Mutua posizione tra due rette

Mutua posizione tra due rette

Matrice rispetto alla base canonica, nucleo e immagine

Mutua posizione tra due rette

Matrice rispetto alla base canonica, nucleo e immagine

1) Si considerino il piano α: x-y+z=0 e le rette r: 2x-z=0 e s: x=2y-z-1=0. Trovare la mutua posizione delle rette r ed s. Determinare il piano passante per r e perpendicolare ad α.

Consideriamo il sistema

{

  2x-z=0

  y+2z-1=0

  x=0

  2y-z-1=0

}

la cui matrice associata è

(A,b) = (

  2   0  -1  0

  0   1   2  1

  1   0   0  0

  0   2  -1  1

)

Ora poiché rg A = 3 mentre rg (A, b) = 4 si ha che le due rette sono sghembe.

Sia π_k: 2x - z + k(y + 2z - 1) = 0 un generico piano per r.

π_k: 2x + ky - (2k - 1)z - k = 0

Si ha

π_k ⊥ α ⇔ n_πk ⊥ n_α

con n_πk(2, k, 2k - 1) e n_α(1, -1, 1).

n_πk ⊥ n_α ⇔ n_πk · n_α = 0 ⇔ 2 - k + 2k - 1 = 0 ⇔ k = -1

da cui π: 2x - y - 3z + 1 = 0.

2) Si consideri l'applicazione lineare

f_k: ℝ³ → ℝ³, f_k((x, y, z)) = (ky - 2z, kx + kz, -2x + ky)

definita per ogni k ∈ ℝ. Si trovi la matrice di f_k rispetto alla base canonica e si trovi nucleo e immagine di f_k. Si trovino autovalori di f e si dica se f è semplice.

Consideriamo la matrice A_k associata all'endomorfismo f_k

A_k = ( ( 0 k -2 ) ( k 0 k ) (-2 k 0 ))

det A_k = -4k² da cui per k ≠ 0 si ha: rg A_k = 3 = dim Im f_k ossia Im f_k = ℝ³ e di conseguenza, per il teorema del rango, ker f_k = {₀}.

Sia ora k = 0

A₀ = ( ( 0 0 -2 ) ( 0 0 0 ) (-2 0 0 ))

rg A₀ = 2 = dim Im f₀ e Im f₀ = L((0, 0, -2), (-2, 0, 0)).