Rappresentazioni grafiche

Diagramma a barre e istogramma

Ipotesi importante: in ogni classe le frequenze sono uniformemente distribuite nell'intervallo.

Diagramma a barre: quando la variabile è discreta con poche modalità si usa questo tipo di diagramma. L'altezza delle barre è proporzionale alla frequenza, mentre lo spessore è arbitrario.

Istogramma: si chiama istogramma di frequenza la rappresentazione grafica che si ottiene ponendo su asse delle ascisse gli estremi di classe c0, c1, ck e disegnando per ogni classe un rettangolo avente per base il segmento dell'asse di estremi ci-1 e ci e per altezza la densità di frequenza n/d. Se le classi sono di uguale ampiezza, l'altezza dei rettangoli è proporzionale alla frequenza della classe. In questo caso non ci sono spazi tra un rettangolo dato che sono quantitative continue. Cambiando l'ampiezza delle classi si ha un'impressione diversa della distribuzione; con poche o troppe classi la rappresentazione diventa troppo sensibile.

al variare dei dati a causa della frequenza troppo bassa ed inoltre si rischia di avere una rappresentazione sfalsata del fenomeno da studiare.

Nel primo esempio l'andamento sembra quasi costante, mentre nel terzo c'è una grande variabilità e alcune classi sono praticamente vuote. Il secondo è il migliore perché offre una buona rappresentazione del fenomeno.

Se le classi sono di ampiezza diversa: se la classe non ha ampiezza uguale o l'altezza di ogni rettangolo è proporzionale alla densità della classe e l'area del rettangolo generico è pari alla frequenza assoluta ni. La base è pari a ci-ci-1=ai e l'altezza pari a hi=fi/ai. La base è uguale all'ampiezza di classe, l'altezza alla densità, perciò l'area=ai*hi=fi= frequenza di classe.

Tale soluzione può essere utile quando studiamo i redditi, molto spesso molti lavoratori hanno un reddito medio e quindi conviene fare

classi più piccole, al contrario i redditi alti e molto alti sono pochi ed è meglio fare classi più grandi. Nel caso della frequenza teorica di un intervallo non corrispondente a classi allora dovremo tener conto del significato della base e dell’altezza e rapportare il rettangolo interessato a quello totale. La frequenza teorica in un intervallo 28-38 dove nella classe 20-30 la frequenza è 0,2 e in quello 30-40 è 0,4 allora farò: 0,2*[(30-28)/(30-20)]+0,4*[(38-30)/(40-30)]. Nel caso in cui il carattere diventa discreto dovrò tenerne conto nel calcolo delle proporzioni. Le classi 1-2 e 3-5 hanno una frequenza rispettivamente di 0,5 e 0,3 allora la frequenza teorica in 2-4 è: 0,5*[(2-1)/2]+0,3*[(5-3)/3].

Grafico delle età: un’applicazione particolare dell’istogramma è la cosiddetta piramide delle età, la quale rappresenta la distribuzione della popolazione per sesso e classi d’età. Le classi d’età,

Generalmente di ampiezza pari a 5, sono disposte verticalmente, in senso crescente dal basso verso l'alto. Ai lati di ciascuna classe vengono disegnati due rettangoli aventi lunghezza pari al numero di maschi e femmine appartenenti a quella classe d'età. I numeri da 1 a 21 indicano l'età della popolazione dove 1 significa "meno di 5" e così via. Il nome è dovuto al fatto che in passato c'erano molti giovani e pochi anziani, mentre adesso ha un andamento più a "botte". Le caratteristiche sono:

1. Disposizione orizzontale dei triangoli;
2. Suddivisione del singolo istogramma in due parti, maschi a sinistra e donne a destra;
3. Frequenze non sono divise per altezza.

Funzione di ripartizione: data una variabile quantitativa X si dice funzione di ripartizione la cumulata fino al valore x, cioè la frequenza relativa dei valori minori o uguali a x. Nel caso in cui avessimo h=175 potremmo prendere solo i valori minori.

Uguali a tale valore. Ci sono 3 proprietà: F(x)=0 per x<xmin (valori inferiori al minimo); F(x)=1 per x>=xmax (punto di massimo) e che è una funzione non decrescente, al massimo in alcuni punti risulta orizzontale. Ci sono due tipi di funzioni di riparazione:

A gradini: quantitativi discreti. Tale funzione a gradini (funzione di riparazione empirica) si usa quando le modalità numeriche non sono raggruppate in classi. Consideriamo l'esempio dove abbiamo X, il valore minimo è 1 perciò al di sotto la frequenza cumulata è pari a 0. Quando arrivo ad uno faccio un salto pari alla frequenza relativa delle unità, il trend continua fino a 7. Tale funzione non è decrescente ed è costante nell'intervallo (xi-1;xi), il salto è pari alla frequenza relativa.

Lineare a tratti: quantitativi continui ed è nota come funzione di riparazione dedotta dall'istogramma. Dopo aver fatto l'istogramma vedo che la funzione è

l'areache arriva fino ad x, nel caso tale punto siainterno allora dovevo capire quanto vale laparte "bianco-blu". Sapendo che la base èxi-xi-1 e che h=hi allora F(x)= arearettangoli interi + area colorata.Anch'esse sono non decrescenti e lafunzione è lineare in (xi-1; xi), laderivata prima rappresenta la pendenzadei segmenti di retta che uniscono dueestremi di classe successivi, per calcolare la pendenza nella classe i so che hi èil coeff. Angolare e che quindi F(x) è una retta.Adesso vediamo altri tipi di grafici:Grafici per serie storiche: si pongono sull'asse delle ascisse itempi e sulle ordinate le intensitàassociate, i conseguenti punti delpiano cartesiano vengono uniti perinterpolazione lineare per esserepiù chiari. Quando la serie riguardaun fenomeno di movimento siprediligono i nastri. I periodi vengonoindicati lungo una linea orizzontale e la scalaviene messa sull'asse verticale, vengonotracciatii rettangoli con stessa base e altezza pari all'intensità. Se i periodi tempo hanno ampiezza differente in genere si pone