Psicometria: La distribuzione normale e la standardizzazione

Grafici per l’esame della normalità

Istogramma e polimero di frequenze

Test statistici per l’esame della normalità

Vi sono infine alcuni test statistici che consentono di esaminare se una variabile è normale

Ad esempio, il test di Kolmogorov-Smirnov (pp. 100-103) consente di valutare se la distribuzione

di frequenza osservata si discosta da una distribuzione teorica prescelta da ricercatore (es. la

distribuzione normale)

Il test si basa sul confronto tra la distribuzione di frequenza cumulata di un campione con la

distribuzione di frequenza cumulata prevista dalla distribuzione teorica di interesse

Il test di K-R verrà descritto dopo aver introdotto i concetti alla base della statistica inferenziale

Esaminare la normalità della distribuzione con SPSS

Gli indici di asimmetria e curtosi sono disponibili nelle finestre di dialogo «Frequenze» e

«Descrittive» (entrambi selezionabili dal menu «Analizza», procedura «Statistiche Descrittive»)

Dalla finestra di dialogo «Frequenze», gli indici di asimmetria e curtosi si possono richiedere

selezionando l’opzione «Statistiche»

Dalla finestra di dialogo «Descrittive», gli indici di asimmetria e curtosi si possono richiedere

cliccando su «Opzioni»

I grafici per l’esame della normalità sono disponibili nella finestra di dialogo «Frequenze»

(selezionabile dal menu «Analizza», procedura «Statistiche Descrittive»)

Come già visto in precedenza nel Modulo 2 («Le distribuzioni di frequenza»), dalla finestra di

dialogo «Frequenze» è possibile richiedere diversi tipi di rappresentazioni grafiche, selezionando

l’opzione «Grafici»

Per esaminare la normalità della distribuzione si può utilizzare l’istogramma

È possibile anche sovrapporre la curva normale all’istogramma

Proprietà della curva normale

Conoscendo la media e la deviazione standard della distribuzione è possibile calcolare la

percentuale (o proporzione) di casi compresi in un determinato intervallo di valori

Nella distribuzione normale è possibile definire diverse “regioni” della curva, in base alla distanza

dalla media, cui corrisponde una determinata percentuale di casi:

L’area compresa tra la media e 1 deviazione standard contiene circa il 34% dei casi

-∞ / -2σ = 2,15% μ / 1σ = 34,13%

-2σ / -1σ = 13,59% 1σ / 2σ = 13,59%

-1σ / μ = 34,13 % 2σ / ∞ = 2,15%

Le percentuali possono essere intese anche come probabilità di osservare un determinato punteggio

all’interno della distribuzione.

La probabilità è «la frequenza relativa con cui un determinato evento si verifica in un numero di

eventi sufficientemente grande» (definiz empirica o frequent)

La frequenza relativa è il rapporto tra il numero di volte in cui si verifica un evento e il

• numero totale di eventi

Il numero di volte in cui si verifica un evento viene definita «frequenza assoluta»

• Il numero totale di eventi è pari a n

•

La formula per il calcolo della probabilità (P ) di un evento si può dunque scrivere come:

P = Lim f/n

(n→∞)

Dove f rappresenta la frequenza assoluta dell’evento, e n rappresenta il numero totale degli

eventi osservati.

La probabilità, come anticipato, è pari alla frequenza relativa a condizione che il numero totale di

eventi sia sufficientemente grande.

Probabilità = numero eventi favorevoli

numero eventi possibili

Ma non si può applicare sempre, devo sapere numero di eventi possibili che devono essere loro

stessi probabili. Formula classica.

Principio della somma

La probailità di verificarsi di due eventi mutualmente escludentesi (A e B) è pari alla somma delle

probabilità dei singoli eventi.

P (AoB) = P(A) + P(B)

Principiodel prodotto

Probabilità che due eventi indipendenti si verifichino simultaneamente o in successione è pari al

prodotto delle probanilità di verificarsi dei due eventi.

P (A e B) = P(A) x P(B)

Due eventi sono indipendenti quando la probabilità di verificarsi di un evento non si modifica con il

verificarsi dell'altro evento

Se in due eventi non sono indipendenti (il verificarsi dell'uno modifica la probabilità di verificarsi

dell'altro), il principio del prodotto diventa:

P(AB) = P(A) x P(B/A)

Dove P(B/A) si legge probabilità condizionale di B una volta che si è verificato A

La probabilità è dunque un numero decimale compreso tra 0 e 1

La somma delle probabilità di tutti gli eventi possibili è pari a 1

La percentuale si ricava dalla probabilità moltiplicando quest’ultima per cento:

percentuale = probabilità X 100

La formula per calcolare la percentuale a partire dalla

frequenza assoluta è: percentuale = (frequenza assoluta /n) X 100

Tornando alla curva normale, come anticipato, se conosciamo media e deviazione standard è

possibile calcolare la «probabilità» di osservare un determinato punteggio all’interno della

distribuzione

Esempio: se una popolazione ha una distribuzione normale con M= 100 e ds= 15, la probabilità di

estrarre a caso da questa popolazione un punteggio che sia superiore a 130 è pari a circa .02

Per questo le distribuzioni in cui è nota la relazione tra i valori della distribuzione e la probabilità

che si verifichino (come ad esempio la normale) sono definite anche distribuzioni teoriche di

probabilità

La curva normale standardizzata

Un tipo particolare di distribuzione normale è la distribuzione normale standardizzata

La distribuzione normale standardizzata presenta le stesse caratteristiche delle altre distribuzioni

normali, ma ha media 0 e deviazione standard 1

Nel caso della distribuzione normale standardizzata la proporzione di casi che cadono in una

determinata porzione della curva normale può essere calcolata con maggior facilità

Queste proporzioni sono infatti tabulate (ovvero sono riportate in apposite tabelle)

68 – 95 – 99.7 2

Per qualsiasi distribuzione 1-1/k è compreso tra k deviazioni standarde la media

La standardizzazione

Lo scoring dei punteggi

Scoring procedura per arrivare a punteggio grezzo.

Si definisce punteggio grezzo la somma delle risposte fornite da un soggetto agli item di un test

psicologico.

Il punteggio grezzo non dà informazioni utili ed adeguatamente interpretabili

Pensiamo ad esempio ad un test di rendimento di 30 item

Un soggetto ottiene un punteggio pari a 23.

Quale è il livello di prestazione ottenuto dal soggetto? Dipende dal livello di difficoltà del test!

Come si fa a trasformare i punteggi grezzi in punteggi interpretabili?

Bisogna standardizzare i punteggi

Standardizzare significa riferire la misura ad una distribuzione standard, con media e deviazione

standard note

Punteggi z

La standardizzazione più comune è quella detta «standard» o in «punti z»

I punteggi espressi nella scala z hanno media = 0 e deviazione standard = 1

I punti z si ottengono trasformando i punteggi grezzi (osservati) con la seguente formula:

Pz = x – x

i

ds

Dove z è il punteggio standardizzato, x è il punteggio grezzo (osservato), x è la media dei punteggi

i

grezzi, ds è la deviazione standard dei punteggi grezzi.

Poiché si sottrae la media dal singolo punteggio:

Punti z positivi indicano che il punteggio del soggetto è superiore alla media del campione

• di riferimento. Ad esempio, il soggetto c (x=23), ha ottenuto un punteggio superiore alla

media del campione (z=1.00)

Punti z negativi indicano che il punteggio del soggetto è inferiore alla media del campione.

• Ad esempio, il soggetto h (x=14), ha ottenuto un punteggio inferiore alla media del

campione (z=-.50)

Il punteggio viene centrato attorno alla media, spostata unità di misura

Osservando il segno del punteggio z, sappiamo immediatamente se un punteggio è inferiore o

superiore alla media (ovvero al punteggio più rappresentativo della distribuzione)

Come “quantificare” gli scarti dalla media?

Esempio: la media della distribuzione è pari a 17. Il soggetto ha ottenuto un punteggio pari a 21,

quindi superiore alla media di 4 punti Quattro punti di distanza dalla media sono molti o

sono pochi? Dipende dalla deviazione standard

Poiché si divide per la deviazione standard:

La differenza dalla media viene “ponderata” in base al grado di dispersione dei punteggi

A parità di differenza dalla media:

- maggiore è la dispersione dei punteggi (ovvero maggiore è la deviazione standard), più il

punteggio z è basso

- minore è la dispersione dei punteggi (minore è la deviazione standard), più il punteggio z è elevato

Poiché si divide per la deviazione standard:

I punteggi vengono espressi in una nuova unità di misura, che è pari alla deviazione standard della

scala originale

L’utilizzo della deviazione standard come unità di misura è utile perché consente di quantificare

l’entità del singolo punteggio rispetto all’insieme di punteggi (collocare in distribuzione normale)

- Quando si utilizza un test psicologico, i punteggi standardizzati esprimono lo scostamento non da

un campione qualsiasi, ma dal cosiddetto campione normativo

- Il campione normativo è un campione molto ampio, le cui unità presentano caratteristiche

simili a quelle del soggetto cui è stato somministrato il test (età, sesso, ecc.)

- La somministrazione del test ad un campione normativo fa parte del processo definito di

“taratura” del test

Il punteggio del soggetto viene interpretato in base alla media e alla deviazione standard del

campione normativo (definite «norme» del test)

I punteggi standardizzati sono quindi ricavati utilizzando le norme del test nella formula per il

calcolo dei punteggi z

Ciò consente di interpretare adeguatamente il punteggio del soggetto

I punteggi standardizzati rendono inoltre uniformi le scale di test diversi, altrimenti non

confrontabili

I punteggi z in SPSS

Si possono calcolare dalla finestra di dialogo «Descrittive» (selezionabile dal menu «Analizza»,

procedura «Statistiche Descrittive»)

1. Selezionare la variabile e spostarla nel menu delle variabili attive

2. Selezionare l’opzione «Salva valori standardizzati come variabili»

3. Cliccare su «OK»

I punteggi z vengono calcolati per ciascun soggetto e salva