Probabilità e Statistica Matematica

PROBABILITA' E STATISTICA

• La PROBABILITA' di un evento è sempre compresa tra 0 e 1. Se un evento ha probabilità 0 allora è un evento impossibile.Se un evento ha probabilità 1 allora è un evento certo.
• Concezione classica del calcolo della probabilità

  PROBABILITA' = _{N° CASI FAVOREVOLI}/^{N° CASI POSSIBILI}

  Esempio: probabilità di avere TESTA nel lancio di una moneta

  CASI FAVOREVOLI in una prova: 1 (TESTA)

  CASI POSSIBILI in una prova: 2 (TESTA o CROCE)

  PROBABILITA' = ¹/₂ = 0.5

La probabilità di un lancio di una moneta con testa è 0.5 = 50%

• Concezione frequentista: la probabilità si esprime dalla frequenza relativa con la quale l'evento si verifica in un numero relativamente grande di prove effettuate nelle stesse condizioni.

  ESISTE

  Se tiri la moneta un numero di volte relativamente grande osservi che l'evento TESTA avrà una frequenza relativa vicina a 0.5, in altre parole su 1000 lanci di moneta, testa dovrebbe uscire circa 500 volte.

• Concezione soggettivista: la probabilità di un evento è il prezzo che un osservatore utilizza quale pegno per ricevere se si verifica un evento, o non si verifica.

  PROBABILITA' = _{PREZZO DíSPOSÒTO A PAGARE}/^{PREZZO DI VINCITA}

PROBABILITÀ E STATISTICA

• La probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 e 1

Se un evento ha probabilità 0 allora è un evento impossibile

Se un evento ha probabilità 1 allora è un evento certo

Concezione classica del calcolo della probabilità

Probabilità = n° casi favorevoli / n° casi possibili

Esempio: probabilità di avere testa nel lancio di una moneta

Casi favorevoli in una prova = 1 (testa)

Casi possibili in una prova = 2 (testa o croce)

Probabilità = 1/2 = 0,5

La probabilità di un lancio di una moneta con testa è del 50%.

Concezione frequentista

La probabilità si esprime dalla frequenza relativa con la quale l'evento si verifica in un numero relativamente grande di prove effettuate nelle stesse condizioni.

Esempio

Se lancio la moneta un numero di volte relativamente grande, osserverò che l'evento TESTA avrà una frequenza relativa vicina a 0,50. In altre parole, su 1000 lanci di moneta, testa dovrebbe uscire circa 500 volte.

Concezione soggettivista

La probabilità di un evento è il prezzo che un scommettitore utilizza quale logica per ritenere se un evento si verifichi, o se l'evento non si verifica.

Probabilità = prezzo disposto a pagare / prezzo di vincita

Alcune considerazioni rispetto a questi metodi

• SVANTAGGIO - non tiene conto del fatto di

  poter avere disposto per giocare 5€ per vinere 10€, non differentementenon disporre a giocare 5000€ per vincere 10000€

EVENTI

_n = insieme di tutti gli eventi possibile di un certo esperimento

_n = velori certi, sprempi certi uscira Testa o Croce

_n = non compri/complementi di eEEGA: eventi impossibile

Se consideriamo 2 eventi di _n: A e B

A ∪ B: si verifica A oppure B oppure entrambi

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ _n = A
• A ∪ ∅ = A
• A ∪ _n = _n
• A ∪ A ̅ = _n

A ∩ B: si verificano A e B contemporaneamente

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ ∅ = ∅
• A ∩ _n = A
• A ∩ A ̅ = ∅

A ⊆ B: se si verifica A allora si verifica anche B

• A ∪ B = B
• A ∩ B = A

A e B: eventi incompatibili

A ∩ B = Ø

Gli eventi si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.

A e B: eventi necessari

A ∪ B = Ω

Gli eventi, in forma minima, si contengono l'uno nell'altro gli altri eventi.

A e B: partizione

Ω = Α ∪ Β eventi necessari e incompatibili.

Una partizione è un insieme di eventi necessari e incompatibili.

P(A) ≤ 1 = P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Se A e B sono incompatibili allora A ∩ B = Ø

P(A ∩ B) = 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Probabilità Condizionata

P(A|B): probabilità di A se B: probabilità che si verifichi A una volta verificato B.

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

A e B quindi in quanto casi NON DIPENDENTI esiste B condiziona A

Assiomi della Probabilità

1) Positività P(A) ≥ 0

2) Normalizzazione P(Ω) = 1

3) Additività se A ∩ B = Ø

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

• Legge delle probabilitá composite

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) → P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B)

Se A e B sono statisticamente indipendenti allora

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Detto in altro modo, P(A | B) = P(A) → B non influenza A

• Legge delle probabilitá totali