Misure (Teoria)

Che cos'è l'errore misurale?

E' questione sperimentale e teorica e misurando ciò che dobbiamo misurare non è elevabile da un solo valore ampio ipotizzando una precisione di misurazione infinita. Definiamo:

• Incertezza: distribuzione statistica di un campione. La lunghezza di una misurazione effettuata sarà definita come un intervallo d'ampiezza di un valore tale da contenere una probabilità, per lo più 0.68, ma servono delle variabili cosiddette distinte per esprimere il valore misurato e la sua precisione con un certo livello di confidenza e il valore numerico identificato con le misure x.

Pertanto l'errore misurale si definisce come: (X ± u)|U|

Tipi di grandezze misurabili

• Grandezze discrete: il numero che si lavora per estrarre elementi dai campioni valori distinti tra di loro con ampiezza minima unitaria (Z e appartiene N).
• Grandezza continue: gli eventi possono assumere qualunque valore tra i limiti dati, tra due valori è sempre possibile trovare un valore intermedio. Si appoggia a R.

Statistica

Per parlare di misure in rapporto della statistica la precisione di due tipi:

• Descrittiva o a posteriori: N misurazioni --> x
• Inferenziale o a priori: N misurazioni --> N+1 misurazioni

Istiogramma

• L'istiogramma è un modo di descrivere graficamente i dati: frutto di N misurazioni. Notiamo che i valori minimi di ciascuna la frequenza è accorpata in un range specifico. Esistono due valori minimi. Possiamo avere due tipi di frequenze:
• Frequenza assoluta: numero di volte in cui ogni dato si è verificato (fa_i).
• Frequenza relativa: rapporto della frequenza assoluta è numero totale di eventi (f_z).

∑ fa_i = N

f_z = fa_i / N

∑ f_z = 1

Diagramma Frequenza Relativa

Fa_i calcolare usando un diagramma delle Frequenze Assolute e da queste Frequenze Cumulate aumentando il numero delle occorrenze delle voci precedenti entrando e aumentando cresciente.

Per prima cosa determiniamo il range di valori R(x) = (X_max - X_min) = numero classi × ampiezza classe

Per decidere ampiezza e numero classi di ampiezza delle classi bisogna tener conto che le classi devono contenere tutti i dati, hanno numeri e intervalli non più di 16 pezzi, dato deve essere contenuto in uno e uno solo, degli intervalli.

Per suddividere i dati in macroclassi si segue la seguente procedura: si divide R(x) per un numero compreso fra 8 e 15. La determinazione del range in questo modo e il calcolo della conseguente ampiezza delle classi, possono dar origine a rimanenze ed quindi è facile che, gli intervalli di classe possono avere generale di variazione di f+ differenze di 1 rispetto all’intervallo base. Il punto medio è meta della classe f è il valore della variabile che meglio rappresenta la classe dalla frequenza completa detta. Il termine della classe è - infine il col sino a noi. Noi ci siamo collocati con il termine di adii potiamo determinare il modo all'area applicativa un’ulteriore modo particina uguale cannone questa célere lescente qui f internullo della regola. Il chiamerà ed estroversito che è dato dell’intervallo degli estremi di un particolare classé è noto come la frequenza della classé.

A questo punto si possono separare i vari istogrammi. Nella pratica, tali distribuzioni di frequenza sono normalizzate rispetto all’ampiezza della classe e sono dunque rappresentate sotto forma di: istogrammi normalizzati.

(F_n) = _n / (X_i - X_(i-1))

frequenza non assoluta della somma della classe

(X_i - X_(i-1))

ampiezza della classe k-1-una

L’area dell’i-esima banda dell’istogramma è:

A_i = ordinata ampiezza (F_ni . (X_i - X_(i-1)) = ∑ _i ⁿ / (X_i+3 - X_(i-3)) = ∑_i ⁿ

Per cui la somma di tutto il grafico è limité:

∑ _i=1 ⁿ A_i = ∑ _i=1 ^N

a) Media aritmetica

x̄ = Σfixi / Σfi = (4·93 + 15· 94 + 10· 96 + 35· 98 + 15· 101 + 4· 106) / 80 = 8036 / 80 = 100,45

b) Mediana

l = L1 + [(N/2 - F _med) / f_med] C = 98 + [(40 - (4+15)) / 33] (101 - 93) = 100,293

c) Moda

l = L1 + Δ·I / (Δ1 + Δ0) = 98 + [12/ (12 + 18)] * (101 - 93) = 100,2

d) Valore moda con formula empirica

Media - Moda = 3 (Media - Mediana) -> Moda = Mediana - (Media - Mediana) 100,45 - 3 (100,45 - 100,293) = 93,02

e) Range

x_max - x_min = 107 - 93 = 14

f) DM

Σi | xi - x̄ | / N = (13· | 93 - 100,45 | + 15· | 94 - 100,45 | + 10· | 96 - 100,45 | + 35· | 98 - 100,45 | + 21· | 101 - 100,45 | + 4· | 106 - 100,45 | ) / 80 = 2,3

g) G²

G² = 1/N Σ (xi - x̄)² = 1 / 80 [ 4· (93 - 100,45)² + 15· (94 - 100,45)² + 10· (96 - 100,45)² + 35· (98 - 100,45)² + 21· (101 - 100,45)² + 4· (106 - 100,45)²] = 8,78

l) G

G = √8,78 = 2,96

m) C.V.

C.V. = G/ x̄ = 2,96/ 100,45 = 0,02346 = 2,35%

Per DM possiamo scrivere anche DM = 4/5 G = 4/5 (2,36) = 2,368 Possiamo calcolare anche il fattore di Bernell. S = √ N G² / (N - 1) * √N / (N - 1) = G √80 / 79 = 1,006

l'incertezza associata ad una misura è una quantità che può essere dichiarata in:

• valore assoluto - confronto alla semimpiezza della fascia ad ha la stessa dimensione del misurando (x)
• valore relativo - rapporto tra incertezza assoluta e il valore centrale della fascia (x)

μ = U/x

Val. dell'incertezza tipo composta

La norma mi definisce in che modo posso unire le sue tipologie definendo l'incertezza composta.

Spesso il misurando Y viene misurato istantaneamente, ma determinato a partire delle n grandezze che armonie ottenuto ciascuna di esse una fascia X_i = f(y_i, x_w). Fatto agli X_i una variabilità aleatoria (X_i), anche Y è limitato ad una mosaica, essendo espressione del misurando tipo composto e lo si calcola.

Legge di propagazione dell'incertezza

U_c = √(U₁² + U₂² + ... + U_N²)

Si sommeranno con un'ordinata di grandezza più piccolo rispetto a essi.

Per il teorema del limite centrale (se unisco più distribuzione dello stesso tipo e la metto insieme ottengo una gaussianamente (avranno più o meno tutto lo stesso peso)) ne voglio identificare un intervallo di valore all'interno del quale cade il misurando con probabilità alta - chiusura induttiva.

Incertezza estesa

V = K · U_c

L'incertezza composta del coefficiente K che dipende dallo stato fondamentale che intende coprire tutti intervalli inclusi nella LC.

Ad essa associamo un LC detto probabilità di copertura (k1 = LC. 5542, k2 = 2 o k1 = 5)

Regola di scrittura

le cifre del misurando e incertezza possono avere lo stesso numero di cifre significatici.

R = 13.57, 13.9 → 2

U_R = 0.0.37 → 2

X = 1.000

U = 0.000