Mutua Induzione

Mutua induzione

Φ_S1(↵_B1) = L₁I₁

Φ_S2(↵_B2) = L₂I₂

Se sono lontani tra loro non succede nulla, ma se li avviciniamo:

Φ_S1(↵^') = Φ_S1(↵¹ + ↵₂^') = Φ_S1(↵₁^') + Φ_S1(↵₂^') == L₁I₁ + ∫_S1 [ ∫_χ (μ₀/4π) I₂ dl x ↵₂^–/r₂² ] _m ds₁ == L₁I₁ + M_2,1 I₂

Φ_S2 = Φ_S2(↵₁^') + Φ_S2(↵₂^') == ∫ [ ∫(μ₀/4π) I₁ dl₁ x ↵₂^–/r₂² ] _m ds₂ += L₂I₂

Se il materiale è lo stesso l'integrale si potrebbe generalizzare (scambiando le I)

∫_Si [ ∫_χj (μ₀/4π) dl x ↵

Posso escludere gli indici e ottenere che gli integrali sono uguali.

Mutua induzione

φ_S1(B¹) = L₁I₁

φ_S2(B²) = L₂I₂

Se sono lontani tra loro non succede nulla, ma se li avviciniamo:

φ_S1(B^r) = φ_S1(B¹ + B²) = φ_S1(B¹) + φ_S1(B²) == L₁I₁ + ∫_S1 [ ∮ φ μ_o4π I₂ dℓ × r²_r² ] m̂ dS₁ == L₁I₁ + M₂₁I₂

φ_S2 = φ_S2(B¹) + φ_S2(B²) = ∫_S2 [ ∮ φ μ_o4π I₁ dℓ' × r²_r² ] m̂ dS₂ ++ L₂I₂

Se il materiale è lo stesso l'integrale è protubile generalizzazione (concludo le I)

∫_Si [ ∮ φ μ_B4π dℓ' × r²_r² ] M̂_i dS_i

Posso esaurire gli indici e ottenere che gli integrali sono uguali.

ϕ_S₁(^→B_₁) = L₁I₁ + M_₂₁I₂

ϕ_S₂(^→B_₂) = L₂I₂ + M_₁₂I₁

M_₂₁ = M_₁₂ = M coeff. di mutua induzione (puó essere ≥ 0 e ricorda di (come orienti L)).

Esercizio (rifasatura)

Rifaso con un condensatore C --> cosϕ = 11/Z = 1/jωL + R + 1/jωC = 1/R + jωL + jωC ⋅ 1 + jωRC - ω²LC/R + jωL la fase del NUM = DEN

ϕ(1/Z) = ϕ_NUM - ϕ_DEN (fase puramente 0)

ϕ_NUM - ϕ_DEN = 0 ==> ϕ_NUM = ϕ_DEN

arctg ωRC/1 - ω²LC = arctg ωL/R

ωRC/1 - ω²LC = ωL/R

RC/1 - ω²LC = L/R

CR² = L/1 - ω²LC

CR + ω²L²C = LC = L/R²ω²

Sostituendo:

P_diss = 400W

V_eff = 200V

I_eff = 2,5A

ω = 300rad/s

cosϕ = 0,8

C = 25μF

Unità senza rifasatura

Esercizio mutua induzione

(Un solenoide dentro l'altro)

B = μ₀nI

L₁ = N_S1B₁ = m₁l_S1μ₀n_S1I₁ = μ₀n²l₁S₁

L₂ = μ₀n²l₂S₂

M_2,1 = ϕ₁(B₁²) / I₂ = S₂m₁l₂μ₀n₂I₂ / I₂ = μ₀m₁m₂l₁S₂ (Volume dove c'è il campo)

M_1,2 = ϕ₁(B_1'²) / I₁ = m₂S₂l₂μ₀m₁I₁ / I₁ = μ₀m₁m₂l₁S₂ (Tutto il solenoide è immerso in B₁²)

B₂ = μ₀m₂I

B₂ = 0 -> fuori da S₂

M_1,2 = M_2,1

ϕ_S(B_1'²) = M_1,2I₁

M_1,2 = M_2,1

Se R₁ < R₂ il campo al centro è costante:

ϕ_S1(B₂²) = πR₁²μ₀I₂ / 2R₂

M_2,1 = M_1,2 = ϕ_S1(B₂) / I₂ = πR₁²μ₀ / 2R₂

Um = ½ L I²

F₁ = R₁I₁ - f_IND

F₂ + f_IND = R₂I₂

f_IND = -d/dt (Φ₁_B + Φ₂_B) = -L₁dI₁/dt - MdI₂/dt

f_IND = -L₂dI₂/dt - MdI₁/dt

Se i due circuiti fossero molto lontani M = 0 si può trascurare.

f₁ = R₁I₁ + L₁dI₁/dt + MdI₂/dt

f₂ = R₂I₂ + L₂dI₂/dt + MdI₁/dt

f₁I₁ + f₂I₂ = R₁I₁² + R₂I₂² + L₁I₁dI₁/dt + L₂I₂dI₂/dt + MdI₁I₂/dt

d(½ L₁I₁²)/dt = ½ L₁ 2I dI/dt

M(I₁dI₂/dt + I₂dI₁/dt) = I(d(I₁I₂))/dt

f₁I₁ + f₂I₂ = R₁I₁² + R₂I₂² + d(½ LI₁² + ½ LI₂² + MI₁I₂)

P_GEN = P_RES + dUm/dt

U_m = ¹⁄₂ L₁I₁² + ¹⁄₂ L₂I₂² + M I₂I₁,

L > 0   M ≥ 0   se le spire sono concordi M > 0 se le spire sono opposte M < 0

Avvicinando i due circuiti U_m aumenta o diminuisce

Φ_S(B)

Φ_S2(B) = 2 Φ_S(B)

Φ_NS(B) = N Φ_S(B)

f_ind = -   d Φ_c(B)   → Aumentando le dt   spire aumenta f_ind

Applicazione pratica: Trasformatore

Due solenoidi uguali, uno dentro l’altro, in modo da avere il max flusso dell’uno dentro il circuito dell’altro.

m₁, l₁, S₁, m₂, l₂, S₂

B = μ₀ n I (Solenoide)

Per aumentare B prendo una sostanza ferromagnetica.

B = μ n I ↑ Ferromagnetico   μ_r > 100

Calcoliamo L₁, L₂, M:

L₁ =   Φ₁(B₁⁄I₁) = (m₁ l) S μ m₁ I₁   =   m₂ μ l SI₁ I₁

Φ₂(B₂ ⁄ I₂) = (m₂ l) S μ m₂ I₂   =   m₂ μ l SI₂ I₂

M = _{(m q) S un2 I2} = m_mm₂MSM = _m2L1 L₁ ∝m₁²

M = _m1L2

Come è fatto un trasformatore?

• Avvolgimento Primario
• Avvolgimento Secondario

{F(t) + F_ind(t) = 0 I₁ = 0 {F_ind(t) = R I₂(t)

F_1ind = L₁ dI_1dt - M dI_2dt

F_2nd = -L₂ dI_2dt - M dI_1dt

{F = JwL₁I₁ - Jw MI₂ {R₂I₂ = -JwL₂I₂ - JwMI₁ → (JwL₁I₁ + JwMI₂ = fJwMI₁ + (R₂JwL₂) - I₂ = 0 → {I₁ = R + JwL₂ F {I₂ = -JwM F _R2