Prodotti tra vettori vettoriale scalare e misto, Analisi matematica II

Prodotti tra vettori: vettoriale, scalare e misto

Prodotto vettoriale

Il simbolo dell'operazione è X, e tale operazione è una cosiddetta "operazione binaria". Il prodotto vettoriale di due vettori (generici, indicati con V e W) è definito come il vettore ortogonale a V e W. Tale definizione di prodotto vettoriale è indipendente dal sistema di riferimento in quanto risulta ricondotta ad operazioni invarianti per la determinazione di direzione, verso e modulo del risultato. Il calcolo dell'espressione in funzione delle componenti cartesiane in un dato sistema di riferimento si basa su: (normalmente, al posto di e1, e2 ed e3 capita di trovare i, j, k).

Il prodotto vettoriale è anticommutativo, non vale la proprietà associativa. Il risultato è nullo se uno dei due vettori è nullo o se i vettori sono paralleli, ed è nullo il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso.

Prodotto scalare

Dati due vettori V e W, viene definito "prodotto scalare" la quantità per il quale vale la proprietà commutativa. È nullo nel momento in cui i due vettori formano tra di loro un angolo di 90°, o se uno dei due è nullo. Inoltre vale la proprietà distributiva. Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è detto quadrato del vettore (quadrato del modulo del vettore).

Esempi di prodotti scalari tra vettori si possono ritrovare nel teorema di Carnot (o teorema del coseno), ed un caso ancor più particolare è quello del teorema di Pitagora, il quale rappresenta il caso in cui l'angolo tra i due vettori è di 90°.

Ora cercheremo di calcolare l'espressione del prodotto scalare in un determinato sistema di riferimento, vale a dire in funzione delle componenti cartesiane dei due vettori. Il prodotto scalare tra due vettori è eguale alla somma dei prodotti delle componenti omologhe dei singoli vettori.

Prodotto misto tra vettori

Il prodotto misto tra vettori è l'insieme di un prodotto vettoriale e di un prodotto scalare.