Quaderno di appunti di Metodi matematici II con esempi e esercizi

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Author: lucaguida22

Revisionato il 28/06/2026

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Appunti presi seguendo tutte le lezioni in aula completi di spiegazioni teoriche, esempi e esercitazioni di calcolo finanziario, algebra lineare e ottimizzazione basati su appunti personali del …

Esame Metodi matematici 1

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Fusai Gianluca

Università Piemonte Orientale Amedeo Avogadro - Unipmn

A.A. 2021-2022

104 pagine

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Estratto del documento

Metodi Matematici II

Prof: Gianluca Fusai

Operazione finanziaria = consiste in uno scambio di importi monetari noti a date prefissate, esistono di due tipi.

Capitalizzazione

C (oggi) ---- t (scadenza) ----> M > C

Si rinuncia a un certo capitale oggi (C) per ricevere un certo capitale alla scadenza (M=montante/valore finale).

È lo scambio tra una disponibilità immediata (capitale) con una disponibilità futura (montante)

Prospetto flussi di cassa

DATE ......... T ................. t ............. +M
IMPORTI .. -C ................. +M .......... -C .................

T-t=durata operazione (di solito espresso in anni) = τ (tau)

C,M > 0 (espressi in euro)

Interesse operazione = M-C = I(t,T)/I(τe) _{(rilevante durata)}

I(τe)=M-C → M-C+I(τe)

Fattore di montante: indica quanto rende ogni euro che è stato investito

f(τe)=^M/_C → M=C f(τe)

Es:

O˚ .................... τe ......................... F₀,₁,₂

1 ........................ 1,2 .......................... F=1,2

-70 ................... 70,1,2 .................... I= 70,1,2

Possiamo dire che I = C (f(τe)-1)

Struttura per scadenza dei fattori di montante

Durata (τe) ... 0 .... 1 .... 2 .... 3 .... τe

f(τe) ............... 1 .... 1,1 ... 1,2 ... 1,3 ...

f(0)=1

Metodi Matematici II

Prof: Gianluca Fusai

Operazione finanziaria: consiste in uno scambio di importi monetari noti a date prefissate, esistono di due tipi.

Capitalizzazione: M > C

Si rinuncia a un certo capitale oggi (C) per ricevere un certo capitale alla scadenza (M=montante/valore finale).

È lo scambio tra una disponibilità immediata (capitale) con una disponibilità futura (montante).

Prospetto flussi di cassa

Date: t T t
Importi: -C +M -C

T-t=Durata operazione (di solito espresso in anni) = τ (tau)

C, M > 0 (espressi in euro)

Interesse operazione = M - C = I(t,T) / I(t) Rilevante durata

I(τe)=M-C → M=C+I(τe)

Fattore di montante: indica quanto rende ogni euro che è stato investito

f(τe)= M / C → M=C⋅f(τe)

Es:

0 τe
1 1.2 F=1,2
70 70⋅1.2 I=70⋅0.2 70

Possiamo dire che I=C⋅(f(τe)-1)

Struttura per scadenza dei fattori di montante

Durata (τe): 0 1 2 3 τe
f(τe): 1 1,1 1,2 1,3

f(0)=1

Attualizzazione - si rinuncia a un importo futuro (N: valore nominale) per avere una disponibilità subito (A: valore attuale)

TABELLA FLUSSI DI CASSA/SCADENZIARIO

Durata: 0 - t^e

Importi: +A - -N

A,N > 0 (espressi in euro)

Sconto (D) = N - A → A = N - D(t^e)

FATTORE DI SCONTO - indica quanto si ottiene oggi per ogni euro cui si rinuncia in t^e

ϕ = _A/^N → A = N.ϕ

possiamo dire che D(t^e) = N.(1 - ϕ(t^e))

STRUTTURA PER SCADENZA DEI FATTORI DI SCONTO

Durata (t^e) 0 1 2 3 t^e

ϕ 1 0.9 0.8 0.75 ϕ(t^e)

ϕ(0) = 1

ARBITRAGGIO - È un'operazione economica che consiste nell'acquistare un bene su un mercato rivendendolo su un altro. Al fine di ottenere profitto, l'operazione è possibile solo se il ricavo che si ottiene supera i costi di trasferimento da un mercato all'altro.

L'operazione è possibile molto solo se i produttori non si accorgono di ciò e non adottano un prezzo di equilibrio.

ci sono poi 3 casi:

F(e)_t φ(e)_t > 1 -> NON REGGE NEL LUNGO PERIODO (PROFITTO)
F(e)_t φ(e)_t < 1 -> NON REGGE NEL LUNGO PERIO (PERDITA)
F(e)_t φ(e)_t = 1 -> FATTORI DI SCONTO E MONTANTE CONIUGATI

Ne sussegue una condizione di non arbitraggio, ossia in nessun caso si ha guadagno o perdita certa

ESEMPIO

Costruire arbitraggio, sapendo che f = 1.2 e φ = 0.8

C₀ = 100

F(e)_t φ(e)_t = 1.2 ⋅ 0.8 = 0.96 ≠ 1

CAP.NE 0 1000 -120 100 ⋅ 1.2
ATT.NE -120 ⋅ 0.8 ⋅ 96 110 120

PROFITTO DI ARBITRAGGIO

SCINDIBILITA: Tassi forward, e un ulteriore condizione su quanto velocemente può ridursi il fattore di sconto o può aumentare il fattore di montante.

Per evidenziare il tempo si usa la notazione (t, T)

Se sposto il denaro con una capitalizzazione al tempo t₂ il mio denaro sarà C ⋅ F(t, t₂)

Potrei anche scindere l’investimento in 2 periodi così che al tempo t io avrò c·f(t, t₁), al tempo t₂ potrò avere c·f(t, t₁)·f(t₁, t₂).

Vale la condizione che f(t, t₂) = f(t, t₁)·f(t₁, t₂) se questa condizione non è soddisfa

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