Raccolta domande orale con risposte (Teoria)

Domande all'orale del professore Michiel Bertsch

Raccolta di domande fatte all’orale in 6 giornate, 2 appelli con risposte. Il seguente documento contiene tutte le domande che possono capitare all’esame con le risposte. Se te le studi puoi andare tranquillo all’orale. Se non ti senti preparato a sufficienza per affrontare l’orale, questo file ti potrebbe consentire di superare comunque l’esame: è come se fosse un super riassunto di teoria. Studiando questo documento capirai anche molte cose sugli esercizi, il perché si fanno certe operazioni. Le risposte sono scritte nel modo in cui il professore vuole che si dicano, per cui fate attenzione.

Ho molto altro materiale per potervi aiutare a comprendere e superare questo esame, per motivi di tempo non sono riuscito a riorganizzarlo per pubblicarlo. Perciò lascio in fondo a questo file i miei contatti così potrò inviarvi materiale o rispondere ad eventuali domande e chiarimenti.

Domande orali

Cos'è una forma differenziale chiusa?

Una forma differenziale si dice chiusa se le derivate parziali in croce coincidono. Se una forma differenziale è chiusa in un insieme semplicemente connesso, allora è anche esatta per il teorema di Poincaré. Il rotore sarà 0, quindi il campo di forze agenti nell’insieme è conservativo. Il campo sarà irrotazionale. Possiamo dimostrare che l’insieme è semplicemente connesso.

Cos'è un campo rotazionale?

Un campo rotazionale è un campo di forze che hanno rotore non nullo, altrimenti detto campo irrotazionale. Il rotore è un campo vettoriale costituito con le derivate parziali delle componenti del campo vettoriale dato. Il rotore nullo è condizione necessaria ma non sufficiente affinché la forza descritta dal campo vettoriale sia conservativa (deve essere in un insieme semplicemente connesso). Esiste una dimostrazione nella quale si fa vedere che: se il rotore è nullo, non è detto che la forza assegnata ammette potenziale; se la forza ammette potenziale, il rotore deve essere nullo.

Perché una forma differenziale esatta è sempre chiusa?

Una forma esatta è sempre chiusa solo se l’insieme in cui si trova è semplicemente connesso. Ovvero l’insieme è fatto di un semplice pezzo e non presenta buchi (almeno in ^R2). Perciò prendo 2 punti qualsiasi dell’insieme, la curva che li collega sta sempre dentro l’insieme. In R3 ogni insieme è semplicemente connesso perché posso evitare i punti di discontinuità.

Cos'è un insieme semplicemente connesso?

Un insieme semplicemente connesso è un insieme fatto di un semplice pezzo e non ha buchi. Due curve si dicono omotope (dal greco homos e topos, stesso luogo) se una delle due può essere deformata con continuità nell’altra, tale trasformazione è detta omotopia. È una strategia per trovare i buchi all’interno di un insieme e non è altro che dire che il lavoro su due percorsi diversi è lo stesso se partono e arrivano dallo stesso punto, quindi il campo è conservativo.