Relazioni Complete e Corrette - Misure Elettroniche - Daponte

Scopo dell’esercitazione

Lo scopo dell’esercitazione è quello di effettuare il calcolo dell’incertezza di tipo A e di quella di tipo B. Tale incertezza è calcolata prendendo in considerazione un valore di tensione, misurata in laboratorio con un multimetro impostato in modalità voltmetro. Ogni risultato della misurazione appartiene ad uno spazio campionario di tipo aleatorio; ogni misura è pertanto affetta sempre da errori. L’incertezza rappresenta proprio l’intervallo di valori possibili dentro cui il misurando può ricadere con una certa probabilità e prendendo in considerazione tali probabili errori.

Metodologie di calcolo dell'incertezza

Incertezza di tipo A

Per il calcolo dell’incertezza di tipo A si utilizza un metodo statistico per l’elaborazione dei dati, i quali sono ottenuti mediante misurazioni ripetute alle stesse condizioni sperimentali. Una componente di incertezza ricavata con una stima di tipo A, viene calcolata dalla deviazione standard del campione; quest’ultima è ricavata statisticamente come radice della varianza stimata S², e dal numero di gradi di libertà ad essa associato. L’incertezza standard è data dalla deviazione standard della media campionaria ricavata come segue:

Incertezza di tipo B

Per il calcolo dell’incertezza di tipo B vengono considerate informazioni già disponibili a priori (dati ottenuti da precedenti misurazioni, specifiche del costruttore, dati forniti in certificati di taratura, ecc.). Per il calcolo corretto dell’incertezza di tipo B, ci si affida a distribuzioni aleatorie stabilite sulla base di un’analisi di tipo teorico del processo, o di conoscenze sperimentali riguardo comportamento e caratteristiche degli strumenti, specifiche tecniche, calibrazione o ipotesi conservative.

Tipicamente il calcolo dell’incertezza di tipo A risulta essere maggiormente precisa rispetto a quella di tipo B. Al ridursi delle misurazioni, aumenta progressivamente la validità dell’incertezza di tipo B, rispetto a quella di tipo A.

Strumentazione

• Alimentatore: Marca Tektronix, Modello PS280N, Serie TW1093
• Multimetro: Marca Agilent, Modello 34401A, Serie MY41020015Ω
• Resistori: R1=R2= 22 5% k±
• Tecktronix PS280 DC Power-Supply DataSheet
• Agilent 34401A DataSheet

Configurazione del circuito

La prima parte dell’esercitazione prevede il montaggio fisico del circuito. I due resistori, di identico valore resistivo, sono stati collegati in serie. Il generatore di tensione (l’alimentatore DC) è stato collegato ai capi della serie dei due resistori. La misura da effettuare si riferisce al calcolo della tensione ai capi del resistore R2; il multimetro è posto pertanto in modalità di funzionamento voltmetro e collegato in parallelo al resistore per il quale misurare la tensione (R2). L’alimentatore è stato impostato in maniera tale da generare una tensione di continua di 1,000 V. Il circuito implementato è quello raffigurato di seguito:

Calcolo dell’incertezza di tipo A

Sapendo che la tensione fornita dal generatore è pari a V =1,000V, e conoscendo i valori resistivi per R1 ed R2, pari entrambi a 22kΩ, è possibile calcolare il valore di tensione ai capi del resistore R2, corrispondente al valore di tensione V utilizzando il partitore di tensione: da cui otteniamo che il valore di V è pari a 0,500V_out.

Il valore di tensione è successivamente calcolato per via sperimentale mediante l’implementazione del circuito precedentemente assemblato. Il calcolo dell’incertezza di tipo A utilizza un metodo statistico per l’elaborazione dei dati. Si considera per questo un insieme di misurazioni di 30 elementi costituenti una popolazione.

Parametri statistici

• Media del campione: La media del campione definisce la migliore stima del valore atteso della misurazione x. Essa è calcolabile come: da cui otteniamo che il valore della media è pari a 0,55146 V.
• Varianza del campione: La varianza del campione definisce la dispersione dei valori ottenuti mediante misurazione, dal valore atteso. Essa è calcolabile come: −, ⋅ da cui otteniamo che il valore di S(x)² è pari a V².
• Deviazione standard del campione: La deviazione standard del campione rappresenta un modo per esprimere la dispersione delle misure ottenute attorno ad un indice di posizione (la media in questo caso). La deviazione standard rappresenta la radice della varianza; pertanto è un modo comodo per ottenere la stessa grandezza ma con la stessa misura che caratterizza la popolazione considerata (per cui passiamo da mV² della varianza in mV della deviazione standard). La deviazione standard è calcolabile come: −, ⋅ da cui otteniamo che il valore di S(x) è pari a.
• Incertezza di tipo A (scarto tipo sperimentale del valore medio): −= ⋅ (, ⋅ ) =, √ Abbiamo dunque ottenuto una Media del campione pari a 0,55146 V e uno scarto tipo sperimentale pari a. Prendendo in considerazione un fattore di copertura pari a K=2 si ottiene: = (, ±, )

Calcolo dell’incertezza di tipo B

L’incertezza di tipo B viene valutata secondo due criteri: nel primo caso (CASO A) si considera una misura effettuata direttamente su V_out con il multimetro Agilent 34401A; nel secondo caso (CASO B) si effettua una misurazione in maniera indiretta considerando il valore di tensione fornito dal generatore Tektronix PS280 e i valori delle due resistenze.

Caso A

Si considera il valore di 0,55150V (ricavato arbitrariamente dalle precedenti misurazioni). Dal DataSheet del multimetro Agilent 34401A è possibile calcolare l’incertezza di tipo B associata alla misura. Sono riportati in figura i parametri di incertezza di nostro interesse:

In questo caso l’incertezza è pari a: (0,0040% * 0,55150 + 0,0007% * 1,00000) = 0,00003. Considerando un fattore di copertura K=2 si ottiene un’incertezza estesa pari a 0,00006V. La misura ottenuta è pari a: = , ± , .

Caso B

Per poter valutare l’incertezza estesa della misura, occorre applicare la Legge di Propagazione dell’incertezza alla formula del partitore di tensione, ottenendo:

Dove:
U_v è l’incertezza dovuta all’alimentatore
e sono le incertezze di R1 e R2

Si nota quindi che l’incertezza sulla misura dipende dai valori d’incertezza dell’alimentatore e di R1 ed R2. Consultando il DataSheet dell’alimentatore, ricaviamo che: U (0,5% (0,5%= di 1,0V + 2digits) = di 1,0V + 0,2V) = 0,2 V_{v gen}

L’incertezza dei resistori è invece ricavata considerando le tolleranze associate ai valori resistivi pari al 5%. Assumendo uniforme la distribuzione per i valori di resistenza nell’intervallo 22±5%kOhm, otteniamo un’incertezza pari a 635,07 Ohm = U = U_R1 R2.

Per valutare l’incertezza sulla misura, sviluppiamo la legge di propagazione dell’incertezza con i valori appena ottenuti: U_v da cui otteniamo un valore pari a 0,1V_out. Considerando un fattore di copertura K=2 si ottiene un valore di incertezza estesa pari a 0,2V. In questo caso la misura ottenuta è: = , ± , .

Verifica di compatibilità

Due misure si dicono compatibili quando le fasce di valore assegnate in diverse occasioni come misura della stessa quantità, nello stesso stato, hanno intersezione non nulla.

Valutazione della compatibilità tra le misure

• Incertezza tipo A: (0,55146 ± 0,00004)V
• Incertezza tipo B (CASO A): (0,55150 ± 0,00006)V
• Incertezza tipo B (CASO B): (0,5 ± 0,2)V

Risultato: le misure sono compatibili per valori compresi tra 0,55144 e 0,55150.

Scopo dell’esercitazione

Lo scopo dell’esercitazione è quello di tarare un voltmetro analogico attraverso l’analisi statistica ed inferenziale.

Strumentazione

• Alimentatore: Marca Tektronix, Modello PS280N, Serie TW64179
• Voltmetro digitale: Marca Tektronix, Modello CDM250N, Serie TW55114
• Voltmetro analogico: Classe 2.5, Modello CMU-38N, Serie 493933545

Descrizione della prova

Per la prova, un voltmetro analogico è stato collegato in parallelo ad un generatore di tensione e ad un voltmetro digitale (di classe superiore). Con l’esercitazione si intende tarare il voltmetro analogico (di tipo magnetoelettrico), con l’analisi sperimentale dei dati rilevati mediante metodi statistici e inferenziali, con i quali è possibile caratterizzare l’intera popolazione mediante le caratteristiche dei soli campioni.

Per le misurazioni: Le misure sono state determinate imponendo la tensione di riferimento sul voltmetro da tarare e legge...