Particella in una scatola

Particella in una scatola

Il sistema noto come particella in una scatola è costituito da un corpo, dotato di massa, che si muove in una regione limitata di spazio (scatola), all'interno della quale non è sottoposto a nessuna forza, ossia è libero, ma non oltrepassa i confini della suddetta regione (pareti). Da queste premesse ricaviamo immediatamente due conclusioni:

• L'energia potenziale all'interno della scatola è costante;
• L'energia potenziale ai confini della scatola è infinita.

Giustificazione delle condizioni

Diamo una giustificazione delle condizioni 1) e 2). Assumiamo per semplificare il discorso che la particella si muova solo lungo l'asse x, in una regione di spazio di lunghezza L. L'estensione a più dimensioni è semplice e verrà mostrata più avanti.

Sappiamo dalla fisica che esistono due forme di energia meccanica: l'energia cinetica (T) e l'energia potenziale (U). La loro somma è detta energia totale: E = T + U. La forma generale dell'energia cinetica per un corpo è data da: \( T = \frac{1}{2} mv^2 \), dove m è la massa del corpo e v la sua velocità. L'energia potenziale non ha una forma standard, ma dipende dal particolare sistema che si considera. Dai corsi di fisica sappiamo però che essa dipende dalla posizione del corpo, anziché dalla velocità, ed è correlata alla forza dalla formula:

\(\frac{dU(x)}{dx} = F(x)\) (1)

Ora, poiché come si è detto, la particella è libera all'interno della scatola in quanto non è sottoposta a nessuna forza (F = 0), applicando la (1) si può scrivere:

\(\frac{dU(x)}{dx} = 0\) (2)

Da questa equazione si ricava immediatamente che la funzione potenziale deve essere una costante, in quanto solo la derivata di una costante è nulla. Se indichiamo questa costante con \( U_0 \), possiamo scrivere:

\( U(x) = U_0 \) (3)

Ma si può andare oltre. Poiché matematicamente \( U_0 \) è una costante arbitraria, possiamo assumerla convenientemente pari a zero: \( U_0 = 0 \). Pertanto, l'energia della particella all'interno della scatola sarà solo cinetica e coinciderà con E = T + U = T.

La particella però, essendo confinata nella scatola, non può attraversare le pareti, ma urta contro di esse e l'azione inverte il suo moto muovendosi avanti e indietro. Quando urta contro le pareti subisce quindi una forza repulsiva che la fa rimbalzare. Per cui, se esiste una forza repulsiva nei punti 0 ed L dove si ha inversione del moto, dalla (1) sappiamo che deve essere infinita per impedire il passaggio della particella.