Particella in una scatola

Punti contigui in cui la funzione oscillante è zero

In questo caso si può quindi scrivere L = λ/2, dove λ è la lunghezza d'onda, per cui L = 2λ.

Nella seconda figura si vede che la lunghezza della scatola è pari a una lunghezza d'onda, per cui L = λ.

Nella terza figura L è pari a due volte e mezza la lunghezza d'onda, per cui L = 2.5λ.

Nell'ultima figura la lunghezza della scatola è pari a due lunghezze d'onda, per cui L = 2λ.

In generale, possiamo estendere le formule precedenti ad un numero arbitrario di oscillazioni. Si ottiene: L = nλ, dove n è un numero intero che assume i valori 1, 2, 3, ecc.

Sostituendo ora nella formula h = 2L/n data dalla formula h = λ/n ed elevando al quadrato, otteniamo: h^2 = (2L/n)^2.

E ancora, sostituendo p dalla formula p = 2π/L: h^2 = (2L/n)^2 = (2π/n)^2.

Da cui si può rapidamente ottenere h^2 = (8π^2mE)/(n^2).

L'energia totale della particella è data da: 2h = 2En(11)n28mL. L'indice (11) rappresenta il risultato finale della nostra trattazione. Si noti che abbiamo aggiunto n all'energia per enfatizzare la dipendenza di quest'ultima dai numeri interi. La (11) mostra, infatti, che l'energia totale della particella nella scatola 2 è quantizzata, ossia E è pari ad un multiplo intero (n) di una quantità fissa. Solo i valori per cui n è intero sono ammessi. Ad esempio, la (11) è valida per n = 2 o 3, ma non per n = 2.5. I valori della (11), corrispondenti ai vari valori di n, sono detti livelli di energia della particella e n è detto numero quantico. L'estensione ad una particella che si muove lungo i tre assi è immediata. Se indichiamo con Lx, Ly e Lz i lati di una scatola tridimensionale, l'energia totale sarà data, in base alla (11), da: 2h = h^2/Lx^2 + h^2/Ly^2 + h^2/Lz^2.