Psicometria: insiemistica, relazioni, calcolo combinatorio

Tabelle di verità

Connettivi logici

Corrispondenza tra connettivi e operazioni insiemistiche

• ∪ : ∨
• ∩ : ∧
• C : ¬
• = : ↔

Proprietà delle relazioni

• Riflessiva

  R è riflessiva ⇔ ∀a ∈ A, aRa

• Simmetrica

  R è simmetrica ⇔ ∀a,b ∈ A, (aRb) ⇒ (bRa)

• Asimmetrica

  R asimmetrica ⇔ ∀a,b ∈ A, (aRb) ⇒ ¬(bRa)

• Antisimmetrica

  R antisimmetrica ⇔ ∀a,b ∈ A, (aRb ∧ bRa) ⇒ (a = b)

• Transitiva

  R transitiva ⇔ ∀a,b,c ∈ A, (aRb ∧ bRc) ⇒ (aRc)

• Connessa

  R connessa ⇔ ∀a,b ∈ A, (a ≠ b) ⇒ (aRb) ∨ (bRa)

Psicometria

Insiemistica

Definire un insieme

• Metodo dell'elencazione: elencare gli elementi di un insieme tra parentesi graffe, separati da una virgola. Non conta l'ordine di presentazione. No ripetizioni di elementi nello stesso insieme.
• Metodo della specificazione: consiste nello specificare una precisa proprietà X = {n : ρ(n)} n ∈ necessità di un insieme di riferimento.
• Metodo della trasformazione: possibilità di trasformare uno o più insiemi in un altro insieme; prevede uso di una o più operazioni (intersezione, unione, etc).

Cardinalità: numero che definisce la quantità degli ELEMENTI di un insieme

• In simboli: q = |X|, q = card(X), q = #(X)

Relazione di appartenenza: simbolo ∈

• Irriflessiva: ∀A : A ∉ A
• Asimmetrica: ∀A,B : (A∈B) ⇒ (B ∉ A)
• Non transitiva: ∀A,B,C : (A∈B ∈(B∈C)

Relazione di inclusione: relazione tra insieme e i suoi elementi raccolti in un insieme

• Simbolo: ⊆
• Riflessiva (non esclude che A=B): ∀A : A ⊆ A
• Antisimmetrica: ∀A,B : (A ⊆ B e B ⊆ A) ⇒ (A = B)
• Transitiva: ∀A,B,C : (A ⊆ B e B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C)

Relazione di inclusione stretta: esclude che A=B   simbolo ⊂

Insieme potenza: L'insieme potenza di un insieme è l'insieme di tutti i suoi possibili sottoinsiemi, compreso se stesso e l'insieme vuoto; è chiamato anche insieme delle parti; ha cardinalità 2ⁿ con n numero degli elementi dell'insieme

• In simboli: P(X) = {∀a : a⊆X}

Operazioni tra insiemi

• Unione: O ∪ F = {x EX : (x ∈O)∨(x ∈F)}
• Intersezione: O ∩ F = {x EX : (x ∈O)∧(x ∈F)}
• Differenza: simbolo \− O \ F = {x EX : (x ∈O)∧(x non appartiene a F)}
  • Esempio: O\F è quell'insieme che contiene gli elementi che appartengono SOLO ad O e NON a F
• Differenza simmetrica o somma booleana: simbolo +◊ O Δ F = (O \ F)∪(F \O)
• Complementare: il complementare dell'insieme O rispetto all'insieme di riferimento X, è quell'insieme che contiene tutti gli elementi di X che non appartengono a O. In simboli: Oc = (X \O)

Relazioni di equivalenza

Le relazioni di equivalenza sono relazioni che godono delle proprietà di riflessività, simmetria e transitività.

• Simbolo ~ oppure ≃
• Dividono il dominio in classi di equivalenza

Partizione di un insieme

Collezione di tutti i suoi sottoinsiemi non vuoti tra loro disgiuntivi e esaustivi. Ogni relazione di equivalenza genera una partizione nell'insieme in cui è applicata: classi di equivalenza.

Relazioni d'ordine

Tutte le relazioni d'ordine godono della proprietà transitiva e strutturano il dominio in cui sono applicate organizzandolo gerarchicamente.

• Ordine stretto totale
• Ordine stretto parziale
• Ordine largo totale
• Ordine largo parziale

Proprietà delle relazioni in rapporto alle loro dimensioni

1. Esaustiva della prima dimensione: se coinvolge nella relazione tutti gli elementi di A
2. Esaustiva della seconda dimensione: se coinvolge nella relazione tutti gli elementi di B
3. Determinativa sulla prima dimensione: se ad ogni elemento di B essa abbina al più uno ed un solo elemento di A
4. Determinativa sulla seconda dimensione: se ad ogni elemento di A essa abbina al più uno ed un solo elemento di B

NB. Qualsiasi R esaustiva della 1ª dimensione e determinativa sulla 2ª è chiamata funzione.

Funzione

Qualunque regola che collega ciascun elemento di un dato insieme ad uno ed uno solo di un altro insieme.

• Elementi della prima dimensione: argomenti della funzione
• Elementi della seconda dimensione: valori di una funzione
• Prima dimensione è chiamata dominio della funzione
• Seconda dimensione è chiamata codominio della funzione

Tipi di funzione

• Suriezione: funzione esaustiva della seconda dimensione
• Iniezione: funzione determinativa sulla prima dimensione
• Biiezione: funzione esaustiva della seconda dimensione e determinativa sulla prima
• Funzione d'insieme: funzione in cui gli elementi che compongono dominio e codominio sono insiemi
• Funzione empirica: funzione che ha un'origine empirica
• Funzione numerica: funzione in cui gli elementi che compongono dominio e codominio sono dei numeri; esprimibili per mezzo di diagrammi di Eulero-Venn, ma spesso rappresentate per mezzo di assi cartesiani; espresse per mezzo di una formula che permette di associare agli argomenti del dominio, la rispettiva immagine nel codominio.

Proprietà funzioni numeriche

• Monotone crescenti in senso stretto: se e solo se ∀x1,x2,(x1 < x2) ⇒f (x1) < f (x2)
• Monotone decrescenti in senso stretto: se e solo se ∀ x1,x2,x2,(x1 < x2) ⇒f (x1) > f (x2)
• Lineari: se e solo se sono del tipo f(x) = a + bx con a costante additiva o intercetta b costante moltiplicativa o coefficiente angolare b≠0
• Traslazioni: se e solo se f(x) segue la forma a+x (ovvero b=1)
• Dilazioni: se e solo se f(x) segue la forma bx (ovvero a=0)

Sistemi relazionali

Qualsiasi insieme dove siano specificate una o più relazioni.

Tipo del sistema relazionale: insieme ordinato (k₁, k₂, k₃, ...kn) che riporta i gradi delle relazioni R₁, R₂, Rn componenti del sistema relazionale stesso. Due sistemi relazionali si dicono simili se e solo se hanno lo stesso tipo, ovvero hanno lo stesso numero di relazioni e tali relazioni sono a coppie dello stesso grado.

Sistemi relazionali empirici vs numerici

• Sistema relazionale empirico: sistema relazionale che ha come dominio un insieme empirico e come componenti relazioni o operazioni empiriche.
• Sistema relazionale numerico: sistema relazionale che ha come dominio un insieme numerico e come componenti relazioni o operazioni numeriche.

Grado: il grado di una relazione o di una operazione corrisponde al numero degli elementi posti in gioco nella relazione o nell'operazione.

Non si può distinguere un sistema relazionale a seconda che i suoi componenti siano relazioni o operazioni.

Funzioni tra sistemi relazionali

In alcune circostanze, è possibile collegare tramite una funzione gli elementi dei domini di due sistemi relazionali tra loro simili, in modo tale da mettere in corrispondenza la struttura dell'uno con la struttura dell'altro. Queste funzioni si dicono omomorfismi: principale fondamento della teoria della misurazione.

Una funzione F con dominio X e codominio Y è detta omomorfismo quando, per ogni k-pla (x1,x2,...,xk) ∈ Xk, se questa appartiene ad una qualsiasi delle relazioni di ⟨ X,R₁,R₂,...,Rn⟩ allora la k-pla ottenuta per mezzo di F sul codominio Y appartiene ad una qualsiasi delle relazioni di ⟨ Y,S₁,S₂,...,Sn⟩.

• In simboli: F è un omomorfismo ⇔∀(x1,x2,...,xk) ∈K(( x1,x2,...,xk) ∈Ri) ⇒ [(F(x1),F(x2),...,F(xk) ∈Si)
• In pratica un omomorfismo è un'applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite.

Un omomorfismo la cui funzione F sia suriettiva è detto epimorfismo.
Un omomorfismo la cui funzione F sia iniettiva è detto monomorfismo.
Un omomorfismo la cui funzione F sia biiettiva è detto isomorfismo.
Un omomorfismo per le cui strutture valgono X = Y ed Ri = Si è detto endomorfismo.
Un endomorfismo la cui funzione F sia biiettiva è detto automorfismo.

Il calcolo combinatorio

Calcolo in cui si può contare tutti i possibili modi in cui può verificarsi un certo fenomeno. In generale, può considerarsi un modo per contare la cardinalità degli insiemi. Si basa sul principio fondamentale del calcolo combinatorio o principio fondamentale del contare: se un dato scenario è composto da un certo numero x di avvenimenti, di cui il primo può capitare in n₁ modi, il secondo in n₂ modi, il terzo in n₃ modi e così via, allora il numero totale di tutti gli scenari possibili sarà il prodotto tra n₁, n₂, ..., n_x.

Il principio fondamentale si basa sul concetto di possibilità di scelta: numero di differenti alternative possibili di un dato avvenimento.

Formule del calcolo combinatorio

Le formule del calcolo combinatorio si diversificano secondo le proprietà:

• Presenza/assenza di ordine: necessario tenere presente non gli elementi in sé, ma l'ordine in cui compaiono.
• Presenza/assenza di reinserimento: necessario tenere presente che un dato elemento si possa ripresentare o ripetere.
• Disposizioni vs combinazioni: ordine vs senza ordine, con reinserimento (ripetizione) vs senza reinserimento (senza ripetizione).

Disposizioni senza reinserimento

• Formula: D(n,k,s) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-k + 1)
  • Si può sostituire con D(n,k,s) = n! / (n-k)!
• Nel caso in cui n=k si ha un caso particolare che si chiama permutazione:
  • In simboli _nP_n
  • La formula si può sostituire con n!
• Per determinare le disposizioni si utilizza: metodo tabella, metodo grafi.

Disposizioni con reinserimento

• Formula: D(n,k,c) = n × n × n × ... × n = n^k
• Per determinare le disposizioni si utilizza: metodo tabella, metodo grafi.