Probabilità e Statistica - Appunti

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Author: simo 94

Aggiornato il 13/04/2026

di simo 94

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Appunti per l'esame di Probabilità e Statistica del professor Boella. In questo documento ci sono tutti gli argomenti studiati durante il corso con spiegazioni e dimostrazioni importanti. …

Esame Probabilità e statistica

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. Boella Ugo Claudio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2013-2014

56 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Verosimiglianza:

Faccio la congiunt.
Raccolgo il logaritmo
Faccio il derivata
Rispetto al ìnidesco la > imponendo uguale a zero

Stimatori:

Corretto: E(T)=a
Sufficiente (uso T)
Consistente (vlpi >n)
Min var (cramer rao)
Bias (θ) E(T)-a

Formule Moment:

espon: E[xⁿ]=n!/(λⁿ)
Poisson: E[xⁿ]=kⁿ e^-k/x!
Binom: (n k) pⁿ q^n-x
Norm: ((x-μ)/σ) d(σ√x)

Intervalli di confidenza

Intervallo media per normale:

Varianza nota (σ²): μ ∈ [Xm - z_α σ/√m]

Intervallo varianza per normale:

Media nota: σ²∈[Xm S² _σ²

Intervallo λ per esponenziale:

λ ∈ [2m/Xm]

Intervallo p per bernoulliana:

p ∈ [X ± Z √(1-x)

Intervallo λ per poissoniana:

λ ∈ [Z ± n/X]

Test parametrici:

Test media normale:

σ² nota: z-test
x̄−μ₀/σ/√n

Test varianza normale:

z = mS²/σ²

Test non parametrici:

Test buon adattamento:

U = ∑ (Oi−Ei)²/Ei

INTERVALLI DI CONFIDENZA

INTERVALLO MEDIA PER NORMALE:

Varianza Nota (^σ²v):

μ ∈ (x̄ - z_1-α/2 σ √ⁿ ; x̄ + z_1-α/2 σ √ⁿ)

μ ∈ ( -∞ ; x̄ ± z_α σ √ⁿ)

Voglio Ho H_o: μ = μ_o

Varianza Incognita:

μ ∈ ( x̄ - t_n-1;1-α/2 s √ⁿ ; x̄ + t_n-1;1-α/2 s √ⁿ)

μ ∈ ( x̄ - t_n-1;α s √ⁿ ; x̄ + ∞)

INTERVALLO VARIANZA PER NORMALE:

Media Nota:

σ² ∈ ( (n-1)s² / χ²_1-α/2;n-1 ; (n-1)s² / χ²_α/2;n-1 )

Media Incognita:

σ² ∈ ( s² (m;1-5%) m⁵ ; n √ⁿs² (1;m)⁵ )

Media Unica:

σ² ∈ ( 0 ; (m;1-5%) m √^1/n )

INTERVALLO λ PER ESPONENZIALE:

μ ∈ ( 2mx ; 2mx )

λ ∈ ( 4[ x̄ [1 - T_x̄;4 ] ] ; 2 )

2m z_1-α ; 2m ]

INTERVALLO p PER BERNOULLIANA:

p ∈ [ x̄ ± z_α √^(1-x̄) ]

n̄ √

INTERVALLO λ PER POISSONIANA:

λ ∈ [ x̄ ± z_α/2 √^x̄ ]

μ ∈ [ x̄ ± z_α/2 √^x̄ ]

TEST PARAMETRICI:

TEST MEDIA NORMALE:

σ² NOTA: z-TEST

U = x̄ - μ_o ∼ N(0;1)

σ √ⁿ

σ² INCOGNITA: t-TEST

U = x̄ - μ_o ∼ t(n-1)

s √ⁿ

I GRADI:

IR: se k(1) ≥ z_α ; k_o > k

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