Particelle

La struttura V-A dell'interazione debole

L'esperimento di Madam Wu ha fornito evidenza che la struttura dell'interazione debole di corrente carica è del tipo V-A.

Frecce spesse = spin

Frecce sottili = direzione del moto

L'esperimento ha mostrato che gli elettroni preferiscono una direzione opposta a B (e, quindi, allo spin). La direzione degli antineutrini è opposta a quella degli elettroni (il nucleo decade da fermo). Quindi, lo spin dell'antineutrino è nella direzione della sua velocità.

Questo comportamento è comune a tutti i fermioni.

La struttura della corrente debole carica Vettoriale-Assiale (V-A) è determinata dagli esperimenti, ed è proprio questa struttura che dà conto della violazione della parità. Si può far vedere (usando le matrici γ) che l'operazione parità per corrente puramente assiale dà:

P P Pμ 0 0 k kj → -j j → j con k = 1, 2, 3 J → -j

A A A A Aμ A

La polarizzazione

L'elicità

La chiralità

Parliamo innanzitutto della polarizzazione: i due stati rappresentano la terza componente dello spin su un certo asse, per esempio la direzione del campo magnetico o del campo elettrico. Questo asse deve essere fisicamente definito. Per esempio, per φ, i due autostati della terza componente dello spin sono:

Passiamo adesso all'elicità: per una particella in moto, possiamo definire una direzione, quella della velocità, anche in assenza di un campo esterno. L'elicità è definita come la componente dello spin nella direzione della velocità. L'operatore elicità è: 1 σ⃗ ∙p⃗h= |p|2 dove p è il momento della particella. I due autovalori dell'elicità sono +1/2 se lo spin è nella direzione del moto, -1/2 se è opposta. Gli stati con elicità definita sono autostati della terza componente dello spin in quella direzione.

Gli autostati dell'elicità sono spinori a due componenti che descrivono una particella, un fermione o un antifermione. L'elicità è invariante per rotazioni (prodotto scalare), ma non è un invariante di Lorentz. Infatti, se applichiamo una trasformazione il segno del momento di una particella si inverte, quindi:

1 ⃗σ ∙p⃗⃗p → -p⃗ → h = -h} |p|2σ→σ

In generale l'elicità non è invariante di Lorentz. Se la particella è priva di massa, la velocità della particella è 1 e non c'è nessuna trasformazione di Lorentz tale da invertire la direzione del momento. Quindi, in questi casi, l'elicità è un invariante di Lorentz. D'altra parte, se la particella è massiva (come lo sono tutti i fermioni) l'elicità non è un invariante di Lorentz.

Infine analizziamo la chiralità: è una proprietà

degli spinori a quattro componenti. I due stati chirali sono autovalori di γ, con due possibili valori: +1 e -1. Gli stati +1 sono chiamati right (R), quelli -1 sono chiamati left (L). Ciascun bispinore corrisponde a una particella (con o senza massa) e può essere scritto come la somma di una componente Left e una Right: ψ = ψ_L + ψ_R con:
1 1
(1 )ψ (1 )ψ
ψ = - γψ = + γ_L 5 R 5
2 2
1̅ ̅ ̅ ̅(1 ) (1 )ψ = ψ + γψ = ψ - γ_L 5 R 5
2
L'importanza della chiralità è legata al suo ruolo nelle interazioni deboli di corrente carica; infatti, solo i bispinori Left sono coinvolti nell'interazione. Poiché γ commuta con l'Hamiltoniana per particelle prive di massa, la chiralità è un buon numero quantico solo in questo caso; a energie molto alte, è una condizione verificata per tutti i fermioni. In questo limite, i numeri di particelle Left e Right

Sono conservati separatamente. C'è una connessione fra chiralità ed elicità? Gli spinori a due componenti di una soluzione ψ dell'equazione di Dirac sono correlati: p∙σ p∙σϕ= χ χ= ϕE-m E+m Si può far vedere che gli stati chirali contengono combinazioni di φ e χ. Per lo stato left, ψ, si trova che la combinazione è φ-χ (e non φ+χ) e possiamo definire lo spinore left φ. Nel limite ultra-relativistico (E>>m), lo spinore left può essere espresso: 1 1 p∙σψ = (φ - χ) ≈ (1 - )ψL |p|2 2 dove l'elicità appare esplicitamente. Se ora proiettiamo lungo un asse z scelto lungo la direzione del moto, p, si può far vedere che fL = 0 per una particella con elicità positiva e φ ≠ 0 per una particella con elicità negativa. Quindi per una particella priva di massa con spin 1/2 lo stato Left chirale è

Anche uno stato di elicità negativa, cioè con lo spin diretto nella direzione opposta rispetto al moto della particella. Questo è approssimativamente vero per tutte le particelle ultra-relativistiche. Se m≠0, uno stato con chiralità definita ha entrambe le componenti dell’elicità. Consideriamo un processo elettromagnetico fra due leptoni (o due particelle cariche, in generale). A ciascuno dei due vertici, c’è l’interazione di una particella carica con il potenziale elettromagnetico (A). La costante di accoppiamento è la stessa in ogni caso, è universale. La struttura spazio-tempo della corrente elettromagnetica è vettoriale: μ√αA f γ fμ Questa è una interazione di corrente neutra (NC) perché a ciascun vertice la carica “dopo” è uguale alla carica “prima” dell’interazione. Quindi il fotone scambiato non è portatore di carica.

elettrica. + − + −e e → μ μPer abbiamo detto che il vertice accoppia un elettrone e un positrone solo per alcunecombinazioni degli spin, cioè se hanno elicità opposte. Infatti se supponiamo che le elicità siano entrambepositive (elettrone = fermione con chiralità positiva, positrone = antifermione con chiralità negativa e52γ =1): 1 + γ 1 + γ 1 + γ 1 − γ5 5 5 5̅ f̅ ̅f γ f = γ f = f γ f=0 conservazione dell′elicitàL μ R μ μ2 2 2 2Abbiamo quindi visto che: Solo le componenti lh chirali degli spinori di particelle e le componenti rh chirali degli spinori diantiparticelle partecipano all’interazione debole carica; A energie molto alte (E >> m) le componenti lh chirali sono autostati di elicità; Le particelle lh hanno elicità -1 e le antiparticelle rh hanno elicità +1. Quindi, nel limiteultrarelativistico solo

particelle lh e antiparticelle rh partecipano all'interazione debole carica;

Nel limite ultrarelativistico, le uniche interazione possibili elettrone-neutrino sono:CORRENTE DEBOLE CARICA

La conclusione che abbiamo appena ottenuto è che la struttura spazio-tempo della corrente carica±dell'interazione debole è V-A. I processi CC sono mediati da W , che portano carica sia elettromagnetica chedebole. A ciascun vertice, la carica elettrica della particella uscente è diversa da quella entrante, la±differenza è "presa" dal W .

La stessa cosa accade per l'interazione debole: la carica debole della particella uscente è diversa da quella±entrante; la differenza è "presa" dal W . La corrente carica dell'interazione debole è mediata da due bosoni±carichi (W ) e perciò gli stati iniziali e finali sono diversi. L'espressione dell'interazione V-A corrispondente

La chiralità dei leptoni entrante e uscente è la stessa.

L'elicità del neutrino fu misurata da M. Goldhaber, L. Grodznis e A. Sunyar a Brookhaven National Laboratory (BNL) nel 1958. Descriviamo ora nei suoi passaggi logici l'esperimento che portò appunto alla misura dell'elicità. I concetti da tenere a mente sono:

• I neutrini, essendo privi di massa (quasi) possono stare in uno stato di pura elicità (± 1)
• Per misurare l'elicità del neutrino è necessario trovare un processo nel quale il neutrino trasmetta la sua elicità a un fotone, la cui polarizzazione può essere rivelata
• Primo step dell'esperimento: emissione risonante e assorbimento di γ da nuclei. Per essere in risonanza i γ devono avere l'energia giusta; questo non può accadere se il nucleo eccitato è fermo. Inoltre, la risonanza avviene