Quarta parte appunti Analisi 1

Name: Quarta parte appunti Analisi 1
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Author: Krishna10

Revisionato il 08/09/2026

di Krishna10

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Appunti completi su tutto il corso di Analisi 1. Suddiviso in 4 parti di 80 pagine c.ca. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Sforza, …

Esame Analisi 1

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Sforza Daniela

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

81 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Teorema di Peano

Per il teorema di Peano: e^x = ∑_k=0 ¹/_k! x^k + o(x^m) x → 0 e^x = 1 + x + ^x²/₂ + ^x³/₃ + ... + ^{x^m}/_m! + o(x^m) x → 0

Se m = 1, ritroviamo e^x = 1 + x + o(x) x → 0

Sviluppo di MacLaurin di log (1+x)

Sviluppo di MacLaurin di log (1+x): log(1+x) ∈ C^∞(-1,+∞) 0 ∈ (-1,+∞)

f_m(x) = ∑_k=1 _m/^k(-1)^k-1 x^k M ∈ N, m ≥ 1

Per il teorema di Peano: log(1+x) = ∑_k=1 ^{(-1)^k-1}/_k x^k + o(x^m) x → 0

log(1+x) = x - ¹/₂ x² + ¹/₃ x³ + ... + (-1)^m-1 ¹/_m x^m + o(x^m) x → 0

Per m = 1 si ha log(1+x) = x + o(x) x → 0

Esempio

Esempio: Determinare x > 0 tale che lim_{x → 0⁺} ^{x log(1+x) + x²}/_x³ ∈ R\{∞}

Con i limiti notevoli: log(1+t) = t + o(t) t → 0

t = x - log(1-x) = -x + o(x) x → 0

x log(1-x) = -x² + o(x²) x → 0

In quanto x o(x) = o(x²), x o(x)/x⁴ = o(x)/x x → 0

Teorema di Peano

Per il teorema di Peano: e^x = ∑_k=0 x^k/k! + o(x^m) x→0

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/3 + ... + x^m/m! + o(x^m) x→0

Se m=1, ritroviamo e^x = 1 + x + o(x) x→0

Sviluppo di Maclaurin di log (1+x)

Sviluppo di Maclaurin di log (1+x): log (1+x) ∈ C^∞ ([-1,+∞)) 0 ∈ (-1,+∞)

f_m(x) = ∑_k=1^m (-1)^k-1 x^k/k m ∈ N, m ≥ 1

Per il teorema di Peano: log (1+x) = ∑_k=1 (-1)^k-1 x^k/k + o(x^m) x→0

log (1+x) = x - 1/2 x² + 1/3 x³ + ... + (-1)^m-1(m ⁿ)^-1 + o(x^m) x→0

Per m = 1 si ha log (1+x) = x + o(x) x→0

Esempio

Esempio: Determinare s>0 t.c. lim_x→s^- x log(1+x) + x² = 1

Con i limiti notevoli: log (1+t) = t + o(t) t→0

t = x log(1-x) = -x + o(x) x→0

x log (1-x) = -x² + o(x²) x→0

In quanto x o(x) = o(x²), x o(x)/x⁴ = o(x)/x (x→0)

Sviluppi e limiti

e^t = 1 + t + o(t) _{t → 0}

t = x² → 0 ⟹ e^x² = 1 + x² + o(x²) _{x → 0}

Per (1) e (2) si ha: x log (1 - x) + e^x² - 1 = -x² + o(x²) + x² + o(x²) - x² = o(x²)

Se α > 0 : lim_{x → 0} ^O(x²) / _x^α = ^O(1) / _x^2-α →

0 se α = 2
0 se γ < 2
O(1 + ∞) R.I. se γ ≥ 2

Solo con limiti notevoli non si conclude.

log (1 + t) = t + ^t² / ₂ + o(t²) _{t → 0}

t = ^x² / ₂ → 0 _{x → 0}

log (1 - x) = -x - ^x² / ₂ + o(x²) _{x → 0}

x log (1 - x) = -^x² / ₂ + o(x³) _{x → 0}

e^t = 1 + t + ^t² / ₂ + o(t²) _{t → 0}

t = ^x² / ₂ → 0 _{x → 0}

e^x² = 1 + x² + ^x⁴ / ₂ + o(x⁴) = 1 + x² + o(x³)

x log (1 - x) + e^x² - 1 = -^x² / ₂ + ^x³ / ₂ + o(x²) + 1 + x² + o(x²) - 1 = -^x² / ₂ + o( x³ ) _{x → 0}

In conclusione: presto γ = 3

lim_x→0 x log(1-x) + ^x²/_x³ - 1_c - ¹/₂ ≠ 0

Sviluppo di Maclaurin di senx

Sviluppo di Maclaurin di senx: senx ∈ C^∞(R)

D senx = cosx

D² senx = D cosx = -senx

D³ senx = D(-senx) = -cosx

D⁴ senx = D(-cosx) = senx

Dⁿ senx = (-1)^m senx ∀ m ∈ N ₍₁₎

D²ⁿ senx ⎪_x=0 = 0 ∀ m ∈ N

D^2m+1 senx = (-1)^m cosx ∀ m ∈ N ₍₂₎

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