Raccolta domande orale con risposte (Teoria)

Sarebbe la somma delle derivate di funzione composta.

la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione

composta di due funzioni derivabili.

Dato che una forma differenziale è una derivata di funzione composta anche il potenziale è legato alla

regola della catena.

quindi integrano il campo si trova la funzione potenziale,

la funzione potenziale è una funzione composta

cosa serve per passare da un integrale doppio ad un integrale curvilineo?

il teorema di gauss-green, perchè mette in relazione due tipologie di integrale, l’integrale di seconda specie

lungo una curva e gli integrali doppi aventi dominio di integrazione la parte del piano delimitata da tale

curva.le condizioni sono:dominio regolare,ovvero un insieme il cui bordo può essere delimitato da una o più

curve regolari a tratti. orientamento positivo (immaginando di camminare sulla frontiera della curva il nostro

dominio si deve trovare sulla sinistra) senso antiorario.

Quindi praticamente gauss-green ti può semplificare la vita in 2 modi:

se devi calcolare un integrale curvilineo di una figura semplice allora ti può convenire trasformarlo in un

integrale doppio e calcolarne l’area.

se invece ti si chiede di calcolare l’area di una figura complessa allora forse può convenire trasformarlo in

in integrale curvilineo e calcolarlo.

cos’è l’integrale doppio?(o integrale multiplo) come è definito?

l’integrale multiplo è una forma di integrale definito esteso a più variabili.

cos’è un insieme misurabile?

una funzione si dice misurabile se esiste l’integrale che ne misura l’area

cosa sono le derivate direzionali?

la derivata direzionale è il grafico della pendenza lungo una direzione indicata da un vettore(versore)

è un’estensione del concetto di derivata rispetto ad una variabile

la derivata direzionale della funzione f nel punto x con 0 e y con 0 lungo un cammino indicato dal vettore di

norma unitaria v è uguale al prodotto scalare tra il vettore e il gradiente della funzione valutata nel punto.

ovviamente f deve essere definita in un insieme aperto D e con valoro in R e differenziabile nel punto

altrimenti non potresti calcolare il gradiente.

cosa sono le Derivate parziali?

le derivate parziali sono un caso particolare di derivate direzionali

sarebbe il limite dal rapporto incrementale

geometricamente la derivata parziale rispetto una variabile di una funzione rappresenta l’andamento della

pendenza della retta tangente al grafico della curva,

non a caso le derivate direzionali lungo il vettore 1,0 e 0,1 sono esattamente le derivate parziali rispetto a

x,y. trovare la soluzione del sistema di più derivate parziali poste uguali a 0 vuol dire trovare quel punto in

cui rispetto ad ogni variabile si ha tangensa orizzontale , vale a dire che si ha un punto di massimo o un

punto di minimo.

cos’è il moltiplicatore di lagrange?

lambda è una variabile inserita nel teorema dei moltiplicatori di lagrange, è il valore reale per cui sia nullo il

gradiente della funzione lagrangiana.

geometricamente è il coefficiente di correzione dell’eventuale antisimmetria o lunghezza dei vettori

gradiente di f e gradiente di g che si eguagliano e si mettono a sistema per trovare i punti di massimo e

minimo vincolati

cos’è il teorema della divergenza(flusso del campo vettoriale)?

è il calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.

Sotto opportune ipotesi di regolarità possiamo trasformare un integrale curvilineo o di superficie in un

integrale di volume.

il teorema dice:

l’integrale di una superficie orientata positivamente nel campo vettoriale è uguale al volume della sua

divergenza.

il teorema della divergenza o teorema di stokes non è altro che il teorema di gauss-green ampliato ad un

concetto tridimensionale in R3 ansichè in R2(nel piano)

cosè una funzione differenziale?

è il grafico del piano tangente infatti è una funzione che quantifica la variazione infinitesimale della funzione

rispetto ad una variabile indipendente. è la migliore approssimazione lineare della funzione in un punto

cosè una funzione regolare a tratti?

una funzione regolare a tratti è una funzione con derivata prima continua a tratti, la definizione è:

Una funzione definita in un intervallo si dice a tratti se esiste uno o più intervalli in cui la funzione è regolare

regolare vuol dire che è derivabile infinite volte con derivate continue