Psicometria: insiemistica, relazioni, calcolo combinatorio

Tabelle di Verità

Proprietà delle Relazioni

• Riflessiva R è riflessiva ⇔ ∀a ∈ A, aRa
• Simmetrica R è simmetrica ⇔ ∀a, b ∈ A, (aRb) ⇒ (bRa)
• Asimmetrica R asimmetrica ⇔ ∀a, b ∈ A, (aRb) ⇒ ¬(bRa)
• Antisimmetrica R antisimmetrica ⇔ ∀a, b ∈ A (aRb ∧ bRa) ⇒ (a = b)
• Transitiva R transitiva ⇔ ∀a, b, c ∈ A, (aRb ∧ bRc) ⇒ (aRc)
• Connessa R connessa ⇔ ∀a, b ∈ A, (a ≠ b) ⇒ (aRb) ∨ (bRa)

PSICOMETRIA

1.INSIEMISTICA

DEFINIRE UN INSIEME

• Metodo dell’elencazione: elencare gli elementi di un insieme tra parentesi graffe, separati da una virgola. Non conta l’ordine di presentazione. No ripetizioni di elementi nello stesso insieme.
• Metodo della specificazione: consiste nello specificare una precisa proprietà X = {n : p(n)} n EQ necessità di un insieme di riferimento(ambiente)
• Metodo della trasformazione: possibilità di trasformare uno o più insiemi in un altro insieme; prevede uso di una o più operazioni (intersezione, unione, etc)

CARDINALITÀ: numero che definisce la quantità degli ELEMENTI di un insieme

In simboli q = |X| q = card(X) q = #(X)

RELAZIONE DI APPARTENENZA:

simbolo ∈ a ∈ X

proprietà: IRRIFLESSIVA ∀A : A notin A ASIMMETRICA ∀A, B : (A ∈ B) ⇒ (B notin A) NON TRANSITIVA ∀A, B, C : (A ∈ B) e (B ∈ C) => (non segue nulla)

RELAZIONE DI INCLUSIONE: relazione tra insieme e i suoi elementi raccolti in un insieme

simbolo ⊂ x ∈ A y ⊂ x Y ⊂ A

proprietà: RIFLESSIVA (non esclude che A=B) ∀A : A ⊂ A

ANTISIMMETRICA ∀A, B : (A ⊂ B e B ⊂ A) => (A = B) TRANSITIVA ∀A, B, C : (A ⊂ B e B ⊂ C) => (A ⊂ C)

RELAZIONE DI INCLUSIONE STRETTA: esclude che A=B simbolo ⊂

INSIEME POTENZA: l’insieme potenza di un insieme è l’insieme di tutti i suoi possibili sottoinsiemi, compreso se stesso e l’insieme vuoto; è chiamato anche insieme delle parti; ha cardinalità 2^n con n numero degli elementi dell’insieme

In simboli P(X) = {∀a : a⊆X}

OPERAZIONI TRA INSIEMI:

UNIONE: O ∪ F = {x ∈ X : (x ∈ O)∨(x ∈ F)}

INTERSEZIONE: O ∩ F = {x ∈ X : (x ∈ O)∧(x ∈ F)}

DIFFERENZA: simbolo \ O - F = {x ∈ X : (x ∈ O)∧(x non appartiene a F)}

Esempio: O \ F è quell’insieme che contiene gli elementi che appartengono SOLO ad O e NON a F

DIFFERENZA SIMMETRICA o SOMMA BOOLEANA: simbolo + o Δ

O Δ F = (O ∖ F)∪(F ∖ O)

COMPLEMENTARE: il complementare dell’insieme O rispetto all’insieme di riferimento X, è quell’insieme che contiene tutti gli elementi di X che non appartengono a O. In simboli: Oᶜ = (X \ O)

1

Un omomorfismo la cui funzione F sia suriettiva è detto EPIMORFISMO.

Un omomorfismo la cui funzione F sia iniettiva è detto MONOMORFISMO.

Un omomorfismo la cui funzione F sia biettiva è detto ISOMORFISMO.

Un omomorfismo per le cui strutture valgono X = Y ed Ri = Si è detto ENDOMORFISMO.

Un endomorfismo la cui funzione F sia biettiva è detto AUTOMORFISMO.

4.1 IL CALCOLO COMBINATORIO

Calcolo in cui si può contare tutti i possibili modi in cui può verificarsi un certo fenomeno

In generale può considerarsi un modo per contare la cardinalità degli insiemi

Si basa sul PRINCIPIO FONDAMENTALE del CALCOLO COMBINATORIO o PRINCIPIO FONDAMENTALE del CONTARE: se un dato scenario è composto da un certo numero x di avvenimenti, di cui il primo può capitare in n1 modi, il secondo in n2 modi, il terzo in n3 modi e così via, allora il numero totale di tutti gli scenari possibili sarà il prodotto tra n1,n2,...,nx

Il PRINCIPIO FONDAMENTALE si basa sul concetto di POSSIBILITÀ di SCELTA: numero di differenti alternative possibili di un dato avvenimento

Formule del calcolo combinatorio si diversificano secondo le proprietà:

presenza/assenza di ORDINE: necessario tenere presente non gli elementi in sé, ma l’ordine in cui compaiono

presenza/assenza di REINSERIMENTO: necessario tenere presente che un dato elemento si possa ripresentare o ripetere

DISPOSIZIONI vs COMBINAZIONI------> ORDINE vs SENZA ORDINE

CON REINSERIMENTO (RIPETIZIONE) vs SENZA REINSERIMENTO (SENZA RIPETIZIONE)

DISPOSIZIONI SENZA REINSERIMENTO:

nDk

D(n,k,s)

D(n,k)

FORMULA D(n,k,s) = nx(n-1)x(n-2)x...x(n-k + 1) si può sostituire con D(n,k,s) =n!/(n-k)!

Nel caso in cui n=k si ha un caso particolare che si chiama PERMUTAZIONE

in simboli P_n e la formula si può sostituire con n!

per determinare le disposizioni si utilizza: METODO TABELLA, METODO GRAFI

DISPOSIZIONI CON REINSERIMENTO:

nDk

D(n,k,c)

D(n,k)

FORMULA D(n,k,c) = nxnxn...xn = n^k

Per determinare le disposizioni si utilizza: METODO TABELLA, METODO GRAFI