Nei calcoli gli errori si propagano

Propagazione degli errori nei calcoli

Molto spesso i dati ottenuti dalle operazioni di misura devono essere elaborati per ottenere ulteriori dati. Vediamo ora come l’incertezza delle misure si propaga nei calcoli, cioè come si deve esprimere l’incertezza del valore di una grandezza che è stata calcolata e non misurata direttamente.

Addizioni e sottrazioni

Supponiamo di pesare con una bilancia (sensibilità 0,1 g) una certa quantità di sale e di ottenere m = (25,3 ± 0,1) g. Successivamente pesiamo, con la stessa bilancia, un’altra quantità di sale e otteniamo m = (38,5 ± 0,1) g. Qual è la massa totale del sale?

La risposta è elementare, basta eseguire un’addizione:

m = 25,3 g + 38,5 g = 63,8 g

Ma qual è l’incertezza connessa a questo risultato?

Tenendo conto dell’incertezza delle misure possiamo trovare la risposta calcolando il valore massimo e quello minimo della somma; per quello massimo scriveremo:

m_max = 25,4 g + 38,6 g = 64,0 g

mentre il valore minimo della somma è il seguente:

m_min = 25,2 g + 38,4 g = 63,6 g

Pertanto la massa totale del sale deve essere compresa tra 64,0 g e 63,6 g; l'intervallo di incertezza è 0,4 g, per cui possiamo esprimere il valore della massa nel modo seguente: m = (63,8 ± 0,2) g. L’errore assoluto della massa totale (0,02 g) corrisponde alla somma degli errori assoluti (0,01 g) dei singoli dati.

A questa stessa conclusione si giunge anche nel caso di una sottrazione per cui possiamo enunciare una regola di carattere generale:

Quando si sommano o si sottraggono dati sperimentali, l’errore assoluto del risultato è uguale alla somma degli errori assoluti dei dati di partenza.

Moltiplicazioni e divisioni

Vogliamo determinare l’area della superficie di un tavolo a forma rettangolare; a questo scopo, misuriamo anzitutto la lunghezza dei due lati del tavolo, per esempio con un righello che ha la portata di 1 m e la sensibilità di 1 mm:

• Larghezza del tavolo l = (0,570 ± 0,001) m
• Lunghezza del tavolo l = (1,054 ± 0,002) m

L’incertezza assoluta della lunghezza del tavolo è 0,002 m, poiché questa misura, essendo maggiore di 1 m, che è la portata dello strumento, è stata ottenuta sommando due lunghezze consecutive, con il risultato di sommare, come abbiamo appena visto, anche le due incertezze.

Come prima cosa, calcoliamo l’area moltiplicando i dati iniziali di larghezza e di lunghezza:

A = (0,570 m · 1,054 m) = 0,60078 m²

Per calcolare l’errore assoluto di questo valore occorre tener conto della seguente regola di carattere generale, valida purché le incertezze relative siano abbastanza piccole:

Per calcolare l’errore assoluto del risultato di una moltiplicazione o di una divisione tra misure, si devono sommare gli errori relativi dei dati e moltiplicare questo numero per il risultato della moltiplicazione o della divisione.