Principio di induzione e derivate: Appunti di Analisi matematica

Principio di induzione

Sia (P_n) una successione di proposizioni: (P_n) = {P₀, P₁, P₂, P₃, ...}

Se (1) 0 ∈ ℕ tale che P_n0 è vera (passo base di induzione)

e (2) P_n0 ∀n ∈ ℕ, n ≥ n₀ (ipotesi di induzione)

allora P_n0 è vera ∀n ∈ ℕ

1. P_n0 è vera
2. P_n = P_n+1

e.s. Dimostrare che ... ∈ (-1,0)

(1+α)^m < 1/1-mα ∀n ∈ ℕ|{0}

Somma dei tesi logaritmiche geometriche

Sia a ≠ 1

• a⁰, a¹, a², a³, a⁴, ..., a^u...

Σ aⁱ = 1 + a + a² + ... a^u

(0^∞ = 1 convenzione)

(1-α) Σ aⁱ = (1-a)(1+a+α² + ... + a^u =

= 1-q¹ + p-q² + q² x q³ + p³ + ... q¹-qⁿ⁺³

= 1-a ... aⁿ⁺¹

=> Σ aⁱ = i=-0 n=n a-aⁿ⁺¹

f=-a => lo dimostro con il principio di induzione:

Dim. se n=1

(P3)

a¹ = a - a²/_1-a + a = (a)(1+a) v.e. (10 ∃ n∈ℕ: |a_n - ℓ| < ε ∀ n > ℕ_ε

n→+∞

lim a_n = x ↔ ∀ a∈ℝ ε>0 x con x≠β tale che |a_n| > β

Una successione si dice: - convergente se ha limite finito ℓ - divergente se ha limite ±∞ o -∞

Esempi: disegnate le successioni: a_n = n, a_n^-1, a_n = (-2)ⁿ, a_u = arccos n a_n = (-1)^un u (se prof:^un=0 arccos)

a_n = n

Un'appunto di delle balistocla kondarpolsci

(a_n) è limitata se e solo se ∃ ℋ>0: |a_n| ≤ ℋ ∀ n∈ℕ

Teorema: (a_n) convergente ⇒ (a_n) limitata Non (a_n) limitata ≠ (a_n) convergente

Es. a_n = (-1)ⁿ è limitata ma non convergente

Dim. Sia lim a_n = ℓ∈ℝ ε∈ℝ: ∃ n_ε∈ℕ: |a_o - ℓ| < ε ∀ n>u_z allora: |a_n| = |a_n - ℓ + ℓ| < |a_n - ℓ| + |ℓ| < 1 ∀ n > n_u Preso ℋ = max {β + |ℓ|, |a_o|, |a₁|, ..., |a_nε|} si ha: |a_n| ≤ ℋ ∀ n∈ℕ

Esempio: lim_{x → 0} (3x)/x = 3

E’ continuo: f_tangente posta alcocare f(0) = -1/3

FUNZIONI LIPSCHITZIANE

Sia A ⊆ ℜƒ:A → ℜ si dice lipschitziana se esiste una costante H > 0 tale che è soddisfatta la condizione di Lipschitz:

|f(x₁) - f(x₂)| ≤ H |x₁ - x₂|  ∀ x₁, x₂ ∈ A

f(x) = c |c - x| ≤ H |x₁ - x₂|₀ ≤ M (x ≥ 0) ∀x

I costanti sono f. lipschitziane. Identità:

Le funzioni lipschitziane sono continue nel proprio dominio.

Dim: sia x₀ ∈ A. ∀ε > 0 ∃δ > 0: x ∈ A, |x - x₀| < δ => |f(x) - f(x₀)| < ε

per la lipschitziana: |f(x) - f(x₀)| ≤ H |x - x₀| < Hδ

  δ = ε/H

CONDITIONS OF SENO:

• |sin(x)| ≤ |x| ≤ tg(x)| x|   ∀ |x| < π/2
• Se 0 < x < π/2 risulta:
• 0 < sin x < tg x &tmsp; per 0 < x < π/2
• |sin x|
• Se x ∈ -π/2, π/2 |x a
• 0 < |1 - sin x| ≤ |1 - x| ≤ 1 - tg x|

If the sine is lipschitziana:

• |sin x| < |x| < * ∈ R si ha:
• |sin x - sin y| = |2 sin (x-y)/2 cos (x+y)/2| ≤ 2 |sin (x-y)/2| ≤ |x - y|,

vale quindi una condizione di lipschitz con costante M = 1

Successioni e Sottosuccessioni

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ..., a_n, ...

Def: Sia (a_n) una successione di numeri reali e sia (n_k) una successione strettamente crescente di numeri naturali: la successione (a_nk) = (a_k)_(nk) è detta sottosuccessione di (a_n).

...

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₇ a₁ a₄ a₈ a₉ a₂ ... 0 2_e+1 ...

Teorema:

Le seguenti condizioni sono equivalenti:

• 1. a_n → l;
• 2. ogni sottosuccessione (a_nk) di (a_n) tende a l.

Dim: applicando il teorema del limite di una funzione mediante successioni nel caso particolare in cui f è una successione:

2 ⇒ 1: perché tra le sottosuccessioni c'è la successione stessa.

1 ⇒ 2 per ipotesi:

∀ ε > 0 ∃ k ∈ N: ∀ k ≥ l ( |a_k - l| < ε ) ∀ k > k_ε

Siccome (n_k) è strettamente crescente allora n_k < k e quindi:

|a_nk - l| < ε ∀ k ≥ k_ε

∀ ε > 0 ∃ k ∈ N ∀ n ≥ k

es lim aⁿ

n → +∞ a₁ ∃ R

• se d = 0, d = 1 la successione è costante.
• se d = -1, d = 1 ¹, (-1)ⁿ → 1 quindi non esiste essendo illimitata.
• caso 1: d > 1: se b = d + β con β > 0:

a_n = (1+β)ⁿ + 1 + nβ + ∞

• caso 2: 0 < d < 1: allora b = 1, 0 < a → 1 a_nⁿ + ∞’ e