Prospetti dei teoremi di matematica finanziaria

Teorema del titolo di reinvestimento

HP) È un modello di mercato perfetto

TH) N(t; T, s) = N(t, T) (Titolo da reinvestimento "priviato" mutuato)

Dimostrazione

N(t; T, s) >= N(t, T)

Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza

HP) È un modello di mercato di non arbitraggio

Test) N(t, s') > N(t, s'') con s' < s''

Dimostrazione

N(t, s') 0\) 0

Teorema dei prezzi certi

HP) È un mercato ideale e perfetto

TH) V(t; x) = ¹⁄_{H(t; x)} V^{(t'; x)} = V(t; x) * N^{(t'; x)}

Dimostrazione

V(t; x) > V^{(t'; x)} H^{(t; x)}

Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza

HP) È un modello di mercato di non arbitraggio

Tesi) N(t; s') > N(t; s")

Dimostrazione

N(t; s') ≤ N(t; s")

• Acquisto a pronti zcb unitario scadenze in s' - N(t; s') + 1 0
• Vendo a pronti zcb unitario scadenze in s" + N(t; s') 0 = 1
• Acquisto a pronti zcb unitario scadenze in s" - N(s"; s') + 1

Totali ≥ 0 > 0 0

Teorema dei prezzi impliciti

HP Su un modello di mercato perfetto

TH \( N(t, T, S) = N(t, S) \) \( \Rightarrow V = N(t, T) \approx (t, T) \approx (t, T, S) \)

Dimostrazione

Acquisto al pronti: 1 ccb mutuo scadenze in S

Vendo a pronti \( N(t, T, S) \) unite ccb mutuo scadenze in T

Vendo a termine ccb mutuo scadenze in T

Teorema di Cantelli

Se è soddisfatta l'ipotesi di scindibilità da parte di una certa legge, allora il surplus tra istante di scadenza di quella legge al più dipende dall'istante finale ma non da quello iniziale.

HP \( m(t, S) = m(t, T) \) \( m(t, T) \)

TH \( S(t, S) = S(S) \)

Dimostrazione

• \( m(T, S) = \frac{m(t, S)}{m(t, T)} \)
• \( e^{\int_{t}^{S} S(t, u) du} \)
• \( = \int_{t}^{S} S(t, u) du \)
• \( = \int_{t}^{S} S(t, u) du - \int_{t}^{T} S(t, u) du \)
• \( = e^{\int_{t}^{S} S(t, u) du + \int_{T}^{S} S(t, u) du} \)

Quindi: \( \int_{t}^{S} S(t, u) du = e^{\int_{t}^{S} S(t, u) du} \)

Sono uguali per HP