, 16910 −1 −21 + 0, 67356 + 0, 350z −1 2(1 − z )γ = −1 2 −1 −1 −1 2(1, 7296(1 + z )) + 1, 66294(1, 7296(1 + z )(1 − z )) + (1 − z )−1 2(1 − z )= −1 −2 −2 −1 −22, 9915(1 + 2z + z ) + 2, 8762(1 − z ) + (1 − 2z + z )−1 2(1 − z )= −1 −2 −2 −1 −22, 9915 + 5.98303z + 2, 9915z + 2, 8762 − 2, 8762z + 1 − 2z + z )−1 2(1 − z )= −1 −26, 86772 + 3, 9830z + 1, 11528z−1 2(1 − z ) (26)= 0, 14561 −1 −21 + 0, 57995z + 0, 16239z −1 2(1 − z )δ = −1 2 −1 −1 −1 2(1, 7296(1 + z )) + 1, 961572(1, 7296(1 + z )(1 − z )) + (1 − z )−1 2(1 − z )= −1 −2 −2 −1 −22, 9915(1 + 2z + z ) + 3, 3927(1 − z ) + (1 − 2z + z )−1 2(1 − z

= -1 -2 -2 -1 -22, 9915 + 5.98303z + 2, 9915z + 3, 3927 - 3, 3927z + 1 - 2z + z )-1 2(1 - z )= -1 -27, 3842 + 3, 9830z + 0, 59876z-1 2(1 - z ) (27)= 0, 13542 -1 -21 + 0, 53939z + 0, 081086z9si ottiene la forma H(z) nale -1 2(1 - z )H(z) = 0, 21429 ·-1 -21 + 0, 85356z + 0, 71076z-1 2(1 - z )0, 1609 ·-1 -21 + 0, 67356z + 0, 350z-1 2(1 - z )0, 14561 ·-1 -21 + 0, 57995z + 0, 16239z-1 2(1 - z )0, 13542 -1 -21 + 0, 53939z + 0, 081086z-1 -2 -3 -41 - 8z + 28z - 56z + 70z ···= 0, 000714607 -1 -2 -3 -4(1 + 2.64649z + 3, 90141z + 3, 5926z + 2, 24778z-5 -6 -7 -8-56z + 28z - 8z + z (28)... -5 -6 -7 -8+0, 951305z + 0, 264602z + 0, 0437287z + 0,

00327592zPer controllare la stabilità del ltro sono stati calcolati i poli della funzione. Il polo con modulo maggiore (<1) risulta essere inferiore a 1, quindi H(z) = 0,846 il ltro è stabile. La regione di convergenza è la corona esterna al polo con modulo maggiore, quindi nel nostro caso esiste la trasformata di Fourier.

Figura 4: