Prodotti tra vettori vettoriale scalare e misto, Analisi matematica II

Matematica 2 PRODOTTI TRA VETTORI (VETTORIALE, SCALARE E MISTO).

PRODOTTO VETTORIALE:

Il simbolo dell'operazione è X, e tale operazione è una cosiddetta ''operazione binaria''.

Il prodotto vettoriale di due vettori (generici, indicati con V e W), è definito come il vettore

ortogonale a V e W:

Tale definizione di prodotto vettoriale è indipendente dal sistema di riferimento in quanto

risulta ricondotta ad operazioni invarianti per la determinazione di direzione, verso e modulo

del risultato. Il calcolo dell'espressione in funzione delle componenti cartesiane in un dato

sistema di riferimento si basa su:

(normalmente, al posto di e1, e2 ed e3 capita di trovare i, j, k). Il prodotto vettoriale è

ANTICOMMUTATIVO, NON VALE LA PROPRIETA' ASSOCIATIVA. Il risultato è NULLO se uno dei

due vettori è nullo o se i vettori sono paralleli, ed è nullo il prodotto vettoriale di un vettore per se

stesso

PRODOTTO SCALARE:

Dati due vettori V e W, viene definito ''prodotto scalare'' la quantità:

Per il quale VALE la proprietà COMMUTATIVA, è nullo nel momento

in cui i due vettori forano tra di loro un angolo di 90°, o se uno dei due è nullo. Inoltre VALE la

proprietà DISTRIBUTIVA. Il prodotto scalare di un vettore per se stesso

è detto quadrato del vettore (quadrato del modulo del vettore). Esempi di prodotti scalari tra

vettori si possono ritrovare nel TEOREMA DI CARNOT (o teorema del coseno), ed un caso

ancor più particolare è quello del TEOREMA DI PITAGORA, il quale rappresenta il caso in cui

l'angolo tra i due vettori è di 90°.

Ora cercheremo di calcolare l'espressione del prodotto scalare in un determinato sistema di

riferimento, vale a dire in funzione delle componenti cartesiane dei due vettori.

Il prodotto scalare tra due vettori è eguale alla somma dei prodotti delle componenti omologhe

dei singoli vettori.

PRODOTTO MISTO tra vettori:

l'insieme di un prodotto vettoriale e di un prodotto scalare.