Relazioni Complete e Corrette - Misure Elettroniche - Daponte

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE ASSOLUTE

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE CUMULATE

Tabella delle Classi con Vx = 8V

=

Nc = 1 + 3, 3log10n 7

= (-0.06 – (- 0.41))/7 = 0.050

CLASSI RANGE FREQUENZA FREQUENZA

ASSOLUTA CUMULATA

1 ]-inf , -0,410[ 0 0

2 [-0,410 , -0,360[ 3 3

3 [-0,360 , -0,310[ 4 7

4 [-0,310 , -0,260[ 7 14

5 [-0,260 , -0,210[ 8 22

6 [-0,210 , -0,160[ 13 35

7 [-0,160 , -0,110[ 10 45

8 [-0,110 , - 0,06] 5 50

9 ]-0,06 , +inf[ 0 50

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE ASSOLUTE

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE CUMULATE

Tabella delle Classi con Vx = 12V

=

Nc = 1 + 3, 3log10n 7

= (0,05 – (- 0,43))/7 = 0,068

CLASSI RANGE FREQUENZA FREQUENZA

ASSOLUTA CUMULATA

1 ]-inf, -0,430[ 0 0

2 [-0,430 , -0,362[ 4 4

3 [-0,362 , -0,294[ 9 13

4 [-0,294 , -0,226[ 16 29

5 [-0,226 , -0,158[ 11 40

6 [-0,158 , -0,090[ 4 44

7 [-0,090 , -0,022[ 5 49

8 [-0,022 , 0,050] 1 50

9 ]0,050 , +inf[ 0 50

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE ASSOLUTE

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE CUMULATE

Tabella delle Classi con Vx = 16V

=

Nc = 1 + 3, 3log10n 7

= (-0,27 – (- 0,65))/7 = 0,054

CLASSI RANGE FREQUENZA FREQUENZA

ASSOLUTA CUMULATA

1 ]-inf , -0,650[ 0 0

2 [-0,650 , -0,596[ 2 2

3 [-0,596 , -0,542[ 13 15

4 [-0,542 , -0,488[ 12 27

5 [-0,488 , -0,434[ 8 35

6 [-0,434 , -0,380[ 7 42

7 [-0,380 , -0,326[ 4 46

8 [-0,326 , -0,270] 4 50

9 ]-0,270 , +inf[ 0 50

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE ASSOLUTE

ANDAMENTO DELLE FREQUENZE CUMULATE

TEST STATISTICI

Vengono ora effettuati test statistici per valutare le caratteristiche delle

distribuzioni. In generale, i test, vengono eseguiti con un livello di significatività del

5%; quest’ultimo definisce la probabilità con cui si scarta l’ipotesi nulla, che varia a

seconda del test effettuato.

 TEST Z

Si utilizza il Test Z per verificare che un campione di valori prelevati dalla

popolazione, sia in qualche modo rappresentativo per l’intera popolazione stessa.

Considereremo pertanto la media del campione pari a quella dell’intera

popolazione.

CALCOLO DEL TEST Z:

DOVE:

 μ è la media del campione di 30 misure sulle 50 totali ( sono stati 30 valori casuali dalla

popolazione)

 μ è la media della popolazione (su 50 misure);

0

 σ è la deviazione standard della popolazione;

 n è la cardinalità del nostro campione;

Il Test Z prevede che la STATISTICA venga distribuita mediante una distribuzione

gaussiana standard. Occorre successivamente valutare il superamento del test

effettuato sulla base del valore Z. Se tale valore (in modulo) è MINORE rispetto ad

uno Z di riferimento con significatività al 5%, il test risulta SUPERATO. Pertanto deve

valere che: |Z|< Z riferimento

Il Valore di Riferimento è stato trovato utilizzando la tabella della distribuzione

normale considerando un livello di significatività pari al 5%. Da qui Z = 1,96

riferimento

RISULTATO TEST Z μ Z Z RISULTATO

riferimento

4V 3,8813 0,77 1,96 SUPERATO

8V 7,7950 1,02 1,96 SUPERATO

12V 11,7997 1,62 1,96 SUPERATO

16V 15,5296 0,58 1,96 SUPERATO

Nella tabella è evidente che per tutti e 4 i casi, i 30 valori scelti come campione,

sono rappresentativi della popolazione.

 TEST del X² ²

Si utilizza il Test del X per stabilire se la distribuzione derivante dalle misurazioni

effettuate, è considerabile come distribuzione gaussiana. In base al risultato

ottenuto dal test, sarà possibile ricavare il valore di INCERTEZZA sulle misurazioni.

PRIMA PARTE (PRELIMINARE)

Occorre accorpare le classi, in maniera tale da avere una FREQUENZA ASSOLUTA

pari almeno a 5 , corrispettivamente per ogni classe considerata. Si procede di

conseguenza alla normalizzazione delle classi, per le quali sarà identificato

l’ESTREMO SUPERIORE e un ESTREMO SUPERIORE di tipo STANDARDIZZATO.

Quest’ultimo è ricavato dalla formula:

DOVE:

 μ è la media del campione

x

 s rappresenta la deviazione standard del campione

 X è l’estremo superiore considerato

Dopo il calcolo degli estremi standardizzati, viene ricavata l’area di intervallo, con

l’ausilio delle tabelle della distribuzione normale. Segui infine, il calcolo della

FREQUENZA TEORICA per ogni intervallo, data dal prodotto tra l’area di intervallo

standardizzato e il numero di campioni.

SECONDA PARTE

E’ ora necessario calcolare il X². Essa è ricavabile applicando la formula:

Il X² ricavato è di tipo sperimentale. Per effettuare il test occorre determinare il X²

teorico. Quest’ultimo è ricavabile con l’ausilio delle tabelle e considerando il grado

di libertà, dato dal numero di classi dopo l’accorpamento -1. Il test viene superato

se il valore sperimentale di X² è minore del valore critico. Quest’ultimo valore, per

come preso, ci garantirà un fattore di rischio pari al 5% e quindi un fattore di fiducia

pari al 95%.

RISULTATO TEST X²

4V

Classi RANGE f0 x z AREA ft f0-ft (f0-ft)² (f0-ft)²

_____

ft

]-inf , -0.198[ 7 -0.198 -0.96 0,1685 8,425 -1,420 2.0164 0.2393

1 [-0.198 , -0.157[ 9 -0.157 -0.41 0,1724 8,620 0,380 0.1444 0.0168

2 [-0.157 , -0.116[ 14 -0.116 0.13 0,2108 10,540 3,460 11.9716 1.1358

3 [-0.116 , -0.075] 7 -0.075 0.67 0,1969 9,845 -2,845 8.0940 0.8221

4 ]-0.075 , +inf[ 13 0,2514 12,57 0,430 0.1849 0.0147

5 =

9.488 1 2.2287

X X²

critico TEST SUPERATO

8V

Classi RANGE f0 x z AREA ft f0-ft (f0-ft)² (f0-ft)²

_____

ft

]-inf , -0.310[ 7 -0.310 -1.07 0,1423 7,115 -0, 0,0132 0,0018

1 115

[-0.310 , -0.260[ 7 -0.260 -0.50 0,1662 8,310 -1,310 1,7161 0,2058

2 [-0.260 , -0.210[ 8 -0.210 0.07 0,2194 10,970 -2,970 8,8209 0,8041

3 [-0.210 , -0.160] 13 -0.160 0.64 0,2110 10,550 2,450 6,0025 0,5690

4 ]-0.160 , +inf[ 15 0,2611 13,055 1,945 3,7830 0,2898

5 =

9.488 1 1,8705

X X²

critico TEST SUPERATO

12V

Classi RANGE f0 x z AREA ft f0-ft (f0-ft)² (f0-ft)²

_____

ft

]-inf , -0.294[ 13 -0.294 -0.65 0.2578 12,890 0,110 0,0121 0,0009

1 [-0.294 , -0.226[ 16 -0.226 0.04 0.2582 12,410 3,590 12,8881 1,0385

2 [-0,226 , -0,158] 11 -0.158 0.74 0.2544 12,720 -1,720 2,9584 0,2326

3 ]-0.158 , +inf[ 10 0.2296 11,480 -1,480 2,1904 0,1908

4 =

7.820 1 1,4628

X X²

critico TEST SUPERATO

16V

Classi RANGE f0 x z AREA ft f0-ft (f0-ft)² (f0-ft)²

_____

ft

]-inf , -0.542[ 15 -0.542 -0.62 0.2776 13,380 1,620 2,6244 0,1961

1 [-0.542 , -0.488[ 12 -0.488 -0.05 0.2124 10,620 1,380 1,9044 0,1793

2 [-0.488 , -0.434] 8 -0.434 0.52 0.2185 10,925 -2,925 8,5556 0,7831

3 ]-0.434 , +inf [ 15 0.3015 15,075 -0,075 0,0056 0,0004

4 =

7.820 1 1,1589

X X²

critico TEST SUPERATO

CONSIDERAZIONI POST-TEST

Tutte e 4 le distribuzioni per le corrispettive tensioni 4V,8V,12Ve 16V, possono

essere considerate come DISTRIBUZIONI GAUSSIANE.

 TEST t di Student

Si utilizza il Test t di Student per valutare se, preso un campione sufficientemente

piccolo per il test stesso, esso possa rappresentare le caratteristiche dell’intera

popolazione.

Si prendono in considerazione un numero ridotto di misure ( pari a 10) . Si vuole

stabilire sulla base di tali misure, se il campione corrispettivo è considerabile come

rappresentatore della popolazione.

Il Test si basa sul seguente calcolo:

DOVE:

 μ è la media del campione

 μ rappresenta la media dell’intera popolazione

o

 s è la deviazione standard della popolazione

 n è pari alla cardinalità del campione

Se il valore T calcolato risulta essere inferiore al valore di T (estratto dalle

critico

tabelle e considerando il grado di libertà e il livello di significatività al 5%), allora il

Test è superato ed il campione rappresenta la popolazione.

μ

CAMPIONE s T T RISULTATO

critico

4V 3,8741 0,074 0,1709 2,262 SUPERATO

8V 7,7883 0,088 0,2983 2,262 SUPERATO

12V 11,7810 0,098 0,3549 2,262 SUPERATO

16V 15,559 0,094 1,3120 2,262 SUPERATO

 TEST DELLE MEDIE

Si utilizza il test della media per verificare se le differenze tra le medie di 2 campioni

da 15 misure ( salita e discesa) , risultano essere casuali oppure sono dovute a

ERRORI DI OPERATORE e/o DIFETTI DELLO STRUMENTO.

Il primo passo del test richiede il calcolo del parametro S²:

In cui n1 e n2 rappresentano corrispettivamente le ampiezze dei due campioni

scelti; S1² e S2² rappresentano le varianze dei due campioni scelti.

Il secondo passo richiede il calcolo del valore statistico T:

DOVE:

 μ rappresenta la media del campione i-esimo

xi

 n1 e n2 rappresentano corrispettivamente le ampiezze dei due campioni

 S² rappresenta la varianza tra il primo ed il secondo campione

Il risultato del test è confrontato col il valore T determinato tramite la tabella

critico

della distribuzione t di Student, considerando un grado di libertà e un valore di

significatività al 5%. Il grado di libertà in questo test è calcolabile come la somma

delle ampiezze -2. μ1 μ2

S1² S2² S² T T RISULTATO

critico

0,0067 0,0042 -0,1250 -0,1347 0,0054 0,36 2,048 SUPERATO

4V 0,0070 0,0059 -0,2050 -0,2277 0,0064 0,78 2,048 SUPERATO

8V 0,0088 0,0087 -0,2003 -0,2580 0,0088 1,68 2,048 SUPERATO

12V 0,0108 0,0050 -0,4703 -0,5080 0,0079 1,17 2,048 SUPERATO

16V

Per i campioni considerati per ogni caso, il test è risultato superato. Per tutti e 4 i

casi quindi, possiamo considerare la differenza tra le medie dei campioni come

casuale per un livello di fiducia del 95%.

 ANALISI di REGRESSIONE

L’analisi di regressione permette di determinare un legame che associa una generica

misura di tensione, in un determinato intervallo, ed il corrispettivo errore assoluto.

Prendendo in considerazione una relazione di tipo lineare tra errore assoluto (

rappresentante la variabile dipendente) e la misura di tensione ( rappresentante la

variabile indipendente), occorre determinare l’equazione della retta che meglio

approssima l’andamento dei dati considerati. Ciò è possibile mediante l’utilizzo del

metodo dei minimi quadrati, il quale permette la scelta della retta che rende minime

le differenze tra valori effettivi e quelli previsti dalla regressione stessa.

Di seguito è aggiunta al grafico di dispersione dei dati, la retta di regressione lineare

che meglio approssima il legame tra errore assoluto e misure di tensione

corrispettive: y = -0,051x + 0,2143

Regressione Lineare R² = 0,7585

S = 0,439328

0,5

0 0 5 10 15 20 25