Misure Termiche e Meccaniche 2 Esercizi

ESERCIZI - MISURE DI PORTATA E VELOCITÀ

Un ugello tipo ASME (β = 0,5) viene utilizzato per misurare la portata di acqua a 20°C, che finisce in una tubazione di diametro pari a 1 m. Se la portata varia nel range 0,6 ÷ 1,6 l/s, calcolare il campo di pressione richiesto per l’uso di un misuratore per la misura della caduta di pressione nell’ugello nel range di portata sopra detto. Se tale trasduttore ha una incertezza tipica dello 0,25% del f.s. stimare l’incertezza sulla misura di portata allo stato di scelta di progetto.

• d₁ = 1m
• β = d₀ : d₁ = 0,5
• d₀ = β⋅d₁ = 0,5⋅1 = 0,5 m
• ρ = 999 Kg/m³
• μ [T=20°C] = 1003,77⋅10^-6 Ns/m²
• γ = μ / ρ = 1003,77⋅10^-6 / 1004,77⋅10^-6 m²/s

Q = CEA√2ΔP / ρ

A = πd₀² / 4 = π⋅0,5² / 4 = 0,19635 m²

Q" = 0,6 l/s = 0,6⋅10^-3 m³/s

Q" = 1,6 l/s = 1,6⋅10^-3 m³/s

Q=CEA√2ΔP / ρ ⟹ (Q / CEA)²⋅ρ / 2 = ΔP

Re = 4⋅Q / πd₁γ ⟹ R (0,6 l/s) = 4⋅0,6⋅10^-3 / π⋅4⋅1004,77⋅10^-6 ≈ 760,317

Re (1,6 l/s) = 4⋅1,6⋅10^-3 / π⋅4,1004,77⋅10^-6 ≈ 2027,51

Dati diogamma

Ko = CEA = 0,97

Δp (0,6 ℓ/s):

• (0,6·1,01³)²·999 = 0,004957 P_a
• 2·0,97·0,19635²

Δp (1,6 ℓ/s):

• (1,6·1,01³)²·999 = 0,035251 P_a
• 2·0,97·0,19635²

Δp = 0,035251 P_a

U_Δp = 0,25% Δp = 0,25 = 0,1035251 = 8,61275·10⁻⁵ P_a

DQ

• Δp (0,16 ℓ/s): CEA·1/2 · Δp_P P^1/2 2 · CEA / P √2gP_P1
• = 0,022694

U_Q = √ (DQ/Δp · μ_p)²

U_Q (1,6 ℓ/s): = √(0,022694·8,61275·10⁻⁵)² = 2·10⁻⁶ m³/s

DQ

Δp (0,16 ℓ/s) = 0,97·0,19635 / 999 · √2·0,004957 / 999 = 0,060652

U_Q (0,6 ℓ/s): = √(0,060652·8,61275·10⁻⁵)² = 5,3334769·10⁻⁷ m³/s

Esercizi - Misure di Pressione

Un trasduttore di pressione capacitivo utilizza una capacitanza C₁ di 0,01 _± 0,005 µF ed una eccitazione di 5 _± 1% V.

I piatti del condensatore hanno una superficie di sovrapposizione di 8 _± 0,01 mm² e distanza 1,5 _± 0,1 mm (fluido interposto aria). Se la distanza fra i piatti varia di 0,2 mm, determinare la migliore stima per la capacitanza del sensore ed il voltaggio di uscita.

C = ^ε₀EA/_t dove E=1 poiché il dielettrico è aria.

ε₀ = C₁C/E₁

C = 0,0885 se si esprimono A, t in cm.

A = 8 mm² = 8 · 10^-2 cm²

t = 1,5 mm = 0,15 cm

Con t = 1,5 mm → C = ^{0,0885 · 1,8 · 10-2}/_0,15 = 0,01472 µF

E₀ = C₁ · E₁ = 0,01/0,01472 · 5 = 4,05932 V

∂C/∂A = ^Cε₀E/_t = ^{0,0885 · 1}/_0,15 = 0,59 mm^-1

∂C/∂t = ^−Cε₀A/_t² = ^{−0,0885 · 1 · 8}/_0,15² = −3,16667

μ_c = √(^∂C/∂Aμ_A)² + (^∂C/∂tμ_t)² + (^∂C/∂E₁μ_E1)² =

= √(0,59 · 0,01)² + (−3,16667 · 0,1)² + (0,00452 · 5/100)² = 3,11668 µF

E₀ = C₁ · E₁ → ∂E₀/∂C = −^{C₁ · E₁}/_C²

= 0,01 · 5/0,01472² = −23,4433 V/µF

Scegli un fluido manometrico adatto per misurare pressioni sino a 68850 Pa di un gas inerte (γ = 0,4 \[N/m^3\]).

• Fluidi disponibili: acqua (γ = 9790 \[N/m^3\]), olio (≤ 0,821), mercurio (SE = 13,534).

γ_H2O = 9790 \[N/m^3\> => h_H2O = \[\frac{\Delta p}{\mu H2O}\] = \[\frac{9790}{9,81}\] = 998,267 \[kg/m^3\]

SE_olio = 0,82 x 900 => 818,54 \[kg/m^3\]

• olio: \[\frac{\gamma _olio}{\gamma _H20}\] x 100
• SHg = 13,57 x SHg = \[\frac{\gamma Hg}{\gamma H2O}\] x SHg = 13,57 x 998,267

Δp = h \[(\gamma fluido sf)\]

• h_H2O ≤ \[\frac{68850}{9790}\] = 7,05038 m
• h_olio ≤ \[\frac{68850}{8024,8}\] = 8,60004 m
• h_Hg ≤ \[\frac{68850}{132850}\] = 0,518047 m

Ovviamente è preferibile scegliere il mercurio perché al massimo avremo altezze di 52 cm circa senza accumuli, mentre con gli altri fluidi si raggiungono altezze troppo elevate.

Considerando una temperatura dell'aria di 20°C, da

tabella si ricava una densità di 1,19406 kg/m³

Sempre da tabella si ricava ρ_m = 8238 kg/m³ per l'acciaio

• e₂= (ρ_aria / ρ_aria-g) - (ρ_mg / ρ_m) = 1,19406 / 8238 = 1,44945·10^-4

• p = p_i · (1 + e₁ + e₂) = 1,5175·10⁶ [1 + 3,262·10^-4 + 1,44945·10^-4]

= 1,51703·10⁶ Pa

p = 15,1703 bar

• p_abs = 1,4451·10⁶ Pa

Per misurare una singola temperatura viene utilizzata una termopila multipla del tipo J a 4 giunzioni con giunto di riferimento a 0°C. Valutare la fem prodotta Te per una temperatura di 125°C. Se il voltmetro ha un'incertezza totale di ± 0,0001 V, quante giunzioni sarebbero richieste nella termopila per ridurre l'incertezza sulla misura della temperatura a 0,1°C?

Dalla tabella 8.6 per Te = 125°C avranno emf = 6,634 mV

La fem totale per una termopila è pari a N·emf =>

> 4·emf = 4·6,634 = 26,536 mV

La sensibilità statica è pari a fem− = 6,634 mV/°C

MT = (Mfem / S) = (0,0001 · 10³ mV) / 0,53072 mV/°C = 1,88423 °C

NT = N·MT; D N = (MT × 1,88423) / 0,1

NT = 1,88423 * 18,8423 a => 19 giunzioni

Interpolando tra le temperature Ta = 125°C (emplo 6,634 mv) e Tb = 126°C (emplo 6,668 mv) avremo:

T1 - Ta = em1 - emfa / emfb - emfa = T1 = Ta + (Tb - Ta) em1 - emfa / emfb - emfa =

125 + 6,67 - 6,634 / 6,668 - 6,634 = 125,655°C

Consideriamo una nuova installazione come quella rappresentata.

Per la tensione in uscita di 7,947 mv, qual è la temperatura della giunzione che deve essere misurata?

em1ferro - ferro + em1rame - cost.rame = em2ferro - cost.ferro =

La prima due tensioni sono nullo, perché per le E.ggs. della termocoppia, in un circuito composto da un qualsiasi numero di materiali differenti, la tensione netta sarà nulla se tutte le giunzioni sono ad eguale temperatura, cioè avviene nel circuito intermedio.

Quindi avremo lo medesima temperatura ovvero quella ottenuta nel primo punto, = 164,855°C.

Una termocoppia di tipo J è calibrata contro una RTD Standard ±0.01°C tra 0-200°C. L'emf misurata dal polarizzimetro ha una risoluzione di 0.001 mV e un errore di bias inferiore a 0.015 mV. La temperatura di riferimento T₀ è mantenuta da un bagno di glicole. La procedura di calibrazione ha dato i seguenti risultati:

^{RTD [°C]} 0,10 20,15 40,00 60,43 80,25 100,65 _{emf [mV]} 0,010 1,038 2,096 3,207 4,231 5,336

1. Determinare un polinomio che descriva la relazione fra temperatura e emf della termocoppia.
2. Stimare l'incertezza di temperatura usando la legge di propagazione.
3. Supponendo che la termocoppia sia connessa ad un indicatore di temperatura digitale avente risoluzione di 0,1°C e accuratezza maggiore di 0,3°C, stimare l'incertezza della temperatura indicata.

a) Per ottenere la relazione usiamo il metodo della regressione ai minimi quadrati:

y = a₀ + a₁x

x = T y = emf

a₀ = ^{Σx_i2 Σy_i - Σx_i Σx_iy_i} / _{(Σxi²)² - NΣxi²}

a₁ = ^{Σx_i Σy_i - NΣx_iy_i} / _{[Σxi²] - NΣxi²}