Psicometria: La distribuzione normale e la standardizzazione

La forma della distribuzione

La distribuzione normale

La curva normale (o curva di Gauss) è una distribuzione teorica di probabilità che si applica a variabili continue. Molti fenomeni di cui si occupano le scienze del comportamento hanno una distribuzione che approssima la forma normale. La normalità della distribuzione è un’assunzione alla base di molte tecniche statistiche parametriche.

Proprietà della curva normale

Sull’asse delle ascisse si trovano tutti i valori della variabile (essi variano da − ∞ a + ∞).

• Sull’asse delle ordinate si trovano le frequenze di ciascun valore.
• La curva degli errori accidentali è curva normale con media=0.
• La curva è simmetrica rispetto al valore medio, dove la curva raggiunge il punto più alto.
• La curva è unimodale.
• Nella distribuzione normale, media (valore atteso), moda e mediana coincidono.
• La curva è asintotica all’asse orizzontale, ovvero si avvicina all’asse delle ascisse senza mai toccarla.
• La curva normale presenta due punti di flesso in corrispondenza dei quali la curva cambia direzione, ovvero da concava diventa convessa e viceversa.
• In ogni distribuzione normale, la distanza tra la media e il punto di flesso è pari a una deviazione standard.

Funzione di probabilità della distribuzione normale:

f(x) = (1 / √2π) * e^{−(1/2) * (x−μ)²}

La curva è definita da due parametri:

• La media (μ), che corrisponde al valore con la frequenza massima.
• La deviazione standard (σ).

In altri termini, la distribuzione normale varia al variare di μ e σ. Si tratta pertanto di una “famiglia” di distribuzioni. e = costante di Nepero = 2.71. Al variare della media, la curva subisce uno spostamento sull’asse dell’ascissa. All’aumentare della deviazione standard, la curva si appiattisce; al diminuire della deviazione standard diviene più «slanciata».

Esame della normalità della distribuzione

Esistono diversi metodi per esaminare se una variabile è normale:

• Indici di forma della distribuzione.
• Metodi grafici.
• Test statistici.

Le informazioni ottenibili da questi metodi vanno in genere integrate.

Indici che valutano la forma della distribuzione: asimmetria e curtosi

Asimmetria: riflette il grado in cui la distribuzione è disposta simmetricamente attorno ai valori di tendenza centrale.

Curtosi: riflette il grado in cui i punteggi sono distribuiti nelle code piuttosto che nelle zone centrali della distribuzione. Quando la curva è perfettamente normale, entrambi gli indici sono pari a zero. Criterio empirico: si considerano accettabili valori compresi tra −1 e +1; la deviazione dalla normalità è in questi casi moderata.

Asimmetria

Si parla di asimmetria negativa quando si verifica una maggiore concentrazione delle osservazioni in corrispondenza dei valori più alti (i valori elevati sono più frequenti di quelli bassi). In questi casi, il valore dell'indice di asimmetria assume segno negativo. La “coda” sinistra della curva è più lunga di quella destra. La media è minore della mediana (Media - Mediana = valore negativo).

Si parla di asimmetria positiva quando si verifica una maggiore concentrazione delle osservazioni in corrispondenza dei valori più bassi (i valori bassi hanno frequenza maggiore). In questi casi, il valore dell'indice di asimmetria assume segno positivo. La “coda” destra della curva è più lunga di quella sinistra. La media è maggiore della mediana (Media - Mediana = valore positivo).

Formule per il calcolo dell’asimmetria (skewness):

• Una delle formule inizialmente sviluppate da Pearson: SK = 3(media-mediana) / 3ds.
• Formula più utilizzata attualmente (Bliss, 1967): SK = Σ(x − M)³ni / (n-1)(n-2)ds.

Curtosi

La curtosi è un indice che mira a rilevare quanta della variabilità osservata è dovuta ai valori meno frequenti (quelli che si trovano nelle code della distribuzione). Le distribuzioni con code «spesse» sono chiamate platicurtiche: le osservazioni nelle code sono più frequenti ma meno estreme rispetto a quanto si verifica nella normale (l’indice di curtosi assume valori negativi).

Le distribuzioni con code «sottili» sono definite leptocurtiche: le osservazioni nelle code sono meno frequenti ma più estreme rispetto a quanto si verifica nella normale (l’indice di curtosi assume valori positivi).

Le distribuzioni con una curtosi simile a quella della curva normale sono chiamate mesocurtiche (l’indice di curtosi è prossimo a zero).

Formule per il calcolo della curtosi (kurtosis):

• KU = [n(n-1)Σ(x − M)⁴i] - [3(Σ(x − M)²)²(n-1)] / (n-1)(n-2)(n-3)ds.

Grafici per l’esame della normalità

Istogramma e polimero di frequenze.

Test statistici per l’esame della normalità

Vi sono infine alcuni test statistici che consentono di esaminare se una variabile è normale. Ad esempio, il test di Kolmogorov-Smirnov (pp. 100-103) consente di valutare se la distribuzione di frequenza osservata si discosta da una distribuzione teorica prescelta dal ricercatore (es. la distribuzione normale). Il test si basa sul confronto tra la distribuzione di frequenza cumulata di un campione con la distribuzione di frequenza teorica.