Particelle

Fisica delle particelle elementari

Introduzione

Gli scopi della fisica delle particelle elementari sono:

• Determinare la natura dei costituenti ultimi della materia (costituenti elementari) e delle radiazioni.
• Stabilire le leggi che regolano le interazioni e l'aggregazione di questi costituenti.

Le particelle elementari sono i costituenti ultimi della materia, infatti non presentano una struttura interna. La fisica delle particelle elementari è anche conosciuta come fisica delle alte energie perché, per rilevare la struttura interna delle particelle, è necessaria un'alta risoluzione spaziale ottenibile solo con particelle ad alta energia. Inoltre, molte particelle elementari hanno masse elevate e quindi per crearle è necessaria un'energia elevata.

Modello atomico di Thomson

Nel modello atomico di Thomson, l'atomo viene rappresentato come una sfera carica positivamente al cui interno ci sono gli elettroni distribuiti in maniera uniforme. Questo modello fu confutato da Rutherford perché, seguendo questo modello, a livello sperimentale si doveva ottenere una deviazione di piccoli angoli al massimo dalla propria traiettoria delle particelle alfa, il che non si verificava, in quanto esse venivano deflesse in ogni direzione, persino all'indietro.

Risultati dell'esperimento di Rutherford

• Quasi tutte le particelle attraversano l'atomo indisturbate.
• Un certo numero viene deviato di poco.
• Poche sono deviate di un angolo da 90° in su.

Da qui le deduzioni:

• L'atomo è per lo più vuoto.
• Le particelle che passano vicino a uno o più atomi vengono deviate di poco.
• Le particelle che passano vicino al nucleo (positivo) o lo centrano subiscono una grossa deviazione.

Introduzione alle particelle

Le particelle possono dividersi in due categorie:

• Fermioni: hanno spin semintero e obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac. Sono protone, elettrone, neutrone, neutrino e relative antiparticelle.
• Bosoni: hanno spin intero e obbediscono alla statistica di Bose-Einstein. Sono ad esempio la particella alfa che ha spin 0, il fotone che ha spin 1 e il mesone di Yukawa.

Bose-Einstein è la distribuzione statistica relativa agli stati energetici all'equilibrio termico di un sistema di bosoni, nell'ipotesi che siano identici e indistinguibili tra loro. La sua espressione è: \( n_i = \frac{g_i}{e^{\frac{\epsilon_i - \mu}{kT}} - 1} \) dove \( n_i \) è il numero medio di particelle nello stato i, \( g_i \) è la degenerazione dello stato i.

La funzione d'onda di un sistema di particelle identiche è antisimmetrica per lo scambio di due fermioni e simmetrica per lo scambio di due bosoni. È una conseguenza del principio di esclusione di Pauli.

Scoperta del neutrone

Vista l'incompatibilità delle conoscenze e degli esperimenti (un nucleo di azoto contiene 14 protoni e 7 elettroni e dovrebbe quindi essere un fermione, ma in realtà è un bosone) portarono a ipotizzare l'esistenza di un'altra particella: coppie di elettroni e neutroni possono combinarsi a formare una terza particella neutra e massa simile a quella del protone; il neutrone.

Reazioni nucleari e forza forte

A partire dal 1920 vennero studiate le prime reazioni nucleari bombardando nuclei di vario numero atomico Z con fasci di particelle alfa accelerate con le prime macchine acceleratrici. La scoperta del neutrone avvenne quando sperimentalmente bombardando un atomo con fasci di particelle, ciò che si otteneva era discordante con quello che si prevedeva. Tutto portava a pensare che il fascio con cui si bombardava il nucleo fosse di particelle neutre con massa simile a quella degli elettroni e non costituito da fotoni.

Da qui seguì l'ipotesi che il nucleo fosse costituito da A protoni e Z-A neutroni creando il problema su quale fosse la forza che mantenesse la stabilità dell'atomo: la forza che tiene insieme neutroni e protoni nel nucleo deve essere molto più forte di quella elettromagnetica che li farebbe allontanare tra loro. Non essendo una forza che fa parte dell'esperienza del mondo macroscopico, essa deve essere a corto range. Ora il modello dovrebbe spiegare l'intensità di questa forza, il suo corto range e il fatto che le forze tra protone-protone, elettrone-elettrone e neutrone-neutrone sono uguali.

Teoria della forza forte di Yukawa

• Il nucleo è immerso in un campo forte a corto range la cui interazione è mediata da quanti analoghi al fotone, ma con massa più grande che sia intermedia tra quella del protone e quella dell'elettrone: i mesoni.
• I quanti sono continuamente emessi e assorbiti mantenendo il nucleo stabile.
• Il potenziale di Yukawa è generato dalla sorgente della forza nucleare.

Per l'equivalenza delle interazioni protone-protone, elettrone-elettrone e neutrone-neutrone si scoprì che il bosone esiste in tre stati di carica elettrica: -1, 0 e 1. Yukawa predisse l'esistenza di una particella con massa tra i 100 e i 200 MeV che agisce come "collante" tra neutroni e protoni. Quindi protoni e neutroni sono tenuti insieme da questa continua emissione e assorbimento dei mesoni. La rilevazione delle particelle elementari si basa sulla loro interazione con la materia.

Raggi cosmici

Sono particelle e nuclei atomici ad alta energia che si muovono quasi alla velocità della luce e colpiscono la Terra da ogni direzione. Essi provengono dal cosmo e hanno origine sia galattica che extragalattica. I raggi cosmici primari sono costituiti per l'85% da protoni, per il 12% da particelle alfa e all'ingresso in atmosfera collidono con i nuclei di essa producendo un gran numero di particelle che a loro volta interagiscono e decadono in altre particelle.

La nuova particella

Essa non può essere né un protone né un elettrone perché non è associata a sciamielettromagnetici e ha massa compresa tra quella dell'elettrone e quella del protone. Questa nuova particella osservata è il muone (è il mesone μ) ed è sia di carica positiva che negativa. Essa, però, non era la particella di Yukawa e venne dimostrato successivamente la sua scoperta con degli esperimenti.

La particella di Yukawa, infatti, doveva sì essere una particella con massa intermedia tra quella dell'elettrone e quella del protone, ma il suo comportamento a fine percorso doveva essere molto diverso a seconda della sua carica:

• Le particelle positive dovevano perdere tutta la loro energia per poi fermarsi e decadere.
• Le particelle negative venivano catturate dagli atomi con una probabilità molto maggiore di quella di decadimento.

Con un esperimento ripetuto su più materiali, Conversi, Pancini e Piccioni portarono ad osservare come in materiali a basso numero atomico anche le particelle negative decadono e non vengono assorbite come previsto da Yukawa. Se ne dedusse quindi che non erano le particelle di Yukawa.

Scoperta del mesone π

Con una nuova tecnica di rilevazione nel 1947 vennero osservati il mesone μ e il mesone π. Le catene di decadimento sono:

• π⁺ → μ⁺ +ν
• π⁻ → μ⁻ + ν̅
• μ⁺ → e⁺ + ν + ν̅
• μ⁻ → e⁻ + ν̅ + ν

Il pione (mesone π) interagisce in maniera forte con i nuclei e trasforma i protoni in neutroni e viceversa. Essi sono le particelle di Yukawa ed essendo la forza di Yukawa una forza nucleare fondamentale se ne dedusse che il pione è una particella composita e se ne scoprì il suo partner neutro, il π⁰.

Elenco delle particelle note

Nozioni preliminari

Le particelle elementari sono il livello più profondo della struttura della materia. La loro fisica è correttamente descritta dalla meccanica quantistica non relativistica con l'equazione di Schrödinger. La fisica è non relativistica perché la velocità degli elettroni nella molecola o nell'atomo e dei protoni e dei neutroni nel nucleo è molto più piccola di quella della luce. I protoni e i neutroni contengono quark che hanno masse molto piccole e energia di riposo molto minore della loro energia cinetica e velocità prossima a quella della luce. La struttura dei nucleoni è descritta dalla meccanica quantistica relativistica.

Sorgenti delle particelle

Le sorgenti di queste particelle sono i raggi cosmici. Il prodotto delle collisioni o dei decadimenti sono queste particelle elementari che sono studiate nelle loro proprietà attraverso degli idonei rilevatori. Per comprenderne le loro interazioni con la materia è necessario conoscere come lavorano i rilevatori. È bene sottolineare di nuovo che per la produzione di queste nuove particelle siano necessarie energie molto alte.

Misurare energia, momento e massa

Vediamo ora come, nei differenti range di energia, misurare l'energia, il momento e la massa della particella: abbiamo detto che le particelle elementari in genere hanno velocità prossima a quella della luce.

Richiamiamo ora le trasformazioni di Lorentz per il passaggio da un sistema di riferimento ad un altro nel caso se ne prendano in considerazione due in moto relativo tra loro:

dove V è la velocità che un sistema ha nei confronti dell'altro. La configurazione sarebbe la seguente:

Trasformazioni di Lorentz

Prima di parlare delle trasformazioni di Lorentz, introduciamo il concetto di quadrivettore: un quadrivettore è definito da 4 componenti \( A=[a_0, a_1, a_2, a_3]=[a_0, \mathbf{a}] \). Nella metrica di Minkowski il prodotto tra due quadrivettori è:

e questo vale anche per il prodotto scalare di un quadrivettore per se stesso. Questi due parametri adimensionali sono detti fattori di Lorentz e ci dicono come collegare un vettore di uno dei due sistemi all'altro sistema (trasformazioni di Lorentz):

Ovviamente una particella che si muove con velocità c in uno dei due riferimenti si muoverà con tale velocità anche nel secondo sistema (c è invariante per trasformazioni di Lorentz). La norma corrisponde a:

Quadrivettore energia-momento

Le trasformazioni per il quadrivettore energia-momento sono:

La norma di questo quadrivettore è un invariante per trasformazioni di Lorentz ed è:

Questa espressione è la definizione di massa, valida solo per corpi liberi.

Relazione tra quantità di moto, energia e velocità

La relazione più generale tra la quantità di moto, l'energia e la velocità è:

Relazione valida sia per i corpi con massa nulla che con massa non nulla. In particolare, per le particelle con massa nulla si ottiene (corpo mai fermo):

La massa del fotone è esattamente zero, mentre i neutrini hanno massa non nulla ma molto piccola comparata a qualsiasi altra particella e la sua massa di solito viene trascurata. Se la massa è diversa da zero l'energia può essere scritta come:

e di conseguenza la quantità di moto in generale è:

dove \( mγ \) è la massa relativistica.

Definizione di massa per una particella libera

Partendo da (*) la definizione di massa per una particella libera è:

La massa è un invariante di Lorentz, indipendente dalla velocità. Per le particelle a massa nulla essa perde di significato. In generale, quindi, l'energia è la somma dell'energia di massa e dell'energia di moto:

Per un corpo fermo si ha solo energia di massa:

Per un corpo ultrarelativistico il contributo dell'energia di massa è molto piccolo.

Relazioni di Newton e forza

La relazione di Newton che definisce la forza come la derivata rispetto al tempo del momento risulta valida anche ad alte velocità, a condizione che esso sia espresso in termini di (**) mentre la relazione F=ma non risulta più corretta, infatti:

dove:

quindi:

Possiamo notare come la forza sia la somma di due termini: uno parallelo alla velocità e uno parallelo all'accelerazione. Non possiamo più definire la massa come il rapporto tra forza e accelerazione, alle alte velocità la massa non è l'inerzia del moto.

Accelerazione

Ricavo ora l'accelerazione:

Sostituendo nella terza equazione:

Dalla quale possiamo notare che l'accelerazione è la somma di un termine parallelo alla forza e uno parallelo alla velocità. Forza e accelerazione hanno la stessa direzione solo in due casi:

• $F=\mathrm{3m\gamma a}$ quando forza e velocità sono parallele.
• $F=\mathrm{m\gamma a}$ quando forza e velocità sono perpendicolari.

In generale, quindi, forza e accelerazione non sono parallele e non si può definire in maniera non ambigua la massa come inerzia del moto.

Particelle libere e interagenti

In un sistema le particelle possono essere libere, cioè tra loro c'è abbastanza distanza da poter trascurare le interazioni, o interagenti, come possono esserlo quark, nucleoni e elettroni in un atomo. Nel caso di particelle libere, prese n particelle, ognuna con momento ed energia la massa è:

dove possiamo vedere che la massa in generale non è la somma delle masse, ma dipende dalle direzioni relative della quantità di moto. Il quadrato della massa viene indicato con s:

Ovviamente s ≥ 0. Ricordiamo che la massa è sempre invariante. Se mi pongo nel centro di massa, dove si pone il momento totale pari a 0:

dove E^* è l'energia nel centro di massa. Qui possiamo vedere che la massa nel caso di particelle libere nel centro di massa è l'energia del sistema.

Sistema di due particelle non interagenti

Se consideriamo un sistema di due particelle non interagenti:

Sottolinea il fatto che la massa non sia la somma delle masse, anche se le particelle non interagiscono. La massa viene sempre conservata, anche nei fenomeni di urto sarà sempre la stessa nello stato iniziale e in quello finale, anche se, in generale, può verificarsi che le masse dei corpi presenti nel sistema non siano le stesse nello stato iniziale e in quello finale.

Due riferimenti

Nei due riferimenti ho rispettivamente:

• Laboratorio: una è ferma e funge da bersaglio mentre l'altra si muove e funge da proiettile.
• Centro di massa: P=0 (sistema di riposo), la massa del sistema è:

Massa di due fotoni

Se ad esempio consideriamo un sistema di due fotoni con la stessa energia E e quindi stessa quantità di moto \( p=E/c \) per il loro moto ho:

• Direzioni parallele con stesso verso: s = 2E, P = 0
• Direzioni parallele con versi opposti: s = 4E
• Direzioni diverse: 0 < s < 4E

La massa non è la misura della quantità di materia del sistema.