Quaderno di teoria Elettronica ed Elettrotecnica

BIPOLI IN SERIE

Attraversati dalla stessa corrente

DIM

• i₁ + i₂ = 0
• i₁ = -i₂

ma attraversati da tensioni diverse

• V - V₁ + V₂ - V₃ = 0 ⇒ V = V₁ - V₂ + V₃

BIPOLI IN PARALLELO

Sono attraversati da diversa corrente

• I_TOT = I' + I'' + I'''

ma attraversati dalla stessa tensione: sono infatti collegati attraverso un unico filo equipotenziale a ogni loro polo

TEOREMA DI THEVENIN

Se il circuito è lineare, ai due morsetti può esser rappresentato equivalentemente da un generatore E' e una Rea

DIM: Lo dimostro con la sovrapposizione degli effetti

• Pongo due generatori E₁, E₂ ∈ E', E'' tali che non variano nulla (E₁, E₂ = 0)
• G₁ {E₁, E', generatori di B}
• G₂ {E₂, generatori di A}

. Spengo G₁ e calcolo i₁: E'_I + Rea i₂ = 0 quando i₂ = 0

. Spengo G₂ la corrente i' = i₁ + i₂ ma i' = 0, quindi l'unico contributo è dato da i₂!!

Sovrapposizione degli effetti

L'effetto finale dato da n cause, è uguale alla somma dei singoli effetti citati dalle singole cause.

Dim: ipotizzo di calcolare la corrente su un circuito di n generatori E

[R][I_a] + [I_a] = [E₁] + [E_p] + [E_p+1]

[R][I_a] + [I_a] = [E₁] + [E_p]

[R][I_a] - [E_n]

Regime Permanente Sinusoidale

Un circuito sottoposto a eccitazioni di natura sinusoidale risponde con effetti sinusoidali nelle sue grandezze.

Comportamenti

• i(t) = I_M cos (ωt + φ_i)
• v(t) = V_M cos (ωt + φ_v)

Sui bipoli:

• Resistenza: applicata i(t) = I_M cos (ωt + φ_i) v(t) = RI_M cos (ωt + φ_i)   φ_v = φ_i componente in fase il consumo energetico è massimo
• Condensatore: applicata i(t) = C dv(t)/dt v(t) = -1/ωC I_M sin (ωt + φ_v) i(t) = C V_M w cos (ωt + φ_v + π/2)
• Induttore: applicata i(t) i(t) = -1/ωL I_M w sin (ωt + φ_i) v(t) = L I_M w cos (ωt + φ_i + π/2)

Potenza istantanea

P(t)= V(t) I(t) = V_M I_M cos(ωt+φ_i) ^attiva I_M cos(ωt+φ_i) ^fluttuante

Sui bipoli:

• Resistenza: V_M I_M/2 + V_M I_M/2 cos (2ωt +2φ_i)
• Condensat/Induttore: V_M I_M/2 cos (2ωt + 2 φ_v + π/2)

DIMOSTRARE IL TEOREMA DELL'UNICITÀ DEL CENTRO STELLA NEI SISTEMI TRIFASE E GIUSTIFICARNE L'UTILIZZO.

Per la dimostrazione si può prendere il nodo θ come nodo di riferimento.Si procede risolvendo per nodi:

[V_A] = [y₁ + y₂ + y₃] = [E₁y₁ + Ỹ₂E₂ + Ỹ₃E₃](= V_Θ,A)

V_A = E₁y₁ + E₂y₂ + E₃y₃ Pongo ora la condizione che il sistema sia simmetrico ed equilibratoquindi pongo che Ỹ₁y₂, Ỹ₃ e che la somma di E = 0e ottengo V_A = Ỹ (E₁ + E₂ + E₃)⇒ V_Θ,A = Θ/3 = 0 !

Si arriva a un'importante conclusione ovvero che il centro stella si trovi a potenziale zero e che quindi è come se i due punti fossero uniti da una semplice superficie equipotenziale. Questo teorema trova applicazione ad esempio nel voltmetro il quale ne applicato al centro stella restituisce il valore efficace della tensione; oppure nel wattmetro che calcola la parte reale della potenza complessa.

Un'altra importante applicazione è nel rifasamento di una struttura trifase: grazie a questo teorema, se si lavora con sistemi simmetrici ed equilibrati, si può calcolare più facilmente la C del condensatore da destinare al rifasamento; le 3 linee possono esser trattate come indipendenti, posso calcolare la C per una sola linea, e poi tenendo conto dei corretti rifasamenti tra una linea e l'altra (120° rispetto alla precedente) posso applicare il risultato alle altre linee rimanenti.

(A) RELAZIONE INPUT OUTPUT DELLA TENSIONE SU UN INTEGRATORE

V_out = -V_cV_c = ¹/_C ∫ V(t) dtV_out = -¹/_RC ∫ V_IN(t) dt

(B) DESCRIVERE LA RELAZIONE DI V_IN E V_out IN UN AMPLIFICATORE SOMMATORE

per kirchhoff: i₁ = ^V₁/_R1, i₂ = ^V₂/_R2, i₃ = ^V₃/_R3V_out = -R (^V₁/_R1 + ^V₂/_R2 + ^V₃/_R3)

• Se R = R₁ = R₂ = R₃ ⇒ - (V₁ + V₂ + V₃)

Nota: se uso una R ≠ R₁, R₂, R₃ ho anche un'amplificazione e ho sempre un side effect d'inversione. Per ottenere un output non invertito posso porre in uscita un amplificatore operazionale invertente.

(C) DESCRIVERE LA RELAZIONE DI V_IN E V_out IN UN AMPLIFICATORE DERIVATORE

V_out = -RIi_C(t) = C ^dV_i(t)/_dtV_OUT = -RC ^dV_IN(t)/_dt

Teoria dei grafi

La introduco per costruire un sistema risolutivo del circuito formato da equazioni indipendenti quindi determinato, e vedo il circuito come un grafo orientato. Ad esempio:

Scelgo tanti tagli fondamentali quanti rami ho scelto e costruisco il 1^o principio di Kirchoff

(I_R) + (A) (I_C) = 0

matrice di incidenza rami-corde

Poi costruisco il 2^o principio:

(V_C) + (B) (V_R) = 0

matrice di incidenza corde-rami → (B) = -(A)^T

Da qui proviene il metodo su base maglie. Esempio:

equazione costitutivaV = E - Ri

(V_R) = (E_R) - (R_R) (I_R)

(V_C) = (E_C) - (R_C) (I_C)

sostituendole in (V_C) + B (V_R) = 0 ottengo

resistenze di maglia

tensioni di maglia