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Psicometria: La verifica delle ipotesi

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Esame di Psicometria docente Prof. M. Vecchione

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Utilizzando le proprietà della distribuzione normale standardizzata possiamo calcolare la probabilità

di osservare un punteggio che ricade in una determinata zona della curva

Problema: in genere non sappiamo come le variabile si distribuisce nella popolazione (non

sappiamo quindi se la popolazione ha forma normale)

Possiamo ricorrere, però, al teorema del limite centrale!

La media che abbiamo osservato sul campione, infatti, appartiene alla distribuzione campionaria

delle medie calcolate su tutti i possibili campioni di ampiezza n che è possibile estrarre dalla

popolazione

Il teorema del limite centrale dimostra che la distribuzione campionaria delle medie approssima la

distribuzione normale, qualunque sia la forma della popolazione (quando n > 30)

Se assumiamo che H0 sia vera, possiamo definire le proprietà della distribuzione campionarie delle

medie.

La differenza tra la media osservata sul campione e la media attesa in base ad H0 viene quindi

divisa per la deviazione standard della distribuzione campionaria delle medie (errore standard):

z = X - μ

σ X

Questo punteggio rappresenta il test z [definito anche z «empirico» (è calcolato sul campione), per

distinguerlo dal punteggio z «critico»]

X – μ: Differenza tra il valore osservato nel campione e il valore atteso nella popolazione in base ad

H0 Maggiore è questa differenza, maggiore è la probabilità che l’ipotesi nulla sia falsa

σ : Può essere interpretato come la differenza attesa in base al caso tra il valore osservato sul

X campione e il valore della popolazione Maggiore è il rapporto tra numeratore e denominatore,

maggiore è la probabilità che l’ipotesi nulla sia falsa

La distanza tra valore osservato (campione) e valore atteso (popolazione) viene espressa in termini

di “errori standard”

Nell'esempio

z = X – μ = [...] = 1.21

σ X

Per trovare l’area compresa tra 1.21 e +∞ bisogna:

1. individuare l’area compresa tra 0 e +1.21, che corrisponde a .3869

2. Sottrarre tale area da .5000 (che corrisponde a metà curva): .5000 – .3869 = .1131

”Se l’ipotesi nulla fosse vera, quanto sarebbe probabile ottenere per effetto del caso una media

così distante da quella della popolazione?”

Nell’esempio questa probabilità è pari all’11% circa*

Se l’ipotesi nulla fosse vera, avremmo circa l’11% di probabilità di estrarre dalla popolazione un

campione con una media pari a 25.9 o superiore

* In SPSS la probabilità di osservare un determinato valore del test statistico (es. “z empirico”),

assumendo che H0 sia vera, viene indicata con il termine «Sign.» (livello di significatività: da non

confondere con il livello critico di significatività, di cui parleremo tra poco)

Una probabilità molto piccola significa che, se H0 è vera, i dati osservati sono particolarmente

insoliti (rari)

In questo caso dovremmo concludere che H0 (la condizione da cui siamo partiti) non è vera

(dovremmo rifiutare H0)

In altri termini, una probabilità molto piccola fornisce una forte evidenza contro H0

Più è piccola la probabilità di osservare una certa differenza tra X e μ, più è forte l’evidenza

statistica contro H0

Il ricercatore stabilisce a priori un valore soglia (valore critico) che definisce i confini delle

cosiddette regioni di rifiuto e di “accettazione” di H0

Tale valore viene indicato con la lettera greca alfa (α) o anche (livello critico di significatività)

Alfa rappresenta dunque la regola decisionale di cui abbiamo bisogno per stabilire se rifiutare o non

rifiutare l'ipotesi nulla.

Per convenzione, in genere si sceglie un valore alfa pari a .05 (o .01), che corrisponde ad una

probabilità del 5% (o 1%)

Il livello critico di significatività è dunque pari al 5% (o all’1%)

Se il valore ottenuto dal campione rientra fra quei valori molto rari perché inferiori al 5% (o all’1%)

dei casi, allora si dovrà concludere che esso non proviene dalla popolazione definita dall’ipotesi

nulla (la probabilità di ottenere tale valore solo per effetto del caso è troppo bassa)

Nell’esempio:

È sufficiente una probabilità di .1131 per poter rifiutare l’ipotesi nulla?

.1131 è una probabilità relativamente piccola ma non abbastanza (.11 > .05) per poter concludere,

con un ragionevole grado di certezza, che H0 è falsa

NON possiamo pertanto rifiutare l’ipotesi nulla, ovvero: il trattamento non ha effetto (la

popolazione da cui proviene il campione ha media pari a 24 )

L’ipotesi alternativa può essere bidirezionale

- La regione di rifiuto è ripartita ai due estremi della distribuzione (ipotesi a due code)

- Livello critico di significatività del 5%

1.96 è il punteggio z che delimita il 2.5% di casi nelle due code

L’ipotesi alternativa può essere unidirezionale

- La regione di rifiuto si trova ad un solo estremo della distribuzione (ipotesi ad una coda)

- Livello critico di significatività del 5%

1.65 è il punteggio z che delimita il 5% di casi in una delle due code

α Ipotesi alternativa monodirezionale Ipotesi alternativa bidirezionale

5,00% Z = + 1.65 o – 1.65 Z ± 1.96

1,00% Z = + 2.33 o – 2.33 Z ± 2.58

0,10% Z = + 3.10 o – 3.10 Z ± 3.32

Dimensione dell’effetto

Il test statistico consente di stabilire se rifiutare o meno l’ipotesi nulla

Rifiutare H0 significa concludere che si è verificato un qualche tipo di effetto o di differenza (es. un

intervento per aumentare l’autoefficacia scolastica ha avuto effetto)

La significatività del test, tuttavia, è influenzata dalla numerosità del campione. Inoltre, il test

statistico non ci dice quanto è forte l’effetto, ovvero quanto è rilevante dal punto di vista pratico

Per questo si utilizzano gli indici di dimensione dell’effetto (effect size)

Un indice di dimensione dell’effetto molto utilizzato nel test z su un campione è la d di Cohen, che

si calcola con le seguente formula:

d = X - μ

σ

Linee guida per l’interpretazione della d:

<.20: trascurabile

.20 - .50: piccolo

.50 - .80: moderato

> .80: grande

La d indica di quante deviazioni standard la media osservata sul campione si discosta da quella

attesa in base ad H0 (una d = 1 indica che la media osservata si discosta da quella attesa di una

deviazione standard)

In cosa differisce dalla formula del test z

Denominatore utilizza la deviazione standard (non l’errore standard). Nella formula non è quindi

presente n.

Verifica delle ipotesi e intervallo di confidenza

In precedenza abbiamo distinto tra due procedure nell'ambito della statitica inferenziale: la stima dei

parametri e la verifica delle ipotesi.

Abbiamo discusso l'utilizzo dell'intervallo di confidenza (IC) nel processo di stima dei parametri.

E' importante evidenziare che l'IC può essere usato anche nella verifica delle due ipotesi: per

sottoporre a verifica l'ipotesi, possiamo costruitre un IC attorno alla stima campionaria del

parametro μ.

Se il valore ipotizzato in base a HO cade al di fuori dell'IC dobbiamo rifiutare l'ipotesi nulla in

quanto poco probabile alla luce dei dati osservati nel campione.

I risultati ottenuti con il test z e con l'IC sono equivalenti, ovvero conducono sepre alla stessa

decisione

In alternativa l'IC si può centrare attorno alla differenza tra la media osservata sul ampione e la

media attesa in base a H0 (procedura utilizzata in SPSS)

Limite inferiore: diff – (σ * z ) =

x c

Limite superiore: diff + (σ * z ) =

x c

Se l'intervallo non contiene lo zero, rifiutiamo H0: con il 95% di probabilià la media della

popolazione da cui proviene il campione è diversa dalla media ipotizzata in base a H0 (la differenza

è significativa).

Se l'intervallo include lo zero non possiamo rifiutare H0 (la differenza non è significativa.

Verifica delle ipotesi

L’ipotesi nulla può essere vera o falsa

In seguito all’esito del test statistico, il ricercatore può decidere se rifiutarla o non rifiutarla

Vi sono quattro possibili esiti (e due tipi di errori)

H vera H falsa

0 0

Non rifiuto H Decisione corretta (1-α) Errore di II tipo (β)

0

Rifiuto H Errore di I tipo (α) Decisione corretta (1-β)

0

Errore di primo tipo

- Rappresenta la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando H0 è vera

- Questa probabilità viene fissata a priori ad un valore particolarmente basso, in genere .05 o .01

(che equivale ad accettare un rischio molto basso di commettere un errore di I tipo)

La probabilità di compiere un errore di I tipo corrisponde al livello critico di significatività

Viene indicato comunemente con α

α è la probabilità di concludere che un effetto si è verificato, quando in realtà tale effetto non esiste

Alfa è la probabilità di affermare che il trattamento influenza l’autoefficacia (quindi di rifiutare

l’ipotesi nulla), quando in realtà il trattamento non ha alcun effetto (ovvero quando l’ipotesi nulla è

vera)

Errore di secondo tipo

- Rappresenta la probabilità di non rifiutare l’ipotesi nulla quando H0 è falsa

- È inversamente proporzionale ad alfa

- In genere non viene fissato a priori 

La probabilità di compiere un errore di II tipo viene indicata con

 è la probabilità di concludere che un effetto non si è verificato, quando in realtà tale effetto esiste

Beta è la probabilità di affermare che il trattamento non influenza l’autoefficacia (quindi di non

rifiutare l’ipotesi nulla), quando in realtà il trattamento ha avuto effetto (ovvero quando l’ipotesi

nulla è falsa)

1-α

Un altro esito possibile è non rifiutare (correttamente) l’ipotesi nulla, quando l’ipotesi nulla è vera

Questa possibilità viene indicata con 1-α

1- β

L’ultimo esito possibile, infine, consiste nel rifiutare (correttamente) l’ipotesi nulla, quando l’ipotesi

nulla è falsa

Viene indicato con 1- β

Rappresenta la potenza statistica del test

La potenza statistica

La potenza statistica rappresenta la probabilità di respingere un’ipotesi nulla quando è falsa

Essa rappresenta la probabilità di cogliere un effetto o una differenza quando questa è presente

Il ricercatore deve considerare l'occorrenza di errori di II tipo (determinati spesso da una potenza

statistica non adeguata) come ugualmente grave e della possibilità di incorrere in errori di I tipo

Vi sono diversi fattori in grado di incidere sulla potenza del test:

1. L’ampiezza del campione

2. La dimensione dell’effetto

3. La variabilità del punteggio nella popolazione

4. Il livello di alfa

5. Il ricorso ad ipotesi alternative bidirezionali vs.monodirezionali

1. Ampiezza del campione:

Aumentando il numero di soggetti, l’errore standard diminuisce

Se aumenta n, diminuisce il denominatore del test statistico (l’errore standard) e di conseguenza

aumenta il valore del test statistico

2. Dimensione dell’effetto (effect size):

Se aumenta l’entità dell’effetto aumenta anche la potenza del test

L’effect size è una funzione del numeratore del test statistico

Se aumenta la differenza tra le due medie, aumenta il valore del test statistico

3. Variabilità del punteggio:

Minore è la deviazione standard della popolazione, maggiore è la potenza del test

La deviazione standard è il numeratore dell’errore standard:

Se diminuisce la deviazione standard della popolazione σ (o la sua stima s), diminuisce il

denominatore del test statistico (l’errore standard) e di conseguenza aumenta il valore del test

statistico

4. Livello di Alfa:

Maggiore è il livello di alfa, maggiore è la potenza del test

Se alfa aumenta (es. da .01 a .05) beta diminuisce, e quindi 1 – β (la potenza del test) aumenta

α β 1-β

.01 .78 .22

.05 .52 .48

.10 .37 .63

In altri termini, quanto più si vuole cogliere un effetto, tanto più si deve accettare il rischio di un

errore di I tipo

5. “Direzionalità” del test:

Utilizzare un test monodirezionale (piuttosto che un test bidirezionale) aumenta la potenza statistica

Quando l’ipotesi alternativa è monodirezionale, infatti, il valore critico della distribuzione è più

basso (quindi è più ”facile” rifiutare H0)

Esempio: nel caso della z, se alfa è pari a .05 il valore critico di un test bidirezionale è 1.96. Il

valore critico di un test monodirezionale è invece 1.645

La verifica delle ipotesi nel caso di un campione

Il test t di student

Quando σ non è nota

Sino ad ora abbiamo considerato degli esempi in cui si assumeva che la deviazione standard della

popolazione fosse nota

Spesso, tuttavia, non siamo in possesso di tale informazione

Se non conosciamo σ non possiamo calcolare σ (il denominatore del test statistico) perché

x


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DESCRIZIONE APPUNTO

La verifica delle ipotesi, Principi generali nella verifica delle ipotesi, Dimensione dell’effetto, Verifica delle ipotesi e intervallo di confidenza, Verifica delle ipotesi, Errore di primo e secondo tipo, La potenza statistica, La verifica delle ipotesi nel caso di un campione, Il test t di student, La verifica delle ipotesi nel caso di due campioni indipendenti, distribuzione campionaria della differenza tra due medie, distribuzione campionaria del rapporto tra due
varianze.


DETTAGLI
Esame: Psicometria
Corso di laurea: Corso di laurea in psicologia e processi sociali
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher AliceDP97 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Psicometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Vecchione Michele.

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