Psicometria: La verifica delle ipotesi

In cosa differisce dalla formula del test z

Denominatore utilizza la deviazione standard (non l’errore standard). Nella formula non è quindi

presente n.

Verifica delle ipotesi e intervallo di confidenza

In precedenza abbiamo distinto tra due procedure nell'ambito della statitica inferenziale: la stima dei

parametri e la verifica delle ipotesi.

Abbiamo discusso l'utilizzo dell'intervallo di confidenza (IC) nel processo di stima dei parametri.

E' importante evidenziare che l'IC può essere usato anche nella verifica delle due ipotesi: per

sottoporre a verifica l'ipotesi, possiamo costruitre un IC attorno alla stima campionaria del

parametro μ.

Se il valore ipotizzato in base a HO cade al di fuori dell'IC dobbiamo rifiutare l'ipotesi nulla in

quanto poco probabile alla luce dei dati osservati nel campione.

I risultati ottenuti con il test z e con l'IC sono equivalenti, ovvero conducono sepre alla stessa

decisione

In alternativa l'IC si può centrare attorno alla differenza tra la media osservata sul ampione e la

media attesa in base a H0 (procedura utilizzata in SPSS)

Limite inferiore: diff – (σ * z ) =

x c

Limite superiore: diff + (σ * z ) =

x c

Se l'intervallo non contiene lo zero, rifiutiamo H0: con il 95% di probabilià la media della

popolazione da cui proviene il campione è diversa dalla media ipotizzata in base a H0 (la differenza

è significativa).

Se l'intervallo include lo zero non possiamo rifiutare H0 (la differenza non è significativa.

Verifica delle ipotesi

L’ipotesi nulla può essere vera o falsa

In seguito all’esito del test statistico, il ricercatore può decidere se rifiutarla o non rifiutarla

Vi sono quattro possibili esiti (e due tipi di errori)

H vera H falsa

0 0

Non rifiuto H Decisione corretta (1-α) Errore di II tipo (β)

0

Rifiuto H Errore di I tipo (α) Decisione corretta (1-β)

0

Errore di primo tipo

- Rappresenta la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando H0 è vera

- Questa probabilità viene fissata a priori ad un valore particolarmente basso, in genere .05 o .01

(che equivale ad accettare un rischio molto basso di commettere un errore di I tipo)

La probabilità di compiere un errore di I tipo corrisponde al livello critico di significatività

Viene indicato comunemente con α

α è la probabilità di concludere che un effetto si è verificato, quando in realtà tale effetto non esiste

Alfa è la probabilità di affermare che il trattamento influenza l’autoefficacia (quindi di rifiutare

l’ipotesi nulla), quando in realtà il trattamento non ha alcun effetto (ovvero quando l’ipotesi nulla è

vera)

Errore di secondo tipo

- Rappresenta la probabilità di non rifiutare l’ipotesi nulla quando H0 è falsa

- È inversamente proporzionale ad alfa

- In genere non viene fissato a priori 

La probabilità di compiere un errore di II tipo viene indicata con

 è la probabilità di concludere che un effetto non si è verificato, quando in realtà tale effetto esiste

Beta è la probabilità di affermare che il trattamento non influenza l’autoefficacia (quindi di non

rifiutare l’ipotesi nulla), quando in realtà il trattamento ha avuto effetto (ovvero quando l’ipotesi

nulla è falsa)

1-α

Un altro esito possibile è non rifiutare (correttamente) l’ipotesi nulla, quando l’ipotesi nulla è vera

Questa possibilità viene indicata con 1-α

1- β

L’ultimo esito possibile, infine, consiste nel rifiutare (correttamente) l’ipotesi nulla, quando l’ipotesi

nulla è falsa

Viene indicato con 1- β

Rappresenta la potenza statistica del test

La potenza statistica

La potenza statistica rappresenta la probabilità di respingere un’ipotesi nulla quando è falsa

Essa rappresenta la probabilità di cogliere un effetto o una differenza quando questa è presente

Il ricercatore deve considerare l'occorrenza di errori di II tipo (determinati spesso da una potenza

statistica non adeguata) come ugualmente grave e della possibilità di incorrere in errori di I tipo

Vi sono diversi fattori in grado di incidere sulla potenza del test:

1. L’ampiezza del campione

2. La dimensione dell’effetto

3. La variabilità del punteggio nella popolazione

4. Il livello di alfa

5. Il ricorso ad ipotesi alternative bidirezionali vs.monodirezionali

1. Ampiezza del campione:

Aumentando il numero di soggetti, l’errore standard diminuisce

Se aumenta n, diminuisce il denominatore del test statistico (l’errore standard) e di conseguenza

aumenta il valore del test statistico

2. Dimensione dell’effetto (effect size):

Se aumenta l’entità dell’effetto aumenta anche la potenza del test

L’effect size è una funzione del numeratore del test statistico

Se aumenta la differenza tra le due medie, aumenta il valore del test statistico

3. Variabilità del punteggio:

Minore è la deviazione standard della popolazione, maggiore è la potenza del test

La deviazione standard è il numeratore dell’errore standard:

Se diminuisce la deviazione standard della popolazione σ (o la sua stima s), diminuisce il

denominatore del test statistico (l’errore standard) e di conseguenza aumenta il valore del test

statistico

4. Livello di Alfa:

Maggiore è il livello di alfa, maggiore è la potenza del test

Se alfa aumenta (es. da .01 a .05) beta diminuisce, e quindi 1 – β (la potenza del test) aumenta

α β 1-β

.01 .78 .22

.05 .52 .48

.10 .37 .63

In altri termini, quanto più si vuole cogliere un effetto, tanto più si deve accettare il rischio di un

errore di I tipo

5. “Direzionalità” del test:

Utilizzare un test monodirezionale (piuttosto che un test bidirezionale) aumenta la potenza statistica

Quando l’ipotesi alternativa è monodirezionale, infatti, il valore critico della distribuzione è più

basso (quindi è più ”facile” rifiutare H0)

Esempio: nel caso della z, se alfa è pari a .05 il valore critico di un test bidirezionale è 1.96. Il

valore critico di un test monodirezionale è invece 1.645

La verifica delle ipotesi nel caso di un campione

Il test t di student

Quando σ non è nota

Sino ad ora abbiamo considerato degli esempi in cui si assumeva che la deviazione standard della

popolazione fosse nota

Spesso, tuttavia, non siamo in possesso di tale informazione

Se non conosciamo σ non possiamo calcolare σ (il denominatore del test statistico) perché

x

quest’ultimo si ottiene dividendo la deviazione standard della popolazione per √n

Come calcolare il test statistico? Abbiamo bisogno di una formula che non dipende da σ

Se non conosciamo σ, possiamo stimarlo a partire dall’informazione contenuta nel campione

Analogamente a quanto avviene per la media s (la deviazione standard del campione) è la

migliore stima puntuale di σ che possiamo ottenere, dato un campione di ampiezza n

Quando non conosciamo la deviazione standard della popolazione la formula per il calcolo

dell’errore standard della media è:

S = s

x √n 

Non possiamo però semplicemente sostituire s a nella formula per il calcolo del test statistico

x x 

Dobbiamo tenere in considerazione il fatto che s è una stima (imperfetta) di

L’errore standard in SPSS

È disponibile nella finestra di dialogo «Descrittive» (selezionabile dal menu «Analizza», procedura

«Statistiche Descrittive») S.E. Media

SPSS non include test z

Per rendere conto di questa maggiore imprecisione, dobbiamo essere più conservativi (abbiamo

bisogno di maggiori evidenze contro l’ipotesi nulla per rifiutare H0)

Questa intuizione viene fatta risalire a William Gosset, un chimico noto con lo pseudonimo

Student: a lui si deve il nome delle distribuzioni t di Student

Questa famiglia di distribuzioni è simile alla distribuzione normale (unimodale, simmetrica e

asintotica), ma con code più esterse.

Di quanto la distribuzione t deve essere più estesa rispetto alla distribuzione normale?

 

Dipende da quanto la stima di è precisa, ovvero da quanto s si avvicina a



Se s è identico a , allora la distribuzione t di student deve essere identica alla distribuzione normale



Da cosa dipende l’accuratezza di s come stima di ? => Dall’ampiezza del campione!

- Minore è l’ampiezza del campione, meno la stima della deviazione standard della popolazione è

precisa, più la distribuzione t è ampia rispetto alla distribuzione normale

- Maggiore è l’ampiezza del campione, più la stima della deviazione standard della popolazione è

precisa, più la distribuzione t è simile alla distribuzione normale

La distribuzione t dipende dunque da n (gradi di libertà)

I gradi di libertà sono pari a n -1

Quando n < 30 e la popolazione non è normale

La distribuzione t di Student va usata anche quando si lavora su campioni di ampiezza inferiore a

30, estratti da una popolazione non normale (o da popolazioni di cui non conosciamo la forma)

In questi casi, infatti, la distribuzione campionaria della media si discosta dalla distribuzione

normale, risultando sempre più dispersa man mano che diminuisce la numerosità

Per questo bisogna considerare, come distribuzione di riferimento, la famiglia delle distribuzioni t

di Student

Come trovare il valore critico della t usando la tabella?

- Nelle righe in alto viene riportato il livello critico di significatività (alfa) nel caso di ipotesi nulla

monodirezionale e bidirezionale

- Nella colonna a sinistra sono riportati i gradi di libertà

- Dopo 120 t=z

Intervallo di confidenza

Quando non è noto, la formula dell'IC è

Limite inferiore: x- (sx * tc) =

Limite superiore x + (sx * tc) =

Dimensione dell’effetto

Nel test t su un campione, la formula per il calcolo dell’ampiezza dell’effetto (d di Cohen) è:

d = x – μ

s

Le linee guida per l’interpretazione della d sono uguali a quelle del test z su un campione

Il test t per un campione in SPSS

È disponibile nella finestra di dialogo «Test T a campione singolo» (selezionabile dal menu

«Analizza», procedura «Confronta medie»)

1. Selezionare la variabile (es. «Test_Lettura») e spostarla ne