Principio di induzione e derivate: Appunti di Analisi matematica

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Revisionato il 15/04/2026

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Appunti di Analisi matematica per l'esame del professor Freddi che vanno dal Principio di induzione, passando per i limiti e tutta la topologia fino ad arrivare alle derivate. Tra gli argomenti …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Freddi Lorenzo

Università Università degli Studi di Udine

A.A. 2014-2015

44 pagine

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Principio di induzione

Sia (P_n) una successione di proposizioni: (P_n) = {P₀, P₁, P₂, P₃,...}. Se ∃ n₀ ∈ N tale che P_n₀ è vera (passo base di induzione)

P_n ⇒ P_n+1 ∀n ∈ N, n ≥ n₀ (ipotesi di induzione)

Allora P_n è vera ∀n ∈ N. Sia d ≥ -1

P_n è vera
P_n+1 = P_n + 1

(1 + d)ⁿ ≥ 1 + nd. Supponiamo che sia vera: (1 + d)ⁿ ≥ 1 + nd (P_n) e dimostriamo che (1 + d)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)d (P_n+1) sia la: (1 + a)ⁿ⁺¹ = (1 + a)ⁿ(1 + d) (≥0)(≥0) (1 + nd)(1 + a) = 1 + a + nda + n - 1

P_n è vera
P_n = P_n+1

(1 + d)ⁿ ≤ 1 + nd. Supponiamo che sia vera: (1 + d)ⁿ ≥ 1 + nd (P_n) e dimostriamo che (1 + d)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)d (P_n+1)

Sia l.a.: (1 + a)ⁿ⁺¹ = (1 + a)ⁿ(1 + a) (per i.p.) ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + a + na + na² = 1 + (n+1)a + m₀² ≥ 1 + (n+1)d

Dimostrare che x ∈ (-1,0) (1 + a)ⁿ ¹/_{1 - nd} ∀n ∈ ℕ, n ∈ {0}

Somma dei termini di progressione geometrica

Sia a ≠ 1, a, a², a³, a⁴, ..., a^u

^uΣ_{i = 0}

0^° = 1 convenzione

(1 - a)^Σ_i=0 aⁱ = (1 - a)(1 + a + a² + ... + a^u) = 1 - qⁱ + p - qⁱ + qⁱ ≠ q³ + q³ + l.. + q^r - aⁿ⁺⁸ = s - aⁿ⁺⁸ =>ⁿ Σ_{i = 0} aⁱ = l - aⁿ⁺¹ ^l/_{1 - a} - lo di inoverso ca il principio di induzione.

Dim: se n = 1 (P3) ξ a¹ = ^{1 - a²}/_{1 - a} i : 0+ e ⇒ (¹/_{1 - a})(1 + a)v.v.(1 > 0)(P2) x ipotesi di induzione Pi è vera e ξ aⁱ = ^{g - a}/_{1 - a}

Es: ∑_i=1^u i = ^{n(n + 1)}/₂

Definizione d'induzione

x¹: x^{m + 1} := x^m . x 0! = 1 (n + 1)! = n! . (n + 1) 1! = 0! . 1 = 1 . 1 = 1 2! = 1! . 2 = 2 se (n = 1) se (n = 2): 3! = 2! . 3 = 2 . 3 = 6 se (n = 3): 4! = 3! . 4 = 6 . 4 = 24 n! = 2 . 3 . 4 . 5 . ... . n

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)¹⁵⁶ = ? ⇒ Formula del binomio di Newton.

(a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ (n k) a^kb^n-k

Cos. (n 0) = n! / 0! (n-k)! es: (0 0) = 0! / 0! (1!) = 1 (1 0) = 1! / 0! (1!) = 1 (1 1) = 1! / 1! (1!) = 1 (2 1) = 2! / 1! (1!) = 2

• 0 > 1 > 1 > 0 Se n = 1 a+b = (1 0) b+ (1 1) a = b+a vero.

X ipotesi induzione (a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ (n k) a^k b^n+k-k

Dim (a+b)ⁿ⁺¹ = Σ_k=0ⁿ (n+1 k) a^k b^n+k (a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)(a+b)ⁿ ≡ (a+b)Σ_k=0ⁿ (n k) a^k b

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