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Metodi Matematici II
Prof. Gianluca Fusai
Operazione finanziaria - consiste in uno scambio di importi monetari noti a date prefissate, esistono due tipi:
- Capitalizzazione
si rinuncia a un certo capitale oggi (C) per ricevere un certo capitale alla scadenza (M=montante/valore finale).
È lo scambio tra una disponibilità immediata (capitale) con una disponibilità futura (montante).
Prospetto flussi di cassa
- Date
Importi -C +M
T-t durata operazione (di solito espresso in anni) = τ (tau)
C,M>0 (espressi in euro)
Interesse operazione = M-C = I(t,T)/I(τ)
Fattore di montante - indica quanto rende ogni euro che è stato investito
- Es. 0° 1
- τ 1,2 Fτ4,2
- 70 70·1,2 I=70·4,2
Possiamo dire che I=C·(f(τ) -1)
Struttura per scadenza di fattori di montante
Durata (τ) 0 1 2 3 τ
- f(τ) 1 1,1 1,2 1,3
- f(0)=1
Se τ = 3 e C = 50
0 3
50 50:1,3 → I = 1,5 €
Attualizzazione
Si rinuncia a un importo futuro (N: valore nominale) per avere una disponibilità subito (A: valore attuale)
A → N
A > N
Tabella flussi di cassa/scadenziario
Durata 0 τ
A → → N
A, N > 0 (espressi in euro)
Sconto (D) = N - A → A = N - D(τe)
Fattore di sconto - indico quanto si ottiene oggi per ogni euro a cui si rinuncia in τe
φ = A/N → A = N φ
possiamo dire che D(τe) = N (1 - φ(τe))
Struttura per scadenza dei fattori di sconto
Durata (τe) 0 1 2 3 τ
φ 0.9 0.8 0.75 φ(τe)
φ(0)=1
Arbitraggio
È un'operazione economica che consiste nell'acquistare un bene su un mercato rivendendolo su un altro al fine di ottenere profitto.
L'operazione è possibile solo se il ricavo che si ottiene supera i costi di trasferimento da un mercato all'altro del bene.
L'operazione è possibile inoltre solo se i produttori non si accorgono di ciò o non adottano un prezzo di equilibrio.
Tassi Equivalenti
i = im/numero di periodi nell'anno
m = 12 → pensiamo in mesi, quindi i12 = tasso mensile
m = 2 → semestre quindi i2 = tasso semestrale
per convenzione i = tasso annuo
Gli interessi che si maturano non dipendono dall'unità di misura del tempo
ie CANNO re = durata in anni im Ctasso periodale (m,re)durata in periodi
Tassi Equivalenti Semplici
i im sono equivalenti se i = im m 0 → m-i/m
Esempio
re = 6 m i=10% C=100
H = 100(1+10%/12 6) i
= 100 (1 +10%/2) -> i2 = 10%/2
= 100 (1 +10%/12) i
= 100 (1 +10%/12 6) -> i12 = 10%/12 re = 6
ESEMPIO
Capitalizzazione int composte 3 anni
Tasso annuo operazione?
M(3) = C(1 + i)3 → 120 = 100 (1 + i)3
i = ( 6/5 )1/3 - 1 = 0.062
In generale
M = C(1 + i)t
C = M(1 + i)−t
i = ( M/C )1/t - 1
ESEMPIO
Acquisto uno ZCB di vita residua 2 anni al prezzo di 95€
Calcolare il rendimento annuo dell'operazione finanziaria?
i = ( 100/95 )1/2 - 1 = 0.026
ESERCIZIO
Durata:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Tassi:
- 2%
- 3%
- 3.5%
- 4%
- 4.5%
Acquisto uno ZCB a 5 anni lo rivendo dopo un anno
Durata:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Tassi:
- 1%
- 1.5%
- 2%
- 2.5%
- 3%
Calcolare il tasso di rendimento di c/v?
Una rendita posticipata periodica, durata n anni con rata costante è
VA = R ∑j=1m 1 / (1+im)jn
VA = R · &diacriticaldot;nmim = a posticipato, durata n, i, m
E la scrittura semplificata di =
∑j=1m (1+im)-jn = (1-(1+im)-nm) / im poiché è una somma geometrica
ESERCIZIO
n = 30 anni
m = mensile
R = 5€
j12 = 12%
i12 = 12% / 12 = 1%
VA = 5 · &diacriticaldot;30,12,10,01 = 5 · (1 - (1+0,01)-360) / 0.01
= 97,248 € = 486,09 €
ESERCIZIO
R ? -> VA = 100 €
VA = R · &diacriticaldot;nmim
100 = R · 97,248 => R = 100 / 97,248 = 1,0286
Se la rendita è anticipata:
POST: X 1 1 1 &diacriticaldot;nmim a posticipato
0 1 2 nm
ANT: 1 1 1 X &diacriticaldot;nmim a anticipato
0 1 2 nm-1 nm
&diacriticaldot;nmim = &diacriticaldot;nmim + 1 - 1 / (1+im)nm
= (1 - (1+im)-nm) / im + (1 - (1+im)-nm)
= [1 - (1+im)-nm] (1 / im + 1)
&diacriticaldot;nmim = &diacriticaldot;nmim(1+im)
Formula calcolo cedola
C = δ/m * N
SCADENZARIO (tabella riporta le date di stacco cedola e di
rimborso del nominale e gli importi che saranno corrisposti
al detentore dell'obbligazione)
si costruisce in backward, partendo da TN si procede a ritroso
in base alla frequenza di stacco cedolare
ESEMPIO
costruire lo scadenzario di un titolo che ha vita residua 2 anni;
cedole semestrali, tasso cedolare del 2%, valore nominale
di 100 € e prezzo di 97 €
DATE 0 0.5 1 1.5 2
IMPORTI -97 +1 +1 +1 +1+100
C = δ/m * N = 0.02/2 * 100 = 1 € N=100, P=97, C=1
ESEMPIO*
vita residua 13 mesi, cedole semestrali, tasso cedolare del 10%,
valore nominale di 100, prezzo telquel di 95 €
DATE 0 1m 7m 13m
IMPORTI -95 +5 +5 +5+100
C = δ/m * N = 0.10/2 * 100 = 5 € N=100; P=95; C=5
la cedola che sarà incassata tra 1 mese ha iniziato a
maturare 5 mesi prima dell'acquisto
Posso ricavare ciò attraverso il concetto di NON ARBITRAGGIO
B1
-100
103
104
B2
0
4
102
106
Voglio trovare il prezzo di un bond che mi dia 6 € tra 1 anno e 106 € tra 2 anni
1 ANNO = 6 €
2 ANNI = 106 €
B
-P: ?
6
106
P - x 100 + y 100
x 103 + 4 y = 6
y 104 = 106
y = 1,0192
x = 0,0210
Se P > x 100 + y 100 allora vendi
Se P < x 100 + y 100 allora compro
Con questo metodo ho trovato flussi di cassa del bond attraverso i bond 1 e bond 2 e ho trovato il prezzo di replica, ossia il prezzo che mi permette di ricostruire i portafogli dei bond 1 e 2
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