Mutua posizione tra due rette

Mutua posizione tra due rette

Matrice rispetto alla base canonica, nucleo e immagine

Mutua posizione tra due rette

Matrice rispetto alla base canonica, nucleo e immagine

1) Mutua posizione tra due rette e piano perpendicolare

Si considerino il piano _α : x - y + z = 0 e le rette r : 2x - z = y + 2z - 1 = 0 ed s : x = 2y - z - 1 = 0. Trovare la mutua posizione delle rette r ed s. Determinare il piano passante per r e perpendicolare ad α.

Consideriamo il sistema

{2x - z = 0
y + 2z - 1 = 0
x = 0
2y - z - 1 = 0}

La cui matrice associata è

(A,b) =

Ora poiché rgA = 3 mentre rg(A,b) = 4 si ha che le due rette sono sghembe.

Sia π_k : 2x - z + k(y + 2z - 1) = 0 un generico piano per r.

π_k : 2x - ky - (2k - 1)z - k = 0

Si ha

π_k ⊥ α ↔ n_0,πk ⊥ n_α

Con n_0,πk(2,k,2k - 1) e n_0,α(1,-1,1).

n_πk ⊥ n_α ↔ n_πk · n_α = 0 ↔ 2 - k + 2k - 1 = 0 ↔ k = -1

Da cui π : 2x - y - 3z + 1 = 0.

2) Matrice rispetto alla base canonica, nucleo e immagine

Si consideri l'applicazione lineare

f_k : R³ -> R³,   f_k((x,y,z)) = (ky - 2z, kx + kz, -2x + ky)

Definita per ogni k ∈ R. Si trovi la matrice di f_k rispetto alla base canonica e si trovi nucleo e immagine di f_k. Si trovino autovalori di f e si dica se f è semplice.

Consideriamo la matrice A_k associata all'endomorfismo f_k

A_k =

det A_k = -4k² da cui per k ≠ 0 si ha: rgA_k = 3 = dim Im f_k ossia Im f_k = R³ e di conseguenza, per il teorema del rango, ker f_k = {(0,0,0)}.

Sia ora k = 0

A₀ =

rgA₀ = 2 = dim Im f₀ e Im f₀ = L((0,0,-2),(-2,0,0)).