Periodo operatorio concreto

Ogni classe corrisponde ad un diverso livello di astrazione. Es. A è la classe dei gatti, B quella dei

felini, C quella dei mammiferi. E’ possibile anche effettuare il procedimento inverso, cioè

effettuare la sottrazione e dal livello più generale (mammiferi) ritornare a quello particolare della

classe dei gatti.

L’addizione secondaria si riferisce invece alle divisioni alternative della stessa classe. Esempio:

dividere la classe dei mammiferi in A felini e B non felini.

Per comprendere la moltiplicazione bi­univoca di classi pensiamo a due insiemi A: l’insieme dei

quadrati e B l’insieme degli oggetti di colore rosso. Moltiplicare le due classi significa trovare la

classe in cui sono soddisfatti i criteri di inclusione di entrambe, cioè in questo caso la classe dei

quadrati rossi.

(slide 8) Ora viene fornito un esempio di raggruppamento logico di relazione, alla base delle

operazioni di seriazione. Si tratta dell’addizione di relazioni asimmetriche. Ricordiamo che fra due

classi possono esistere due tipi di relazioni: simmetriche e asimmetriche. Le relazioni simmetriche

sono tali per cui la relazione che ha un elemento A con un altro elemento B è uguale alla relazione

che B ha a sua volta con A. Tipico esempio è la relazione “fratello di”: se Marco è fratello di

Andrea, allora Andrea è fratello di Marco. Nelle relazioni asimmetriche invece la relazione che gli

elementi hanno fra loro non è uguale. Tipico esempio è la relazione “figlio di” se Marco è figlio di

Anna, vuol dire che Anna ne è la madre. Viene rappresentata nel disegno una relazione

asimmetrica di grandezza. L’elemento A è più piccolo di B il quale a sua volta è più piccolo di C, e

così via. La sottrazione corrisponde alla lettura degli elementi in senso contrario: D è più grande di

C, che è più grande di B e così via.

(slide 9) La moltiplicazione bi­univoca di relazioni è molto importante poiché descrive i tipi di

relazioni che possono esistere quando gli oggetti sono “contemporaneamente” ordinati in modo

asimmetrico rispetto a 2 diversi attributi. Nella figura possiamo osservare una serie di rettangoli che

variano in termini di altezza e di larghezza. La prima relazione asimmetrica: “più basso di” si

estende in verticale, la seconda “più largo di” in orizzontale. Moltiplicando i due insiemi di

relazioni otterremo una matrice in cui vi sarà una larghezza decrescente muovendosi da sx a dx e

delle altezze decrescenti muovendosi dall’alto al basso. La presenza di questo raggruppamento è

quella che permette di superare la prova di conservazione dei liquidi, grazie alla comprensione delle

diverse caratteristiche dei due recipienti.

(slide 10) I nove raggruppamenti discussi da Piaget sono chiaramente astratti, si tratta del tentativo

dell’autore di formulare un sistema logicamente coerente per la spiegazione del funzionamento del

pensiero. Per verificare la validità di questo aspetto della teoria, sono state ideate una serie di prove

empiriche, tuttavia non è stato possibile farlo per tutti i raggruppamenti proposti, di conseguenza

alcuni di essi non sono mai stati collegati dalla ricerca empirica ai reali processi di pensiero dei b.

(slide 11) La maggior parte degli studi di Piaget sui raggruppamenti logici sono stati dedicati allo

studio dei processi messi in atto durante la classificazione di oggetti. Sottolineiamo un aspetto

importante della teoria: studiare i processi di classificazione era concepito da Piaget come

equivalente allo studiare i processi di formazione dei concetti. Infatti secondo l’autore per poter

classificare degli oggetti in gruppi deve esserci la rappresentazione mentale di un insieme di

2

categorie “concettuali”. Ricordiamo che tali categorie concettuali sono collegate fra loro tramite il

principio della classificazione gerarchica e della classificazione incrociata, rese possibili proprio

dall’azione dei diversi raggruppamenti descritti. Rimandiamo quindi a quanto detto sulla

definizione di “concetto” nella lezione dedicata allo stadio preoperatorio.

Lo sviluppo delle operazioni di classificazione è stato prevalentemente studiato riguardo a due

criteri: la capacità di individuare una proprietà sulla cui base costruire una classe e la

capacità di compiere operazioni di addizione e moltiplicazione logica (e le loro inverse) sulle

classi.

(slide 12) Veniamo allo studio del primo criterio. Venivano dati b. varie sagome geometriche che

variavano rispetto alla forma (potevano essere quadrati, triangolari, di forma circolare e

semicircolare), al colore, al materiale di cui erano fatte che poteva essere legno o plastica. Si

chiedeva loro di “riunire insieme quelli uguali”. Come si comportavano i bambini in questo

compito? Si è visto che esiste una progressione in base all’età, rispetto al modo in cui viene

impostato il compito. I b. del periodo pre­operatorio tendono a formare una specie di disegno con i

pezzi forniti, cioè non raggruppano insieme pezzi che hanno caratteristiche simili, ma

semplicemente ne riuniscono alcuni formando quella che Piaget chiama “collezione figurale”.

Oppure i b. iniziano a svolgere il compito ma cambiano di continuo il principio scelto per la

formazione dell’insieme, che può essere dapprima la forma, poi il colore, e così via, non riuscendo

così a formare un insieme omogeneo di pezzi rispetto ad un unico attributo.

(slide 13) Vediamo ora un esempio di collezione figurale.

(slide 14) Durante la fase di transizione dal preoperatorio all’operatorio concreto, si assiste ad una

fase in cui i b. riescono a formare una classe in base ad un criterio, dimostrando l’acquisizione del

Raggruppamento0, quello dell’identità, tuttavia non sono in grado di riunire due gruppi che

differiscono per una sola caratteristica, ad esempio triangoli rossi e quadrati rossi in “figure rosse”,

cioè falliscono nei compiti di addizione di classe. Al contrario i b. dello stadio operatorio concreto

riescono ad eseguire il compito, dimostrando la presenza del Raggruppamento1 .

(slide 15) Vediamo in proposito la descrizione del comportamento di un Rob di 8 anni.

Rob (8;2) ricevuti i materiali comincia con 4 classi: (A) i cerchi, i semicerchi e i settori; (B) i

triangoli, (C) i quadrati e (D) gli anelli. Poi riunisce (B) e (C) dicendo “tutti i quadrati e i triangoli”

(che separa nella scatola dei rettilinei) e (A) e (D) “tutti i rotondi” (=curvilinei) che suddivide in

vari tipi.

Inhelder e Piaget (1959). La genesi delle strutture della logica elementare. Classificazione e

seriazione.

(slide 16) Rispetto invece alla capacità di compiere operazioni di addizione e moltiplicazione di

classe (nonché le loro inverse) sono state ideate numerose prove. Ricordiamo in proposito il test

delle perle di legno, spiegato nella lezione precedente, come prova atta a valutare il

raggruppamento2 8cioè l’addizione secondaria di classi). Invece riguardo al raggruppamento 3 (cioè

la moltiplicazione bi­univoca di classi) citiamo la seguente prova.

Venivano forniti al bambino due cartoncini: il primo rappresentava un insieme di oggetti di colore

verde ed il secondo una serie di foglie di svariati colori, di cui nessuna verde. Quindi veniva chiesto

al bambino di scoprire quale fosse l’oggetto che poteva appartenere ad entrambi i gruppi. La

risposta esatta era “foglia verde”. 3

Piaget ha studiato lo sviluppo

(slide 17) Per quanto riguarda invece le operazioni di seriazione

delle operazioni di seriazione implicanti:

l’addizione di relazioni asimmetriche transitive es. seriazione dei bastoncini

• la moltiplicazione biunivoca delle relazioni

• es. conservazione dei liquidi

Per la spiegazione del secondo compito si rimanda alla lezione sullo stadio preoperatorio. Invece

per quanto riguarda il primo compito, una prova classica ideata da Piaget è quella in cui venivano

dati ai b. dei bastoncini di diversa grandezza con la consegna di metterli in ordine in senso

crescente.

(slide 18) Osserviamo la figura.. I b. dello stadio preoperatorio riescono a fare degli ordinamenti a

coppie, ma non a costruire l’intera sequenza. Verso la fine dello stadio preoperatorio i b. riescono a

costruire la sequenza ma procedendo per prove ed errori, cioè fanno e disfano la sequenza fino a che

non arrivano all’ordinamento esatto della fila. E’ importante sottolineare il fatto che in questa fase

se una volta che il b. ha terminato la fila gli si danno altri bastoncini intermedi rispetto a quello

iniziale e a quello finale, il b. non è in grado di posizionarli direttamente all’interno della fila, di

conseguenza la disfa e la ricompone da capo. I b. dello stadio operatorio concreto invece sono in

grado di eseguire correttamente il compito.

(slide 19) A questo punto vorrei però richiamarvi su quello che vi avevo preannunciato essere il

principale limite della capacità di astrazione del bambino, ossia il fatto che è in grado di applicare le

“tutti i b.

operazioni solo ad eventi concreti e non su proposizioni verbali. Infatti, come dice Piaget:

dai 9 ai 10 anni sanno disporre in serie i colori ancor meglio le grandezze. Ma non riescono a

Edith ha i capelli più scuri di

risolvere un problema come questo, anche se posto per iscritto.

Lili. Edith ha i capelli più chiari di Susanna. Quale delle 3 ha i capelli più scuri? “

(slide 20) Veniamo ora alle operazioni di numerazione. Secondo Piaget le operazioni di

numerazione sono una costruzione spontanea del pensiero del b., ed il loro apprendimento è

influenzato solo in parte dagli insegnamenti ricevuti a scuola. Esse risultano dalla

coordinazione delle

strutture operatorie della classificazione e della seriazione.

(slide 21) Vediamo cosa si intende riflettendo insieme sulle caratteristiche del sistema numerico.

Il sistema numerico dell’algebra scalare possiede le seguenti proprietà: il primo è quello

dell’identità, cioè ogni simbolo numerico si distingue da tutti gli altri ed ha sempre lo stesso

significato indipendentemente dal contesto in cui appare. Prendiamo ad esempio i seguenti numeri:

3, 5, 7. ognuno è un elemento appartenente ad una classe distinta ed esprime quantità diverse.

Il secondo è quello dell’ordinamento per rango, ciò significa che dati due numeri diversi qualsiasi,

uno è necessariamente più grande e l’altro più piccolo. Ad es. il 5 è contemporaneamente più

grande di 3 e più piccolo di 7.

Il principio dell’ordinamento per rango delle differenze indica che le differenze fra due numeri

diversi (nonché le loro somme) vengono definite attrav