Quadratiche

RICHIAMO: fue aff.ne

f(x) = <b, x>+c _{x ∈ Rⁿ}

b ∈ Rⁿ

c ∈ R

fue quadratica f(x) = <Ax, x> A ∈ M_n(R), simmetrica

<0 ⟺ λ ∈ (A) , λ < 0

f.q. <0 ⟺ λ < 0

uncico se ∃ λ₁, λ₂ ∈ (A) di segno opposto

≠ alle f.q. ogniue fue aff.ne esso recono una costrocicia parr

tessa le cune al livelo delle fue x²-2y²+2xy = <A[], []>

A = ^{[4 -1]}

____ [-1 -2]

determinimo il segno degli autocaloli di A.

matrice di autovaloli utilizziamo gli inquinioni

determinante B = Π λ_i

matrice non conti > 0 ṣeq. cambio seg.

dett ⃝ determin. detP = detP. detA. detP^-1

matrice ipagionale

traccia

tr(B) = tr(A) = Σ_i a_ii

detA = λ₁, λ₂, ... λ_n

mi nuc nutrice 2x2 eunea miunde A

tr(A) = λ₁ + λ₂

detA = λ₁λ₂

tr(A) = λ₁ + λ₂

>0 se cunocchia

det(A) = -3 = λ₁λ₂ ⇒ λ₁ e λ₂ sonu discoculti ⇒ conc di une una

le furina quadratica è untetitita e le cunie au livello

sono delle febod au centro di' simmetria nel doppio

Riepilogo: f.ve lineare f(x)=<b,x>+c b∈Rⁿ c∈R

f.ve quadratica f(x)=<Ax,x> A∈M_n(R), simmetrica

⟺ λ∈ζ(A), λ≥0.

f.q. ⟺ λ₀ < 0

↥ max ⟺ ∃ λ₁, λ₂ ∈ ζ(A), ai segno opposto

fissare le fisse coniche fisse

traccia le curve al livello dello fuve x²z²y²z+ zy = <A[Y],[Z]>

A = | -1 -1 | | λ₁ - 2 |

determinando il segno degli autovalori di A. moltiplicare gli autovalori

matrice di autovalori

determinante B = T π. π.tmoltiplicarsi il solito determinante

traccia al solito diagonale

tr(B) = tr(A) = Σ_i a_ii

det A= λ₁ · λ₂ ... λₙ

in una matrice 2x2 viene la matrice A.

tr(A) = λ₁λ₂

det(A) = -3 = λ₁λ₂ ⇒ λ₁ e λ₂ sono discordi ⇒ forma di une selle

la forma quadrate e' indefinite e le curve di livello sono delle “iprobli” coi centro di simmetria dell’asgio

In questa lezione si parlerà delle forme quadratiche.

Q_(x) = x^t * A * x, A (simmetrica) si esegua il K di A --> Q diversa da 0 vettore x diverso da 0

Alternativa senza fare operazioni su matrice a forma quadrica

Q_(x sup) R^n, x diverso da 0

(considerare tutti possibili (x))

definita negativa se Q(x) < 0

/_{(x) ... 0}/ % ... x D

Q(x) = x^t x ... 0

concava (anche se f (x) = ()0

f_: x (sup) R

monotona neg ... / gro / (intervalli) ... il ... concava

(x_n > 1947 se monotonia positiva <superato)

monotonia ne -> 1 se x ... x di x / conv a (2x)(s)< 0

(TH si definita positiva -> gli autovalori di A sono positivi (lambda_i > 0)

Q (e definita negativa s ... gli autovalori di A sono negativi (lambda < 0)

Q e semidefinita positiva lambda > 0 i_0 != n

Q e semidefinita negativa lambda < 0 % i_1++, n

Q e indefinito implicare diversamente che autovalori diversi

* Dim 1-*

Riprendiamo i passaggi fatti nel precedente, ma tra la matrice

attaguata del cambiamento di base diagonale

Q(x) = x^(T)A * x = x^(T)Dx = _i=1ⁿ (lambda_i)(x_i^t)^2

x=T*x con V°x ... ||...

Q >= 0 lambda_i > 0 ... i

Q < 0 Q_i < 0, ... i.

λ₁, λ₂ autovalori

(0,0) è ell. min

k > 0 λ₁,λ₂ > 0

ELISSE

k > 0 λ₁ × λ₂ < 0

VUOTO

k < 0 λ₁,λ₂ > 0

VUOTO

se non c'è la curva al nulla

se ρ(Q)=ρ(A) è tutto riempito

k < 0 λ₁, λ₂ < 0

ELISSE

ρ(0) è ell. max ↑

autovalori negativi → grafico col arco ⊕

k = 0 C_r ≅ {0,01}

λ₁, λ₂ > 0

PARABOLOIDE

ELLITTICO

λ₁, λ₂ autovalori

k > 0

IPERBOLE

k < 0

IPERBOLE

k = 0

(λ₁|x|) = (x₂|y|)

2 RETTE PASSANTI PER L'ORIGINE

(ASIINTOTI DELLE IPERBOLE)

IPERBOLOIDE

forma semplice ed

a sella

(0,0) non è né max

né minimo

ma

PUNTO DI SELLA

0...

minimo se da "coda a cavallo"

0 ... massimo se da un lato all'altro

testa

coda

Consideriamo le equazioni coniche chiuse che vengono passare per O.

Dato un numero k ∈ ℝ:C_k = {(x, y) ∈ ℝ² / Q(x, y) = k }

ax² + 2bxy + cy² = k, m coniche< A [_x] [_y] > = k emendo A simmetrica la possiamodiagonalizzare ovvero possiamo sostituire sim foluisceav autovalori.

A = T D T^-1, D = [^{λ₁ 0}/_{0 λ2}], T = [^v₁/_v2]autovettori di A

importiamo tale rappresentazione al posto di A:

< T D T [_y] [_x] > = k(T D T [_y])^T [_x] = k[^x/_y]^T T DT [_x] = k

[^x/_y]^T D [_x/ _y]-k → λ₁(x')² + λ₂(y')² = k

iperbole o ellipse

essere nel nuovosistema di softemme!!

NB il termine xy migliora la canadione

Vediamo ora le posizioni tra λ₁, λ₂ e k

k > 0, λ₁, λ₂ > 0 oppure k < 0, λ₁ λ₂ < 0

(^x)/(√(k/λ₁))² + (^y)/(√(k/λ₂))² = 1

ELLISSE

centro (0,0)semiassi √^k/λ₁ √^k/λ₂

Se la matrice A ha autovalori di fegno coniQucodanno una elline

Vediamo cosa rappresentano graficamente già il polinomio di grado 1, già quello omogeneo di grado 2.

A = 0, il polinomio si riduce alla f.ne AFFINEp(x) = b,x + t nel piano è una rettap(x) = b,x + c sul grafico è un pipercìano

presumiamo cui esempio n = 2, x₂ = x₁ = x = x, y[x₂ ] = [ 0 ]

∂P(x,y) = b_yx + ay + c

_amm.conties

tratto dell’equione cartesianadi un piano∏ ai vertice

NB: le A = I invece (ritetto in Rⁿ)→ Q(x) = = ||x||₂²

Ogni forma quadra conice al mio distanza

Preniamo per primo n = 2 → Q(x,y) = ax² + 2bxy + ay²

^{atom ql}

Q(x) = con A numerica e n x n,

NB: si visualizare graficamente sono quando nn N S

Roesiamo al polionoio di grado 2

A = [ a b ]    [ b c ]

⇒ A’[ x ] = [ ax+by ]     [ y ]    [ bx+cy ]