Quadratiche

Ricordoo: 1ue affine f(x) = <b,x>+c b∈ℝⁿ

c∈ℝ

1ue quadratica f(x) = <Ax,x> -A ∈Mₙ(ℝ), simmetrica

≠0 è equivalente a <•,•>

0 => λ₁ϵ σ(A), λ=0.

.

... λi≠0

tr...

la ... a livello della f ue x²-2y²+2xy =

A=[λ₁ -1]

[-1 λ₂]

... il segno degli autovaloti di A determinare

autovalore del ... non cambia segno

det₂ det(Π-diag_-1)

traccia

tr(B)= . tr(A).. 2 ...a_...i

det A = λ₁...λ_n ... λ₂.

det A = λ...λ

tr(A) = λ₁+λ₂

det(A) =3 = λ₁ x₁ λ₂

la forma quadratica ... e le curve a livello

sono delle iperboli con centro di simmetria nell'origine

Qui generalizzo il concetto di matrice a quella reale simmetrica. Se la matrice A ∈ R^n,n, A = A^T allora esiste una matrice Q orthogonale t.c Q^T = Q e tale che Q^TAQ = D = diag(λ₁,λ₂,...,λ_n) dove λ₁, λ₂, ..., λ_n sono i valori propri di A.

Ricordo gli autovalori:

• Qualità positività per x ≠ 0: _{Q(x) > 0}
• Qualità negatività per x ≠ 0: _{Q(x) < 0}

Semidefiniamoci positivo: Q(x) ≥ 0

• Q è definita positiva ⇒ gli autovalori di A sono positivi (λ_i > 0)
• Q è definita negativa ⇒ gli autovalori di A sono negativi (λ_i < 0)
• Q è semidefinita positiva ⇒ λ_i ≥ 0.
• Q è semidefinita negativa ⇒ λ_i ≤ 0
• Q è indefinita ⇒ il segno cambia: autovalore discordante.

Dim:_th

Dimostrando:

• Q è positiva ⇒ λ_i > 0 ∀i.
• Q è negativa ⇒ λ_i < 0 ∀i.

NB unico modo: la matrice cambia il segno di P.

Polinomio di grado 2

ax₂ + by₂ + cxy + dx + ey + f con a, b, c, d, e, f ∈ ℝ

polinomi omogenei di grado n dei parametri x_i ∈ ℝⁿ

posti x_i x₁ x₂ ... x_n

_j=1

punti con origine

conseguono numerico di coeff. con termine logolale

naturalmente possono pure essere a_i0, a_ie _il numerico numerico

in ℝⁿ denomiamo con prodotto scalare definito su ℝⁿ

_i=1

il prodotto scalare usiamo indicato per capelle coodinamento dei varpi

ex. se u, v =_u1m_u2 +_v2 cos( m_u1m_u2 +_v2 )

ex. con 0≤ Θ≤ π

se u ⊥ v (e) < sub>u)

con il prodotto scalare si può riconoscere una lunghezza realizzata, la sintoma u +v _uv u sintomo Euclidea disimato sulla prodotto scalare e poga

||u|| = _uv

d(u, v) = ||u - v||

Rappresentiamo ora un polinomio affeito a ℝⁿ rutilizzando il prodotto scalare

d(x₁, x_n) = (Ax, x) +_{b, x} + c

con Aimestre nxn Aimerize A^T A = A^T A

b vettere ∈ ℝⁿ

C ∈ ℝ