Preparazione al corso di analisi matematica uno (analisi 1)

L'INTEGRALE INDEFINITO

La primitiva di una funzione

Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell'intervallo [a;b] se f(x) è derivabile in tutto [a;b] e la sua derivata è f(x).

Integrale indefinito

Si dice integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con ∫f(x)dx l'insieme di tutte le primitive F(x) + c con c numero reale qualunque.

Proprietà

1. ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

2. ∫k·f(x) dx = k · ∫f(x) dx

GLI INTEGRALI DEFINITI

DEFINIZIONE: Dato una funzione y=f(x) continua in [a;b] l'integrale definito è il valore a cui convegono le somme integrali inferion _{sn} e superiore ^{S_u}

TEOREMA DELLA MEDIA

DEFINIZIONE: Sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] allora esiste almeno un punto c ∈ [a;b] tale che:

DIMOSTRAZIONE

La funzione y=f(x) continua in [a;b] per il teorema di Weiestrass ammette un massimo e un minimo assoluto

m ≤ f(x) ≤ M   ∀x ∈ [a;b]

Per il Teorema di Bolzano esiste almeno un c ∈ [a;b] tale che

perché la funzione assume tutti i valori compresi tra [m;M] come dice il teorema.

Lunghezza di una curva e area della superficie

e = ∫_a^b √1 + [β'(x)]² dx

S = 2π ∫_a^b f(x) √1 + [β'(x)]² dx

Gli integrali impropri

y = β(x) [a;b]

Consideriamo un intervallo [t;b] contenuto in [a;b]. Nell'intervallo [t;b] la funzione è continua, quindi integrabile, quindi:

∫_a^b β(x) dx = lim_{t -> a⁺} ∫_t^b β(x) dx

La funzione è integrabile in senso improprio solo se come risultato del limite viene un numero finito. Se viene ∞ si dice che la funzione non è integrabile e la funzione diverge.

Teorema di Weierstrass

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a;b] allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto.

Teorema dei valori intermedi (di Bolzano)

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b], allora essa assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.

Serie a Termini Positivi

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad a_n > 0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \]

Una serie a termini positivi o converge o diverge.

Serie Armonica (Semplice)

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} + \ldots \]

Dimostrazione:

\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad \text{serie} \text{divergente!} \]

Dimostrazione:

\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists p/\forall n > p \quad \forall k \in \mathbb{N} \]

\[ |R_{n,k}|= |a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_{n+k}| < \varepsilon \]

Pongo \( k = n \)

\[ a_{n,k} = a_{n+1} + \ldots + a_{n+n} \]

\[ = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2n} \cdot n \]

\[ R_{n,k} > \frac{1}{2} \quad \forall \, 0 < \varepsilon < \frac{1}{2} \quad \text{non è verificata} \Longrightarrow \text{serie diverge positivamente} \]

Serie Armonica Generalizzata

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

• Divergente se \(\alpha \leq 1\)
• Convergente se \(\alpha > 1\)

per \(\alpha=1\) → serie divergente perché diventa come l'armonica semplice

per \(\alpha=0\) → serie divergente perché tutti i termini sono uguali a 1

per \(0 < \alpha < 1\) → \(\lim_{n \to +\infty} n^{1-\alpha} = \infty\) per il criterio del confronto la serie diverge

per \(\alpha < 0\) → \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^\alpha} = +\infty\) → serie divergente

per \(\alpha > 1\) → la serie converge

SERIE DI POTENZE

∑ an · (x-x₀)ⁿ an ∈ ℝ

possono convergere in tutto ℝ o in [-r, r]

serie di potenze di centro qualsiasi

SE x₀ = 0 :

∑ an · xⁿ = a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³ + ... + an xⁿ

UNA SERIE DI POTENZE CONVERGE SEMPRE NELL'ORIGINE (O CENTRO DI CONVERGENZA).

SERIE DI POTENZE DI CENTRO X₀ = 0.

∑ an · xⁿ

Teorema di ABEL

Se la serie di potenze ∑ an · xⁿ converge per un certo valore x₀ ≠ 0 allora essa converge assolutamente per ogni valore di x tale che |x| < |x₀|, se invece non converge per un certo valore x₀', allora non converge per ogni x tale che |x| > |x'₀|

Teorema sull'insieme di convergenza delle serie di potenze

Se una serie di potenze ∑ an xⁿ converge in almeno un punto diverso dall'origine e non converge per tutti gli x ∈ ℝ allora esiste un numero positivo r, detto raggio di convergenza della serie, tale che la serie converge assolutamente nell'intervallo ]-r, r[ e non converge per |x| ≥ r

Le serie di Fourier

y = β(x)

∀x ∈ D   ∫(x + kT) = β(x)

y = A ⋅ sen(ωx + φ)   y = A ⋅ cos(ωx + φ)

y = A ⋅ [sen ωx ⋅ cos φ + sen φ cos ωx]

= A cos φ sen ωx + A sen φ cos ωx

= a ⋅ cos ωx + b ⋅ sen ωx

— — — — — — — — — — — — —

a₀/2 + Σ_k=1ⁿ (a_k cos kx + b_k sen kx)

per n → +∞

a₀/2 + Σ_k=1^+∞ (a_k cos kx + b_k sen kx)

CONDIZIONI NECESSARIE

• y = β(x) periodica con T = 2π
• continua in [-π; π] o con un n⁰ finito di punti di
• β(x) è integrabile in [-π; π] e lo sono anche β(x) cos kx e β(x) sen kx

a₀ = 1/π ∫_-π^π β(x) dx

a_k = 1/π ∫_-π^π β(x) cos kx dx

b_k = 1/π ∫_-π^π β(x) sen kx dx

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DI 1^o GRADO

• OMOGENEA
• NON OMOGENEA

- STRUTTURA GENERALE:

EQ. LINEARE OMOGENEA (b(x) = 0)

Se l'eq. è omogenea risolviamo semplicemente:

y' = a(x)y   =>   ^dy/_dx = a(x)y

i.e. y₀ = 0 => ¹/_y dy = a(x) dx

∫¹/_y dy - ∫a(x) dx   =>   ln|y| = ∫a(x) dx + c

y = k • e^{∫a(x) dx}   con k ∈ ℝ

EQ. LINEARE NON OMOGENEA (b(x) ≠ 0)

Utilizziamo la formula risolutiva:

y' = a(x)y + b(x)

EQ. DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI

y' = g(x) • h(y)   con g(x) e h(y) continue

^dy/_dx = g(x) • h(y)   =>   ¹/_h(y) • dy = g(x) • dx   con h(y) ≠ 0

∫¹/_h(y) dy = ∫g(x) dx