Psicometria: ipotesi, test Chi quadro, test della mediana, test t student, effect size, indici di grandezza e intensità della relazione

DISTRIBUZIONE F di Snedecor

Indicata col simbolo F_(d1,d2)

V.C. continua la cui distribuzione si conforma al rapporto tra due V.C. con distribuzione di probabilità Chi-Quadro, ciascuna rapportata ai suoi gradi di libertà

F(d1,d2) = ^x₁/_d1 / ^x₂/_d2

D1 e d2 unici parametri variabili (all'interno dello spazio parametrico N x N)

Proprietà:

• definita sull'asse reale POSITIVO
• area sotto la curva ha valore 1
• assume valori che tendono a 0 con x che tende a +∞
• la distribuzione con d1=1 e d2 che tende a +∞ tende a conformarsi alla NORMALE
• il RAPPORTO TRA DUE VARIANZE si distribuisce come la F di Snedecor

10. METODI DELL'INFERENZA STATISTICA

POPOLAZIONE-insieme di tutti gli elementi empirici a cui il ricercatore fa riferimento; comprende la totalità degli eventi caratteristici di un dato fenomeno casuale

UNITÀ STATISTICA-ciascuno di questi elementi; unità su cui avviene la rilevazione dei dati

POPOLAZIONE FINITA vs INFINITA

POP. INFINITE-virtuali o associate a esperimenti ripetibili

Ciascuna popolazione possiede date caratteristiche

Quando è possibile esprimere con un NUMERO una certa caratteristica, tale caratteristica prende il nome di PARAMETRO

CAMPIONE di una popolazione: un qualsiasi sottoinsieme di elementi che appartengono a una data popolazione; parte della popolazione che viene presa in esame e su cui si effettuano le misurazioni

TEORIA dei CAMPIONI: o del campionamento, studia le modalità con cui vengono estratti i campioni da una popolazione

CAMPIONAMENTO CASUALE SEMPLICE: metodo in cui ogni campione ha la stessa probabilità di essere estratto di tutti gli altri

CAMPIONE RAPPRESENTATIVO: campione che riproduce in modo FEDELE e in SCALA RIDOTTA

Tutti i campioni sono stati considerati INSIEMI ORDINATI

Parametri di una POPOLAZIONE sono indicati con LETTERE GRECHE

I medesimi parametri ottenuti con statistiche descrittive su CAMPIONI sono indicati con LETTERE LATINE

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA' CAMPIONARIA della media (MEDIA CAMPIONARIA)

E' la funzione di MASSA o DENSITA' di una V.C. che associ ad ogni punto dello spazio campionario (ad ogni CAMPIONE), il valore della sua MEDIA in R

• Numero basso di soggetti-DISCRETO
• Numero molto alto di soggetti-CONTINUO

La Dist. Di Pr CAMPIONARIA della MEDIA – rispetto a una certa popolazione A – associa a CIASCUN INTERVALLO in R, la PROBABILITA' che al suo interno CADA la MEDIA di un campione di numerosità n estratto a caso dalla popolazione A.

N.B. all'aumentare delle DIMENSIONI del campione, tende alla distribuzione NORMALE

La MEDIA della distribuzione di probabilità campionaria della media, assume lo stesso valore della MEDIA della pop da cui deriva (legge dei grandi numeri)

μ_X=μ

Varianza della funzione campionaria dipende dalle dimensioni del campione: più grande è il campione, più piccola è la varianza

Considero n=numerosità di un dato campione

σ_X²= σ² / n

σ_X = σ / √n

• Tanto più n si avvicina alla numerosità dell'intera popolazione, tanto più il valore della varianza diminuisce fino ad arrivare a 0

-La Deviazione Standard della funzione campionaria della media si chiama ERRORE STANDARD DELLA MEDIA (SE)

11. STATISTICA INFERENZIALE

Inferisce alcune caratteristiche di una certa pop (i parametri) partendo dall'OSSERVAZIONE e dallo STUDIO solo dei CAMPIONI per mezzo di procedure statistiche.

I risultati NON SONO MAI CERTI MA, è possibile quantificare qnt siano affidabili

IL PROCESSO DI GENERAZIONE dei dati sperimentali NON è noto

Le TECNICHE STATISTICHE si prefiggono di stimare le caratteristiche di tale processo sulla base dei DATI

E' un processo di GENERALIZZAZIONE

GRADO di CERTEZZA mai assoluto ma QUANTIFICABILE

Inferenza statistica si divide in 3 ambiti:

• inferenza tramite STIMA PUNTUALE
• inferenza tramite STIMA INTERVALLARE
• inferenza tramite VERIFICA delle IPOTESI

1. STIMA PUNTUALE

Ha come obiettivo il calcolo di un PRECISO VALORE

STIMATORE: funzione che associ ogni possibile campione osservato ad un valore che stima una data caratteristica della sua popolazione

MASSIMA VEROSIMIGLIANZA: - procedura per la stima puntuale

PROCEDURA di VERIFICA delle IPOTESI

1. Si scelgono due ipotesi DISGIUNTE e ESAUSTIVE H₀ e H₁.
2. Viene calcolata una STATISTICA-TEST sulla base del tipo di dato e delle ipotesi statistiche
3. Sulla base della statistica-test viene ricavato dalle TABELLE un VALORE CRITICO oltre il quale cade una certa quantità di α, stabilita a priori, di probabilità
4. Si confrontano la STATISTICA-TEST e il VALORE CRITICO

STATISTICA-TEST > VALORE CRITICO → Si può rifiutare IPOTESI NULLA

STATISTICA-TEST < VALORE CRITICO → NON si può rifiutare ipotesi nulla

NB. Per confrontare la media di una pop di cui si conosce media e deviazione standard, e quella di un CAMPIONE, si trasforma quest'ultima in un punto z, per poi confrontare questo valore con l'AREA CRITICA ricavata dalle tavole della distribuzione della NORMALE STANDARD (confronto avviene per mezzo della distribuzione campionaria della media)

Il punto z al di là del quale è presente l'area della curva pari ad α è anche detto Z CRITICO, indicato con Z_cr

FORMA e DIREZIONE delle IPOTESI STATISTICHE

A ipotesi diverse seguono differenti forme e posizioni della REGIONE CRITICA

Le ipotesi nulle hanno SEMPRE la stessa forma semplice

Le IPOTESI ALTERNATIVE INVECE si possono dividere in:

1. MONODIREZIONALI DESTRE O SINISTRE
   • DX: Prevedono che il valore del parametro oggetto della ricerca sia MAGGIORE del parametro di riferimento REGIONE CRITICA si trova TUTTA A DX nella distribuzione (5% e 1%)
   • Es H₀: μ'⁼ μ H₁: μ' > μ
   • SX: Prevedono che il valore del parametro oggetto della ricerca sia MINORE del parametro di riferimento REGIONE CRITICA si trova TUTTA A SX nella distribuzione (5% e 1%)
   • Es H₀: μ'⁼ μ H₁: μ' < μ
2. BIDIREZIONALI
   • Prevedono che il valore del parametro oggetto della ricerca sia DIVERSO del parametro di riferimento REGIONE CRITICA si trova sia a DX sia a SX della distribuzione (+-2,5% & +-0,5%)
   • Es H₀: μ'⁼ μ H₁: μ' ≠ μ
3. SEMPLICI vs COMPOSTE
   • SEMPLICI: prevedono che il valore del parametro della ricerca sia un NUMERO PRECISO
   • Es H₀: μ = 20 H₁: μ' = 22 → monodirezionale SEMPLICE a DX (a SX es. μ' = 18)
   • COMPOSTE: prevedono che il valore del parametro oggetto della ricerca sia compreso all’interno di un INTERVALLO
   • Es H₀: μ = 20 H₁: μ' > 20 →monodirezionale COMPOSTA a DX (a SX es. μ' < 20)

TABELLE per la VERIFICA delle IPOTESI

1. Confronto tra un CAMPIONE e una POPOLAZIONE (il campione appartiene alla pop?)
2. Confronto tra 2 CAMPIONI (appartengono alla stessa pop?)
3. Confronto tra più di 2 CAMPIONI (appartengono alla stessa pop?)