Quarta parte appunti Analisi 1

Per il teorema di Peano:

e^x = ∑_k=0^m x^k/k! + o(x^m) x→0

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + x^m/m! + o(x^m) x→0

Se m=1, si ritroviamo

e^x = 1+x+o(x) x→0

Sviluppo di Maclaurin di log(1+x):

log(1+x) ∈ C (−1,+∞) 0 ∈ (−1,+∞)

f_m(x) = ∑_k=1^m (−1)^k−1 x^k/k m ∈ N, m ≥ 1

Per il teorema di Peano:

log(1+x) = ∑_k=1^m (−1)^k−1 x^k/k + o(x^m) x→0

log(1+x) = x − 1/2 x² + 1/3 x³ + ... + (−1)^m−1 x^m/m + o(x^m) x→0

Per m=1 si ha

log(1+x) = x + o(x) x→0

Esempio:

Determinare a>0 t.c. lim_x→∞⁺ x log(1+x) + x^a/x² = 1

∈ R{∞}

Con i limiti notevoli:

log(1+t) = t + o(t) t→0

t = x, log(1−x) = −x + o(x) x→0

x log(1−x) = −x² + o(x²) x→0

In quanto xo(x) = o(x²), x o(x)/x⁴ = o(x)/x→0 _x→0

e^t = 1 + t + o(t) t → 0

t x = 2 → 0 → t|x² + o(x²) x → 0

Per (1) e (2) si ha:

x log (1-x) + e^x2 -1 = -x² + o(x²) ≠ 1 + x² + o(x²) = x o(x²)

se x > 0;

O(x²) o(e^x2)

x² → - 1 → {

• se γ = 2
• se γ < 2
• se γ > 2

O(1+∞) p.l.

Solo con limiti notevoli non

si conclude.

log(1+t) = t - t²/2 + o(t²) t → 0

t = x → 0

log(1-x) = -x - x²/2 + o(x²) x → 0

x log(1-x) = -x² - x³/2 + o(x³) x → 0

e^t = 1 + t + t²/2 + o(t³) t → 0

t = -x → 0

e^x2 = 1 + x² + x⁴/2 + o(x⁴) = 1 + x² + o(x³)

x log(1-x) + e^x2 - 1 = -x² - x³/2 + o(x²) ≠ 1 + x² + o(x³)

= - x²/2 + o(x³) x → 0

In conclusione: preso γ = 3

2. Determinare l'ordine di infinitesimo di

f(x) = cos(2√x) - e^-2x per x → 0⁺

cos t = 1 - t²/2 + t⁴/4 + o(t⁴) t → 0

t = 2√x x → 0⁺

cos(2√x) = 1 - (2√x)²/2 + (2√x)⁴/4 + o((√x)⁴) x → 0⁺

= 1 - 2x + 2x²/2 + o(x²) x → 0⁺

= 1 - 2x + x² + o(x²) x → 0⁺

e^-t = 1 + t + t²/2 + o(t²) t → 0

t = -2x → 0⁺

e^-2x = 1 - 2x + (-2x)²/2 + o(x²) x → 0

= 1 - 2x + 2x² + o(x²) x → 0

cos(2√x) - e^-2x = 1 - 2x + x² - 1 + 2x - 2x² + o(x²)

= - x² + o(x²) x → 0⁺

3. Calcolare lo sviluppo di Maclaurin formato al

secondo ordine di:

f(x) = e/(2x² + 1)

2x² + 1 = e - e²x

e^t = 1 + t + t²/2 + o(t²) t → 0

t = 2x → 0

3/4 ∈ [-1, 1]

max f(x) = ^33/4⁄₄

min f(x) = -2

consideriamo f|[-1, 1/2]   3/4 ∉ [-1, 1/2]

min f|[-1, 1/2] = -2

max f|[-1, 1/2] = f(1/2) = ¹⁄₈ - ¹⁄₂ = -¹⁄₁₆

Teorema:

Se f: (a, b) → R convessa e x₀ è p.to critico di f, f è derivabile in x₀ e f'(x₀) = 0

Allora x₀ è p.to di minimo assoluto.

Dim: Per il teorema precedente

∀ x ∈ (a, b):

f(x) ≥ f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀) = f(x₀)

Oss: Se f: (a, b) → R concava e x₀ ∈ (a, b) f derivabile in x₀

se x₀ è p.to critico per f, allora x₀ è p.to di max assoluto.

Formula del binomio di Newton:

a, b ∈ R, m ∈ N, m ≥ 1

(a + b)^m = ∑ _k=0^m (m k) a^m-k b^k dove:

(m k) = m! / (k! (m-k)!)

0 ≤ k ≤ m coefficiente binomiale

1. (m 0) = m! / 0! m! = 1; (m m) = m! / m! 0! = 1
2. (m k) = (m m-k)

eq. retta tangente a log x in 1 e ൦: x - 1

log x è strett. crescente in (0,+∞)

Per la (2) si ha: log x < x - 1 ∀ x > 0, x ≠ 1 (3)

Se poniamo t = x - 1, x = t + 1

t > -1, t ≠ 0

Dalla (3) segue:

log (t + 1) < t ∀ t > -1, t ≠ 0

oss: log(1 + t) = t + o(t) t → 0

Sviluppo di Maclaurin di (1+x)^δ x∈ℝ:

(1+x)^δ ∈ C^∞(_(0,+∞) )

m ∈ ℕ, m ≥ 1

(1+x)^δ = ∑_κ=0^m_Cκ^δ x^k + o(x^m) x→0

dove _Cκ^δ = δ(δ-1)...(δ-κ+1)/κ!

D^κ(1+x)^δ = δ(δ-1)...(δ-κ+1)(1+x)^δ-κ, κ ∈ ℕ

Proviamo (с1) per induzione su :

k = 1

D(1+x)^δ − δ(1+x)^δ-1 è la (с1) per k = 1

Supponiamo la (с1) vera per k ∈ ℕ, passiamo a

riverserre (с1) per k + 1

Esempio studio di funzione:

f(x) = x e^1/(1-|x|)

1. Dominio di f

1–1/|x| ≠ 0, 1/|x| ≠ 1, x ≠ ±1

dom_f = (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞)

2. Eventuali simmetrie (parità, periodicità)

f(-x) = x e^1–1/|–x| = x e^1–1/|x| = -f(x)

f è dispari nel suo dom_f

Basta studiare f in [0,1) ∪ (1,+∞)

f(x) = x e^1–1/x, x > 0, x ≠ ±1

3. Limiti agli estremi del dominio

f(0) = 0, lim_x→1^– f(x) = +∞

x = ±1 asintoto verticale

1–1/x > 0 se x < 1

lim_x→1^– f(x) = lim_x→1^–x e^1/(1-x) = 0

lim_x→0⁺ f(x) = +∞

lim_x→+∞f(x) = +∞

Asintoti: in generale, f( x₀

1. lim_x→x0⁺ f(x) = +∞ si dice che x = x₀ è asintoto verticale
2. lim_x→+∞ f(x) = b ∈ ℝ, si dice che y = b è asintoto orizzontale

f(x) = b + o(1), x→±∞

3. f(x) = ax + b + o(1), x→±∞, si dice che y = ax + b è

Appunto :

D := {a = x₀ ≤ x₁ ≤ ... ≤ xₙ = b}

oss: se D è una suddivisione

D = {a = x₀ ≤ x₁ ≤ xₙ = b}

L'intervallo [a, b] e suddiviso in n intervalli(x_i-1, x_i