Modelli demografici - Appunti

MODELLI DEMOGRAFICI PER ASSICURAZIONI E

IMPRESE.

1: TASSI E METODI DI STANDARDIZZAZIONE.

1.1: I TASSI GENERICI.

I fenomeni di movimento e i dati di stato possono essere messi in relazione per valutare l’intensità

con cui i primi si verificano nella popolazione. Con questa procedura si costruiscono i cosiddetti tassi.

I tassi ci informano sull’intensità media per abitante con cui si presenta un dato evento

nell’intervallo temporale analizzato.

Se indichiamo, riferendoci ad un intervallo di tempo (individuabile in genere con 1 anno), con:

 : .

la popolazione media nell’anno

 : .

le nascite nell’anno

 : .

le morti nell’anno

 : .

le immigrazioni nell’anno

 : .

le emigrazioni nell’anno

Possiamo costruire i cosiddetti tassi generici:

 = ∙

Tasso di natalità:

 = ∙

Tasso di mortalità:

 = ∙

Tasso di immigratorietà:

 = ∙

Tasso di emigratorietà:

= =

Dove costante che indica l’ammontare di individui cui il tasso di riferisce. Ad esempio, con

1000, 1000

che è il valore solitamente usato, il tasso di natalità indica le nascite ogni abitanti.

()

(NB: dovremmo aggiungere anche un indice temporale per indicare l’anno considerato per la

rilevazione, ma per non appesantire la notazione lo tralasceremo, e continueremo in questo modo

anche in seguito).

Quindi, ad esempio, il tasso di natalità misura l’incidenza della natalità su una popolazione al netto

della sua dimensione, e così via con gli altri tassi.

 Vantaggi: sono indici di sintesi, utilizzabili per effettuare veloci comparazioni tra più

popolazioni nel loro complesso.

 Svantaggi: risentono dell’effetto struttura, ovvero sono influenzati dalle caratteristiche della

popolazione in esame. Ad esempio, in riferimento al tasso di mortalità, una sua riduzione

potrebbe essere provocata sia da un miglioramento delle condizioni di vita che da un

aumento della popolazione totale. I tassi generici possono quindi rivelarsi non adatti ad

indagare la natura del fenomeno considerato.

1.2: I TASSI SPECIFICI.

I tassi specifici sono calcolati su specifici sottoinsiemi della popolazione (sottoinsiemi che possono

essere costruiti con qualsiasi criterio demografico: età, sesso, stato civile, livello di istruzione,

nazionalità, ecc.).

= =

Se carattere discriminante per il sottoinsieme della popolazione (ad esempio femmine,

= [50,50 + ] 50 50 +

oppure che comprende tutti gli individui di età compresa tra e anni)

allora i tassi specifici si costruiscono come segue:



= ∙

Tasso specifico di natalità:



= ∙

Tasso specifico di mortalità:



= ∙

Tasso specifico di immigratorietà:



= ∙

Tasso specifico di emigratorietà:

Vale la seguente relazione tra tassi generici e specifici:

−1

∑ ∙

=0

=

 −1

∑

=0

Dove indica un tasso generico qualsiasi, e indica la struttura per età della popolazione, dove

è un’età che nessun elemento della popolazione è in grado di raggiungere.

La relazione di cui sopra indica che il tasso generico coincide con la media aritmetica ponderata

dei tassi specifici per età con pesi pari ai valori della popolazione per ogni classe.

Quando il carattere può assumere numerose differenti modalità (l’esempio più intuitivo è quello

dell’età) è utile raggruppare gli individui in classi, in modo tale da evitare di ridurre eccessivamente

= 100

la fruibilità dei dati (ad esempio con si dovrebbero considerare 100 differenti classi e

= 0,1, … ,99.

altrettanti tassi specifici, poiché In questo caso è necessario raggruppare le modalità

in classi, così da ridurre il numero di tassi specifici da analizzare. Ad esempio si possono usare classi

0 − 9, 10 − 19, 20 − 29,

decennali ecc.).

 Vantaggi: permettono un’analisi più dettagliata della popolazione rispetto ai tassi generici,

andando a considerare separatamente i sottoinsiemi della popolazione.

 Svantaggi: risentono comunque dell’effetto struttura, anche se in maniera ridotta rispetto

ai tassi generici.

1.3: I TASSI GENERICI STANDARDIZZATI.

I tassi generici standardizzati vengono usati per risolvere il problema dell’effetto struttura per età.

La popolazione standard può essere individuata in 2 modi:

 Standardizzazione diretta (metodo della popolazione tipo): la standardizzazione diretta

prevede l’individuazione di una popolazione tipo (standard) da utilizzare per il calcolo di tutti

,

i tassi generici desiderati. Prendiamo ad esempio 2 diverse popolazioni e di cui vogliamo

.

effettuare un confronto, e una popolazione standard In questo caso, i tassi generici delle

,

2 popolazioni e sarebbero:

−1 −1

∑ ∑

∙ ∙

=0 =0

= =



−1 −1

∑

∑

=0

=0

Tuttavia, come già detto, un eventuale confronto tra questi 2 tassi risentirebbe dell’effetto

struttura e potrebbe generare conclusioni fuorvianti. Per aggirare il problema, si calcolano i

tassi generici come segue:

−1 −1

∑ ∑

∙ ∙

∗ ∗

=0 =0

= =



−1 −1

∑ ∑

=0 =0

Dove è la popolazione standard. I tassi formulati in questa maniera sono tassi generici

standardizzati. Il calcolo dei tassi generici standardizzati tramite standardizzazione diretta

richiede la conoscenza dei tassi specifici di tutte le popolazioni.

 Standardizzazione indiretta (metodo dei coefficienti tipo): in questo caso la popolazione

standard non è usata direttamente per calcolare i tassi, ma ne vengono usati i tassi specifici

per età. Così facendo, i tassi standardizzati vengono calcolati come segue:

−1

∑ ∙

∗

=0

= =

 −1 ∗

∑ ∙

=0

,

Dove indica, ad esempio, il numero di morti (o di nascite, ecc.) della popolazione

∗

mentre indica il numero ipotetico di morti (o di nascite, ecc.) della popolazione nel

caso quest’ultima avesse subito la mortalità della popolazione standard. A differenza del

caso precedente, la standardizzazione indiretta permette di confrontare 2 o più popolazioni

senza la necessità di disporre dei tassi specifici per età di ognuna.

La scelta della popolazione tipo deve seguire generalmente sempre lo stesso criterio, ovvero deve

avere una struttura per età che sia intermedia rispetto alle strutture delle popolazioni che vogliamo

confrontare. Solitamente una popolazione tipo adeguata è data dalla popolazione complessiva,

ovvero dalla somma delle popolazioni confrontate.

La popolazione tipo scelta può influenzare molto i risultati, tanto che a volte sceglierne una piuttosto

che un’altra permette di manipolare i risultati. Distorsioni di questo tipo sono assenti quando la

popolazione tipo è intermedia, per cui è sempre buona abitudine controllare la popolazione

standard utilizzata, quando ci vengono presentati dei tassi standardizzati.

1.4: I TASSI DI MORTALITA’ CONTINUI.

Finora abbiamo trattato i tassi generici e specifici come variabili discrete. Nulla vieta di raffinare

l’analisi adottando un’ottica di tipo continuo.

Il tasso di mortalità specifico espresso in forma continua è detto forza di mortalità e può essere

ricavato come segue: ′

− ln

( )

,+∆ ,+∆

= lim = = =

 ∆∙ ∆∙

∆→0

Concludiamo riportando le relazioni tra forza di mortalità e probabilità di morte discrete:

] )

≅ 1 − exp[− ] = 1 − exp[− ≅ − ln(1 − =

 +0,5 +0,5

Quindi il tasso specifico della tavola di mortalità (ovvero il tasso centrale della tavola di mortalità) è

una buona stima della forza di mortalità a metà intervallo. In generale, quando si lavora su classi di

età annuali, si possono usare indifferentemente tasso, probabilità o forza di mortalità e,

indipendentemente dalla lunghezza dell’intervallo, quando è nota una di queste misure, le

equazioni di cui sopra permettono di calcolare le altre 2.

2: DIAGRAMMI DI LEXIS.

2.1: COSTRUZIONE GRAFICA DEL DIAGRAMMA DI LEXIS.

Il diagramma di Lexis è uno schema grafico usato per rappresentare visivamente alcuni fenomeni

demografici di una popolazione.

La costruzione grafica è molto semplice: si usa infatti un riferimento ad assi cartesiani in cui

 Sull'asse delle ascisse viene riportato lo scorrere del tempo (in anni di calendario)

 Sull'asse delle ordinate viene riportata l'età (in anni compiuti).

Ogni punto del grafico viene quindi a rappresentare un istante della vita di un individuo, definito

secondo l'età (ordinate) e la data (ascisse).

Fondamentale per la costruzione dello schema è che ascisse e ordinate abbiano la stessa unità di

misura (solitamente: un anno di calendario e un anno di età); in questo modo, tracciando rette

parallele agli assi in corrispondenza dei segni di graduazione, si verrà a formare una griglia di

quadrati.

Su questo grafico di base vengono quindi indicati gli eventi demografici oggetto di studio relativi ad

ogni singolo individuo tramite linee rette parallele (linee di vita) alla bisettrice crescente dei

quadrati (inclinate, cioè di 45° rispetto all'asse delle ascisse).

Inizio e termine delle rette vengono così stabiliti:

 La retta inizia nel punto corrispondente all'istante in cui l'individuo comincia ad essere a

rischio di subire l'evento demografico oggetto di studio.

 La retta termina nel punto corrispondente all'istante in cui l'individuo subisce l'evento

demografico oggetto di studio: tale punto viene anche detto punto-evento.

Ad esempio: nel caso di uno studio di mortalità, una qualsiasi retta inizia nell'istante della nascita

(inizio del rischio di morte) e termina nell'istante del decesso; nel caso di uno studio di nuzialità la

retta inizierà invece al sedicesimo compleanno (data convenzionalmente indicata come data

minima legale per sposarsi) e terminerà nel giorno della cerimonia nuziale.

Per le caratteristiche sopraindicate il diagramma di Lexis si presta a visualizzare solo fenomeni

demografici non rinnovabili, che si possono cioè presentare una sola volta nella vita di un individuo.

In genere, si utilizzano 2 termini per descrivere i possibili raggruppamenti di individui osservabili in

un diagramma di Lexis:

 Coorte: la coorte è un gruppo di persone che sperimentano un certo evento nello stesso

periodo di tempo.

 Generazione: la generazione è una coorte di persone nate nello stesso anno (l’evento

comune a tutti gli individui è la nascita nello stesso periodo).

Vediamo alcuni esempi:

Nel diagramma di sinistra si possono osservare 7 linee di vita di individui nati nel 1997. Nel

diagramma di destra le linee sono accorpate in un unico parallelogramma, che idealmente

rappresenta la generazione dei nati nel 1997.

Nei grafici di cui sopra ogni linea di vita rappresenta un singolo individuo. Una rappresentazione più

realistica, in cui gli individui considerati sono molto numerosi, usa una singola linea di vita per ogni

generazione, come avviene nel seguente esempio:

Il grafico mostra che la generazione dei nati nel 1996 è composta da 536.740 individui, quella dei

nati nel 1997 da 540.048 individui, e così via.

I punti evento introdotti sopra indicano il verificarsi effettivo dell’evento oggetto di indagine. Questi

vengono rappresentati come segue:

In questo caso ogni punto evento rappresenta la morte di uno degli individui considerati.

2.2: PARTICOLARI SIGNIFICATI GRAFICI.

I segmenti e le figure geometriche (formate dai punti-evento all'interno di esse) che si vengono a

formare sullo schema dall'incrocio di rette parallele agli assi e alle bisettrici hanno particolari

significati:

 I segmenti paralleli all'asse delle ascisse individuano un insieme di individui viventi alla

stessa età e nello stesso anno di calendario.

 I triangoli individuano un insieme di eventi accaduti nello stesso anno di calendario a

individui della stessa età e per cui il rischio di subire l'evento è iniziato nello stesso anno

(nessuna ambiguità).

 I segmenti paralleli all'asse delle ordinate individuano un insieme di individui viventi nello

stesso momento (in genere il capodanno).

 I quadrati individuano un insieme di eventi accaduti nello stesso anno di calendario a

individui della stessa età ma per cui il rischio di subire l'evento è iniziato in anni diversi

(ambiguità di generazione).

 I parallelogrammi a basi orizzontali individuano eventi accaduti in due anni di calendario

diversi a individui della stessa età e per cui il rischio di subire l'evento è iniziato nello stesso

anno (ambiguità di anno).

 I parallelogrammi a basi verticali individuano eventi accaduti nello stesso anno di calendario

a individui di età diverse ma per cui il rischio di subire l'evento è iniziato nello stesso anno

(ambiguità di età).

Vediamo qui di seguito alcuni esempi

Nel precedente diagramma si possono individuare numerose figure:

 Il triangolo ABC rappresenta tutte le morti avvenute tra gli individui della generazione del

1997 con un’età compresa tra 1 e 2 anni, nel 1998.

 Il triangolo BCD rappresenta tutte le morti avvenute tra gli individui della generazione 1997

con un’età compresa tra 1 e 2 anni, nel 1999.

 Il parallelogramma ABCD contiene tutte le morti di individui della generazione 1997 con

un’età compresa tra 1 e 2 anni, avvenute nel 1998 e nel 1999.

 Il parallelogramma CDEF contiene tutte le morti di individui della generazione 1997 con

un’età compresa tra 2 e 3 anni, avvenute nel 1999 e nel 2000.

 Il parallelogramma EFGH contiene tutte le morti di individui della generazione 1997 con

un’età compresa tra 3 e 4 anni, avvenute nel 2000 e nel 2001.

Il seguente grafico permette di fornire altri esempi:

 Il triangolo DCA contiene tutte le morti di individui della generazione 1996 con un’età

compresa tra 1 e 2 anni, avvenute nel 1998.

 Il quadrato ABCD contiene tutte le morti di individui delle generazioni 1996 e 1997 con

un’età compresa tra 1 e 2 anni, avvenute nel 1998.

 Il quadrato EFCD contiene tutte le morti di individui delle generazioni 1995 e 1996 con un’età

compresa tra 2 e 3 anni, avvenute nel 1998.

 Il quadrato EFHG contiene tutte le morti di individui delle generazioni 1994 e 1995 con un’età

compresa tra 3 e 4 anni, avvenute nel 1998.

3: PROBABILITA’ DI MORTE E TAVOLE DI MORTALITA’.

3.1: LE PROBABILITA’ DI MORTE.

La misura dell’intensità di un fenomeno demografico richiede spesso la determinazione di rapporti

tra dati di flusso e di stato. I rapporti si differenziano a seconda che la popolazione a denominatore

sia:  Una popolazione media (o anni vissuti): in questo caso si parla di tassi specifici o generici,

che abbiamo visto nei precedenti capitoli.

 Numero di esposti a rischio di subire un evento: in questo caso si parla di probabilità, che

tratteremo in questo paragrafo.

Il calcolo delle due tipologie di misure si differenzia a seconda delle due ottiche di analisi, in

trasversale, o in longitudinale.

Di estremo interesse in ambito demografico sono le cosiddette probabilità di morte (e probabilità

di sopravvivenza) a 1 anno. Queste misurano la probabilità che un individuo di età ha di morire

+ 1),

entro un anno (o di sopravvivere fino all’età e si calcolano come segue:



=

Probabilità di morte a 1 anno:

+ 1.

o è il numero di morti tra e

.

o è il numero di sopravvissuti in

 = 1 −

Probabilità di sopravvivenza a 1 anno:

La sopravvivenza può essere considerata semplicemente come evento complementare a

quello di morte, e quindi essere calcolata come sopra.

Naturalmente valgono le seguenti relazioni tra probabilità di morte, numero di morti e di

sopravvissuti:

= = =



I dati necessari per calcolare le probabilità di morte sono:

1) La distribuzione dei decessi per sesso, secondo:

a) L’anno di morte.

b) L’età della morte.