Misure per l'automazione - sunto del corso

La legge di propagazione degli errori

Quando si esegue una misurazione in maniera indiretta, si verifica una propagazione dell'errore nel procedimento. Pertanto, è necessario stabilire come avviene questa propagazione. Se l'errore nella misura è Δx e quello delle grandezze che vado a misurare è Δy, allora devo stabilire un legame tra i due:

Δy = (∂y/∂x) * Δx

Se scriviamo il differenziale di y, abbiamo che:

dy = (∂y/∂x) * dx

Le derivate parziali (∂y/∂x) rappresentano le variazioni infinitesime di y rispetto a x e vengono chiamate coefficienti di sensibilità. Se l'errore è molto piccolo, al differenziale si può sostituire il valore vero e proprio dell'errore, quindi:

Δy = (∂y/∂x) * Δx

Per calcolare correttamente l'errore, è necessario conoscere i valori e i segni degli errori e delle derivate. Spesso,

però,Per poter calcolare E ynon si è interessati al valore effettivo ma solo all'errore massimo che si commette in unamisurazione, per dare un'indicazione del caso peggiore. Ne deriva la legge di propagazione deglierrori ∂ ∂t t= + +E E ... E .y , max 1, max n , max∂ ∂x x1 nM.A.P. - Misure per l'automazione e la produzione industriale 4

Il sistema internazionale di misuraAll'inizio del XIX secolo si pensava che tutte le grandezze potessero essere espresse mediante trefondamentali unità di misura. Questo era d'accordo con l'idea meccanicistica che tutti i fenomenifisici si dovessero spiegare per via cinetica. Già alla fine del XIX secolo questa teoria fuabbandonata, o meglio alle tre fondamentali si aggiunsero altre unità di misura. Il sistemainternazionale moderno adotta sette grandezze fondamentali e due supplementari con le relativeunità e svariate grandezze derivate dalle precedenti con

relative unità. Un sistema di unità di misura deve rispondere ad alcuni requisiti, tra i quali:

• deve essere accettato da tutti - universalità
• deve dare la possibilità di esprimere il valore di una grandezza con tutta la precisione che la specifica applicazione richiede
• si deve prestare all’uso pratico senza creare eccessivi problemi di apprendimento e di uso - praticità
• deve dare la possibilità di ricavare l’ampiezza di un intervallo di valori tramite due letture lungo una scala - uniformità
• deve dare la possibilità di esprimere qualsiasi grandezza del sistema in funzione delle unità fondamentali - coerenza

Le unità di misura fondamentali e Definizione dell Ampére: il metro (m) è la lunghezza del tragitto compiuto dalla luce nel vuoto in un trecentomilionesimo di secondo. Tale definizione vede l’unità di lunghezza come unità

dipendente dal tempo.: il chilogrammo (kg) è la massa del prototipo internazionale costituito da un cilindro diMassaplatino con altezza uguale al diametro.

il secondo (s) è l'intervallo di tempo che contiene 9.192.631.770 periodi della radiazioneTempocorrispondente alla transizione fra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell'atomo di cesio133.

l'ampère (A) è l'intensità di corrente che,Intensità di corrente elettrica (Definizione dell'Ampère)mantenuta costante in due conduttori paralleli rettilinei, di lunghezza infinita, di sezione circolaretrascurabile e posti alla distanza di 1 mt l'uno dall'altro nel vuoto, produrrebbe tra i due conduttori−× 7la forza di 2 10 N su ogni metro di lunghezza.

la temperaturaTemperatura termodinamica: il grado kelvin (K) è la frazione 273,16termodinamica del punto triplo dell'acqua.

Quantità di sostanza: la mole

(mol) è la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di Avogadro di entità elementari (numero di atomi presenti in 0,012 kg di carbonio 12.

Intensità luminosa: la candela (cd) è l'intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 1 W e la cui intensità energetica in quella direzione è 683 sr.

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Effetto Josephson

Per definire il campione dell'intensità di corrente ci sono vari metodi: quello della bilancia elettrodinamica, che, però, restituisce un valore con un'incertezza maggiore rispetto ai metodi basati sull'effetto Josephson o sull'effetto Hall quantistico.

L'effetto Josephson si basa su una giunzione niobio-piombo (due metalli) con l'interposizione di un sottilissimo strato di ossido. La giunzione viene portata, mediante

valeGhz=K 483 . 597 ,9j 90 V

Effetto Hall quantistico

Una lamina di materiale semiconduttore dello spessore s di pochi nanometri, è tenuta alla temperatura di 4°C. Se si sottopone la superficie di tale lamina ad un campo di induzione elettromagnetica B (>10T) e si inietta tra le due facce laterali una corrente I, si nota che tra le restanti due facce si stabilisce una tensione (tensione di Hall) che assume valori definiti dalla costante di Planck h e dalla carica dell'elettrone e, tramite la seguente formula:

h = E * I * H / (2 * n * e)

Da questo si evince che la tensione di Hall è quantizzata, ovvero assume valori n N

Condensatore calcolabile

Nel 1956 due ricercatori, Lampard e Thompson, hanno dimostrato un teorema che consente di costruire un dispositivo la cui capacità è ricavabile mediante una sola misura dimensionale. Tale sistema è composto da condensatori in croce costituiti da quattro conduttori cilindrici ad assi paralleli, sezione trasversale di forma

qualsiasi e dimensione assiale indefinita, immersi in undielettrico isotropo ed omogeneo (il vuoto, ad esempio) e posti ad una distanza infinitesima, inmodo da formare un cilindro cavo completamente chiuso.

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Come si vede dalla figura, uno schermo tubolare E racchiude quattro elettrodi cilindrici e dueulteriori elettrodi cilindrici F e G posti a distanza a l'uno dall'altro. A questo punto chiamiamo C13la capacità che si crea tra gli elettrodi 1 e 3 quando 2 e 4 sono collegati allo schermo e chiamiamoC la capacità che si crea tra gli elettrodi 2 e 4 quando 1 e 3 sono collegati allo schermo. Tali24capacità vengono dette capacità incrociate specifiche e per esse vale la relazione (nel vuoto)π πC C13 24ε ε+ =e e 10 0Se le due capacità specifiche hanno lo stesso valore, esso saràln 2 ε= = =C C C π13 24 0che nel vuoto vale circa 2 pF/m.

Il passaggio al concetto di probabilità è immediato: la frequenza relativa di un evento corrisponde alla probabilità che un evento si verifichi.

Per arrivare al concetto di distribuzione di probabilità bisogna partire dal concetto di istogramma e far tendere le basi dei rettangoli a zero. In questo modo l'altezza dei rettangoli andrebbe a zero poiché risulterebbe impossibile misurare esattamente una grandezza la cui altezza sia fra tutte quelle contenute nell'area reale. Per questo motivo l'altezza viene normalizzata per l'ampiezza dell'intervallo in modo che il supporto resti finito. Al valore limite di questa operazione diamo il nome di densità di probabilità nel punto x: f(x).

x non rappresenta la probabilità che avvenga l'evento x ma la probabilità che si verifichi un evento in un intervallo intorno a x.