Parti 4 e 5, Analisi matematica I

Funzione potenza e monotonia

La funzione potenza è espressa come y = f(x) = xⁿ con n numero reale. Sappiamo che questa funzione significa x = x × x × x .... Quando x è ≥ 0, la funzione potenza è strettamente monotòna crescente.

Verifica della monotonia crescente

• Si deve dimostrare che 1ⁿ × 2ⁿ.
• x < x^1/2 implica x < x.

Verifichiamo per n = 2:

• 0 < x < x^1/2
• x < x, essendo x^1/2 > 0. Moltiplicando i due membri per x, si ha: x × x < x × x → x < x².

In modo analogo, moltiplicando per x (positivo per ipotesi) i due membri si ha: x × x < x².

Dal confronto si ha che x < x²

Estensione a esponenti razionali

Se n = e, si ha: x^1/3 × x^1/2 < x^1/3 × x^1/2 = x.

Quindi per intuizione si può dire che se 0 < x < x, allora x < x; la funzione potenza è strettamente monotòna crescente se x ≥ 0.

Essendo strettamente monotòna (se x ≥ 0), la funzione potenza è invertibile e la sua inversa è l'estrazione di radice n-esima:

• y = f(x) = xⁿ → x = f^-1(y) = y^1/n

In generale, ritornando al significato di x come variabile indipendente e y come variabile dipendente, la funzione precedente di estrazione di radice n-esima si nota come:

• y = f(x) = √x = x^1/n

Estensione a esponenti irrazionali

Dalle due definizioni precedenti di funzione potenza (con x ≥ 0), si può estendere il significato di potenza al caso in cui l'esponente sia un qualunque numero razionale.

Esempio:

• y = f(x) = x^m/n = √_nx^m = (xⁿ)^m/n = √_nx^m con x = 1/√_nx

Se riesco ad estendere il concetto di potenza da un numero reale ad un numero razionale qualunque, allora (se x ≥ 0) si è dato significato alla scrittura a^b anche al caso in cui b sia un numero razionale.

Ricordando che l'insieme R dei numeri reali è completo, è naturale estendere la nozione di potenza anche quando b è un numero irrazionale (√2; √3; ...).

Proprietà della funzione potenza

• a^b × a^c = a^b+c
• a^b / a^c = a^b-c
• (a^b)^c = a^b*c
• a⁰ = 1
• a^b > 0 sempre per a > 0
• Se b < c, allora a^b < a^c per a > 1
• Se b > c, allora a^b > a^c per 0 < a < 1

La scrittura a^b ha sempre senso se a > 0 e b è un qualunque numero reale. In termini di funzione:

1. Se a è variabile e b è fisso → Funzione potenza y = f(x) = x^b
2. Se a è fisso e b varia → Funzione esponenziale y = f(x) = a^x