Probabilità e Statistica

Distribuzione binomiale

Sono indipendenti e si ottiene la distribuzione ipergeometrica. In ogni caso, se il numero di estrazioni, la binomiale resta una buona approssimazione. Supponiamo di tirare un certo numero di dadi, facciamo dieci. Qual è la probabilità di avere due volte 6? La probabilità che esca 6 è 1/6, mentre p = 1-p = 5/6. Perché escano due 6 su 10 tiri la probabilità è data da (1-p)^2 * p^8, ma questo non basta, perché dobbiamo considerare tutti i possibili scambi con cui possiamo estrarre i due risultati vincenti su un totale di 10. Questo viene dato dal coefficiente binomiale, 10C2. Questa è la distribuzione binomiale. Generalizzando il risultato di prima per k successi in n eventi, se p è la probabilità di successo e q = 1-p la probabilità che l'evento desiderato non avvenga, la probabilità che l'evento avvenga k volte è data da nCk * p^k * q^(n-k).

discreta come laserie di Fourier della distribuzione stessa: n nn ! !n nX XX ikt itikt k n−k k n−kn (k) = e (1 = (e (1= e p p) p) p)φ(t) − −B p k kk=0 k=0k=0 n it= e +1p p ,− itdove per passare dalla prima alla seconda riga abbiamo sfruttato il teorema del binomio di Newton con = ex pe = (1 Di conseguenza il primo momento sarày p).− dφ n−1h iit it= e 1 + e 1 == = np p np.µ −−ihki dt t=0 t=0Derivando un’altra volta rispetto a questa espressione si trova il secondo momento:t2d φ n−1 n−2D E h i h iit it 2 it it 22 it= = e 1 + 1) + e e 1 + e 1 = + 1)pk np p(e np p np n(n .− − − −2dt t=0 t=0t=0Per la varianza si ha di conseguenza che per la binomiale valeD E 22 2 2 2 2= 1)p + = =k n(n np n p np(1 p) σ .− − − −hkiC’è anche un’alternativa per calcolare questi momenti, sfruttando il teorema di Newton per cuin !nXn k

n−k(p + = (p,q) p q f q).Ckk=0

Osserviamo che (p, 1 = 1 per via della binomiale. Inoltre f p)− !∂f nX k n−k= kp q .p ≡ hki∂p kq=1−p k

Stessa cosa poi per il secondo momento in cui ∂∂D E2 = (p,k p p f q) .∂p ∂p q=1−p2.

3.2 Distribuzione multinomiale

La generalizzazione della distribuzione binomiale è la distribuzione multinomiale, utile nel caso ci siano più risultati possibili, in generale con probabilità diverse non avremo binomi ma multinomi, e rimpiazzeremo→ il coefficiente binomiale con quello multinomiale, dato dal numero di partizioni in classi (la distribuzione kbinomiale era = 2 e 1, per = 2 e = 1 si ottiene la distribuzione di Bernoulli) di dimensionek n > k n n , n , . . . , n1 2 kki=1Ptali che = . Questo numero (n ) = !/n !n ! !. Anche qui vale un teorema simile a quellon N N , . . . , n N . . . n1 1 2i k kdi Newton ma per il multinomio: !NX nnN k1(a )+ + + =a a a a .· ·

• · · · ·1 2 k 1 kQ !niin ,...,n1 k;8<© Matteo Tajana, Università degli Studi di Milanoø14 Probabilità e Statistica
• Dalla PDF della distribuzione binomiale passiamo facilmente a quella multinomiale, che èk kp!N Ynn ik1) = = !p(n , . . . , n p .p N· · ·1 k 1 k! ! !n n n· · ·1 k ii=1
• La possiamo vedere come una specie di binomiale in cui ci sono più di due probabilità. Un esempio di appli-cazione della multinomiale è studiare un campione di 10 persone e vederne il gruppo sanguigno. Supponendoche il gruppo 0 si presenti statisticamente nella popolazione con il 10% di probabilità, quelli A e B con il 35%l’uno e quello AB con il restante 20%, con quale probabilità avremo 3 persone con gruppo 0, 2 con A, 4 conB e 1 con AB? Per rispondere a questa domanda si sfrutta appunto il coefficiente multinomiale. La distribu-zione multinomiale ha diverse proprietà.

jmomento per indici uguali: N N N−1 −1 −2! ! !∂ ∂ ∂ X X XD E2 = = = + (N 1)pn p p f p N p p p N p p N p−i i i i i i i i i ii ∂p ∂p ∂pi i i i i i2= + (N 1)p N p N −i i D E2 2 2= + (1 ) =p N N p p n .−i ii iDi conseguenza, ricordando che = , la varianza si ottiene comeN phn ii i D E 22Var = Cov = = (1 ).n N p p− −hn ii=j i i iiDi conseguenza Cov = .p p−Ni,j i j2.4 Distribuzione di PoissonLa distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità che esprime la probabilità che un dato numerodi eventi occorrano ad intervalli temporali fissati. Questo processo avviene con un rate perλ—probabilità;8<© Matteo Tajana, Università degli Studi di MilanoøProbabilità e Statistica 15unità di tempo—indipendentemente dalla scala di tempo considerata. Qual è la probabilità che avvengano inquesta unità di tempo eventi?