Probabilità e Statistica Matematica

PROBABILITÀ E STATISTICA

• La probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 e 1. Se un evento ha probabilità 0 allora è un evento impossibile. Se un evento ha probabilità 1 allora è un evento certo.
• Considerare l'esempio del calcolo della probabilità:

_PROBABILITÀ = ^{N° CASI FAVORE VOLI}/_{N° CASI POSSIBILI} Esempio: probabilità di avere TESTA nel lancio di una moneta CASI FAVOREVOLI in una prova = 1 (TESTA) CASI POSSIBILI in una prova = 2 (TESTA o CROCE) PROBABILITÀ = ¹/₂ = 0,5

La probabilità di un lancio di una moneta con testa è 50%

• Considerare frequente: la probabilità si approssima alla frequenza relativa con la quale l'evento si verifica in un numero relativamente grande di prove effettuate nelle stesse condizioni.

ESEMPIO: Se lanci la moneta un numero di volte sufficientemente grande, osserva che l'evento TESTA avrà una frequenza relativa vicina a 0,50. In altre parole, su 1000 lanci di moneta, testa dovrebbe uscire circa 500 volte.

• Considerare soggettiva: la probabilità di un evento è il prezzo che un scommettitore razionale sarebbe disposto a pagare pur ritenendo che l'evento si verifichi. A un evento non si verifica.

PROBABILITÀ = PREZZO DISPOSTO A PAGARE / PREZZO DI VINCITA

Alcune combinazioni riguardano presenza degli svantaggi

• SVANTAGGI → non lineari rispetto del file di:

per avere diritto al gioco 5€ per meno 10€, non effettivamente

non diretto e posto 5000€ per vincere 1000€

EVENTI

• Ω = insieme di tutti gli eventi possibili di un certo esperimento
• A = Eventi certi, comunque avviene l'evento Tizio o Caio
• Ø = non avvoge/confronti di Omega: eventi impossibile

Se consideriamo 2 EVENTI di Ω: A, B

A ∪ B: si verifica A oppure B oppure entrambi

A ∪ B = B ∪ A

A ∪ A = A

A ∪ Ø = A

A ∪ Ω = Ω

A ∪ A^c = Ω

A ∩ B: si verificano A e B contemporaneamente

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ A = A

A ∩ Ø = Ø

A ∩ Ω = A

A ∩ A^c = Ø

A ⊆ B: si verifica A allora si verifica anche B

A ∪ B = B

A ∩ B = A

- scelta funzione media

- dp_m(x) = √VAR_p(x) = √(∑_x(x - β_i)²) = E(x)

- Utilizzare le lettere dell’alfabeto per i campioni, le lettere greche per la popolazione o universo:

UNIVERSO CAMPIONE

μ E(x)

σ² VAR(x)

σ dp_m(x)

COEFFICIENTE BINOMIALE

DF. Dati numeri interi m, k con k ≤ m, il numero di sottoinsiemi k presi da un insieme m è

(m) = m!

(k) . k!.(m-k)!

Variabili casuali geometriche

Si parla di trovare sempre una sequenza di prove di Bernoulli nel non sperimentare

casuale cerca una prova dati tutte prove indipendenti teme del che,

ottiene in successione per un insuccesso e il successo p non cambia una prova

e dove, con queste premesse possono esistere a prove in questo: l'Bernoulli,

la distribuzione geometrica in questo ha la formula

P_X(X) = (1-p)^X-1

X è una variabile casuale laddove la prima prova con un utile

insuccesso e il primo numero m

verifica il X-esima eddizione

Questo tipo di distribuzione già della formula di mancanza di memoria, cioè il

tecnico non vido da a suo già del m prove

Definizione

Si chiama distribuzione geometrica con parametri (o0, invito E(λ) densità:

f(x) = ^λe-λx m x ≥ 0 0 n x < 0

Funzione di ripartizione

F(x) = ^1-e-λx m x ≥ 0 0 m x < 0

E(X) = ¹/_λ

Var(X) = ¹/_λ²

Covarianza

Quando le V.C. ott. allo stesso al varianza si indicano in ellissoide indico :

ESEMPIO

DEF

(x,t) coppia di V.C. con E(X) = μ_X E(X) = μ_Y

cov(X,Y) = E( (X-μ_X) (Y-μ_Y) )

Se n null. not cov(X,Y) = 0

Stima

• Stima Puntuale: stimare il parametro ignoto della popolazione (ad esempio θ) tramite un valore ottenuto da osservazioni del campione (per esempio E(x) o X̄).
• Stima Intervallo: stimare un intervallo da calcolare il parametro ignoto con una certa probabilità (esiste un errore).

Parametro Stimatore e Stima

• Parametro: è il valore legato alla popolazione (in media della popolazione μ).
• Stimatore: è la variabile di una cui si vogliono ricavare per stimare il parametro (esempi della popolazione (es) media campione X̄).
• Stima: è il valore dello stimatore ottenuto dall’osservazione del campione.
• (es) media campione X̄ Stima X̄= numero

• In Generale:
• Parametro la indentiamo con θ
• Stimatore la indentiamo con T
• Stima la indentiamo con t

Errore di Campionamento = θ-t

Proprietà dello Stimatore

• Stimatore Corretto: un stimatore si definisce corretto se la media di tutte le stime t, calcolate con lo stesso stimatore T, su tutti i campioni di una stessa composizione si uguarda al parametro della popolazione.

E(T) = θ

Altrimenti lo stimatore si definisce e la misura della distorsione è:

E(T) - θ

2 → lavorato

N → Non lavorato

π = 1/4 = 0.25

Frequenza campionare

• (N, N) π=0
• (L, L) π=1
• (L, N) 1-f=0.5
• (N, L) f=0.5
• (L, N) π=0
• (N, N) f=0.5

E(P) = π

E(X) = ∑ xi pi

VAR(X) = ∑ xi₂ pi – E(X)²

Media dell'universo

Vogliamo stimare l'intervallo di confidenza al 33% della lunghezza media dei soggetti tra i 25 anni che non superano tale valore di 29 cm.

Consideramo un campione di 253 soggetti tra i 20 e 25 cm di altezza di cui calcoliamo l'altezza media: 168 cm.

M=253 campione composto di valori equivalenti di numerosi X se compone come una normale N (μ, σ²)

Calcoliamo l'intervallo di confidenza come in precedenza:

Pr { X̄ - z _{α 2} σ/√m μ ≤ X̄ + z _{α 2} σ/√m } = 1-α

X̄ = 168

σ = √Σ (Xi - X̄)²/N = 5,26

M=253

S E R = σ / √M = 5,26 / √253 = 0,33

Pr { 168 - 2,53 × 52/√253 ≤ μ ≤ 168 + 2,53 × 52/√253 } = 0,33

Ci è una probabilità del 33% che l'altezza media dei soggetti tra i 20 anni esoni l'altezza varia tra 167,65 cm e 168,85 cm

Se M è grande:

Pr { X̄ - z _{α 2} σ/√M μ ≤ X̄ ≤ X̄ + z _{α 2} σ/√M } = 1-α

Se M è piccolo:

Distribuzione t (bilaterale)

T(X̄) = X̄ - μ/σ/√(M - 1) μ < (θ= N = 1)