Propulsione Chimica (Rocket Propulsion)

Introduzione

Eq. continuità: ṁ = - \(\frac{dm}{dt}\)

Eq. quantità di moto: \(\frac{d(mv)}{dt}\) = mg + \( \overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_A} \)

In un sistema di riferimento in moto con il razzo (v = v):

m \(\frac{dv'}{dt}\) = mq + \( \overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_A} \) dove \(\overrightarrow{F} = ṁu_e + (p_e - p_a) A_e \)

\(\overrightarrow{F_A} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{D} = \overrightarrow{D}\) = "Resistenza", trascurabile per i razzi

Bilancio energetico (Entalpico):

• h_R = Entalpia di formazione dei reagenti
• h_P = "" dei prodotti = h_P^0 + c_P(T - T_0)
• m_R = m_R(t) = Massa del propellente reagente

\(\frac{d}{dt} \int\limits_{v.c.} \rho h e \, dv + \oint\limits_{s.c.} \rho h e u • dS = \int\limits_{v.c.} \frac{dp}{dt} \, dV\) (in condizioni adiabatiche)

N.B. Il termine di pressione si può trascurare (esso è importante nelle turbonacchine dove ci sono componenti in movimento). Inoltre trascuriamo gli effetti viscosi (ovvero gli stati termici).

\(\Rightarrow \frac{d}{dt} \left( m_p h_{P_e} + \, m_{RO} b_{RoSO} \right)_A + \oint_He \rho u h_P dS = 0\)

Termine costante attributo all'energia della massa del veicolo all'istante finale (burn-out)

Energia attribuita ai prodotti della combustione

d_me/dt ∫_Ae ρu (h_p + 1/2 u ⋅ u) ⋅ dS = 0

d_me/dt = -∫_S ρu ⋅ dS

∫_Ae ρu (h_p + 1/2 u ⋅ u) ⋅ dS = 0

C̅_p(p)(T-T_o) = ∫_T0^T C_p(p) dT

Δh° = h°_p - h°_R

∫_Ae ρu (Δh° + C̅_p(p)(T-T₀) + 1/2 u ⋅ u) ⋅ dS = 0

∫_Ae ρu (h°_p - h_k) ⋅ dS ≅ ṁ (h°_p - h_k) = Ṗ_c

∫_Ae ρu C̅_p(p)(T-T₀) ⋅ dS = ṁC̅_p(T_e-T₀) = Q̇_j

∫_Ae ρu (1/2 u ⋅ u) ⋅ dS = 1/2 ṁ u_e² = Ẇ_j

Ṗ_c = Q̇_j + Ẇ_j

η = Ẇ_j/Ṗ_c = Potenza della spinta/Potenza fornita

La soluzione a singolo stadio per un lanciatore può essere conveniente.

Posso esserci carichi inerti troppo elevati; inoltre la massa della

struttura é lievemente più grande rispetto ad un multistadio.

Altro vantaggio è di un I_sp maggiori (quando c'è il rilascio d'uno stadio

il veicolo accelera impulsivamente e molta successivamente dove

essere accelerato meno massa).

Esempio: m₀ = 15000 kg u_e = 3048 m/s

M_L = 1000 kg

m_S = 2500 kg

Programm la soluzione mono-stadio con una bi-stadio

caratterizzato da λ₁ = λ₂ e σ₁ = σ₂ e u_e1 = u_e2.

Mono-stadio

σ = 0.143 λ = 0.074

Δv = -u_e ln (σ + λ (1-σ)) = 4842,4 m/s

Bi-stadio

m_0L = m₀₂ dove m_0L = m₀₂ m₂ M_L = m_0L

m₀₂ = √m_L·m₀

m_s1 m_s2

m_s1 + m_p1 m_s2 + m_p2

m_s1 m_s2

m₀₂

dove m_s1 + m_s2 = m_s

λ_i = 0.258 j ; m₀₂ = 3872,98 j ; m_s1 = 15894,5+ kg

σ_i = 0.143

Δv = 2 Δv_i - 2 u_e ln (σ_i + λ_i (1-σ_i))

Δv_Bi = 6158,9 m/s > Δv_Mono

Richiami di Meccanica Orbitale:

Equazione del moto: \( m \ddot{r} = -\frac{\mu}{r^2} \hat{e}_r \)

Scomposizione:

• \( \frac{\mu}{r^2} = 0 \) (RADIALE)
• \( 2r \dot{r} + r^2 \dot{\theta} = 0 \) (CIRCONFERENZIALE)

\( \frac{d}{dt}(r^2 \dot{\theta}) = 0 \) ⇒ \( h = r^2 \dot{\theta} = \text{costante} \quad (h = r \wedge v) \)

\( r(t) = r(\vartheta(t)) \) ⇒ \( \dot{r} = \frac{dr}{d\vartheta} \dot{\vartheta} = \frac{h}{r^2} \frac{dr}{d\vartheta} \) ⇒

⇒ \( \dot{r} = -h \frac{d}{d\vartheta} \left(\frac{1}{r}\right) \)

⇒ \( \ddot{r} = \frac{d^2r}{d\vartheta^2} \dot{\vartheta} \) ⇒ \( \ddot{r} = -h \frac{d}{d\vartheta} \left( \frac{d}{d\vartheta} \left(\frac{1}{r}\right) \right) \dot{\vartheta} \)

⇒ \( \ddot{r} = -\frac{h^2}{r^2} \frac{d^2}{d\vartheta^2} \left( \frac{1}{r} \right) \)

[...]

Soluzione generale: \( \frac{1}{r} = A \sin{\vartheta} + B \cos{\vartheta} + \frac{\mu}{h^2} \)

I.C. ⇒

• \(r \vert_{\vartheta=0} = r_p \) ⇒ \( \mathcal{B} = \frac{1}{r_p} - \frac{\mu}{h^2} \)
• \( \dot{r} \vert_{\vartheta=0} = 0 \) ⇒ \( A = 0 \)

⇒ \( \frac{1}{r} = \frac{\mu}{h^2} \left( 1 + e \cos{\vartheta} \right) \) ⇒ \( r = \frac{\frac{h^2}{\mu}}{1 + e \cos{\vartheta}} \)

(ORBITA CONICA)

Manovra d'inserimento (Injection transfer):

ϕ = "Path angle" (Traiettoria = Orizzonte)

α = Incidenza (Angolo d'attacco)

δ = Angolo sigma - asse = α' - α

mν̇ = F + D + mg

Decomponiamo l'equazione del moto nel sistema di riferimento solidale con il razzo (CH, x, y).

Il riferimento non è inerziale, perciò ci sono delle forze apparenti:

• x) mν̇ = F cos α' - D - mg sin ϕ
• y) mνϕ̇ = F sin α' - mg cos ϕ

dove ν̂ = ν ê_x

ν̇ = ü ê_x + ϕ̇ ê_y

e mνϕ̇ = Forza apparente

Dovuta alla rotazione del sistema di riferimento rispetto al sistema assoluto (in questo caso solidale con la terra).

Injection transfer e "coasting"

Take off e injection

LEO

Rientro Atmosferico

Balistico → Senza portanza

"Skip Reentry" → Con portanza

Altità (es. "Pull-Up")

N.B. l'ottavo dell'atmosfera terrestre (il confine fra atmosfera e spazio) è convenzionalmente posto a 100 km.

Durante la trattazione, si utilizzerà l'equazione del moto scomposta lungo le direzioni di V e L.

Def. "Coefficiente Balistico" = ^2m/_CDρ0A0 = β

N.B. Possono essere date diverse definizioni al coefficiente balistico, per esempio BC = ^m/_CDA e i suoi derivati; l'importante è che descriva la capacità dell'oggetto di superare la resistenza dell'aria in volo.

Definiamo anche: λ = ^L/_D (Tipicamente λ = 0.4)

Altri valori tipici: φ = 2° ÷ 6° C_D =

• 1.6 ÷ 2 ← M > 5
• 0.5 ÷ 1 ← M ≤ 1 (M ≈ 1)

⇒ Quindi υ e σ sono funzioni di σ! ⇒ funzioni di ζ(t)!

Dobbiamo però commentare l'ipotesi di φ = cost.:

φ = cost. è un'ipotesi ristretta ad un intervallo d'altezze, ξ, e quindi ristretta ad un dominio di validità di σ! Vediamo come e perché:

— dsigma/dt = - (sigma/H) // sinc φ (exp (-sinoshφ/H)) = ι

— sinoshphi = - (H //