Misure Elettroniche - Appunti Teoria 2

Preparazione dell'orale

Indice

• Capitolo 1
  • 1.1 Misura e misurazione
  • 1.2 Unità di misura
  • 1.3 Misurare come esperimento aleatorio
  • 1.4 Frequenza statistica e probabilità di un evento
  • 1.5 Densità di probabilità e funzione di distribuzione
  • 1.6 Parametri sintetici di una variabile aleatoria
  • 1.7 Gli strumenti di misura
  • 1.8 Importanza delle incertezze nelle misure fisiche
  • 1.9 Incertezza assoluta e relativa
  • 1.10 Propagazione degli errori
• Capitolo 2
  • 2.1 Misure di resistenza: metodo volt amperometrico
  • 2.2 Misura di resistenza di basso valore con il metodo della caduta di potenziale
  • 2.3 Il ponte di Wheatstone
• Capitolo 3
  • 3.1 Misure di capacità: cenni generali
  • 3.2 Metodo volt amperometrico
  • 3.3 Condensatore reale
  • 3.4 Misura del fattore di perdita
  • 3.5 Ponti in alternata
  • 3.6 Il ponte di De Sauty
• Capitolo 4
  • 4.1 Misure di induttanza: cenni generali
  • 4.2 Induttore reale
  • 4.3 Perdite nel rame
  • 4.4 Perdite nel ferro per isteresi magnetica
  • 4.5 Induttori avvolti in aria
  • 4.6 Misura della cifra di perdita di un provino ferromagnetico
• Capitolo 5
  • 5.1 Convertitori AD: campionamento, quantizzazione, codifica
  • 5.2 Convertitore Flash
  • 5.3 Convertitore ad inseguimento
  • 5.4 Convertitore ad approssimazioni successive
• Capitolo 6
  • 6.1 Caratterizzazione statica di un convertitore AD
  • 6.2 Caratterizzazione dinamica di un convertitore AD
  • 6.3 ENOB
• Capitolo 7
  • 7.1 Analisi numerica nel dominio della frequenza: cenni generali
  • 7.2 Dispersione spettrale e finestratura
  • 7.3 Impiego delle finestre per ridurre la dispersione
  • 7.4 Misure di frequenza e potenza
  • 7.5 Potenza di rumore e densità spettrale di potenza
• Capitolo 8
  • 8.1 L'oscilloscopio numerico: cenni generali
  • 8.2 Struttura generale di un oscilloscopio numerico
  • 8.3 Memoria di acquisizione
  • 8.4 Campionamento in tempo reale
  • 8.5 Campionamento in tempo equivalente
  • 8.6 Parametri di un oscilloscopio digitale
  • 8.7 Banda passante di uno oscilloscopio digitale
  • 8.8 Le sonde
• Capitolo 9
  • 9.1 Voltmetro a semplice integrazione
  • 9.2 Voltmetro a doppia rampa
  • 9.3 Voltmetro multirampa
  • 9.4 Specifiche dei voltmetri numerici in DC
  • 9.5 Specifiche dei voltmetri numerici in AC
  • 9.6 Voltmetri a valore medio
• Bibliografia

Capitolo 1

1.1 Misura e misurazione

La misurazione è quel processo che porta alla valutazione quantitativa di una grandezza fisica (il misurando) grazie al confronto con una grandezza fisica ad essa omogenea (il campione). La Norma UNI 4546 dà la seguente definizione di misura: informazione rappresentata da un numero, un'incertezza ed una unità di misura, atta a raffigurare una grandezza in un determinato stato del sistema.

L'incertezza è un indice della qualità della misurazione, rappresentando l'indeterminazione con la quale il processo di misura ha ottenuto il risultato. Una misura si esprime ad esempio come segue: grandezza valore incertezza unità di misura simbolo Ω Resistenza 50,01 0.05 Ohm Ω ovvero: 50,01 0.05 .

Le cause di incertezza sono molteplici e coinvolgono tutto ciò che interviene nel processo di misurazione (ad esempio lo strumento di misura adottato, più o meno preciso, e l'operatore che porta a termine la misura; il modello del misurando adottato: modelli più semplici semplificano la misurazione da eseguire, ma portano ad una maggiore incertezza).

Si introduce allora l'incertezza desiderata, da intendere come l'incertezza massima tollerabile sul valore del misurando.

In generale, i fattori che influenzano la misura si suddividono in sistematici (al ripetere delle misurazioni, si presentano sempre con lo stesso segno) ed aleatori (intervengono nella misurazione come contributo causale d'errore, presentano segno qualsiasi, sono legati a fattori non prevedibili). I fattori aleatori dunque non possono essere stimati a priori, ma, al più si può riferire ad un range, internamente al quale ricade il misurando, a causa dell'imprevedibilità.

1.2 Unità di misura

Solo se l'unità di misura adottata per il misurando è riconosciuta a livello internazionale si può dire di aver presentato chiaramente il risultato di una misurazione. Il sistema di unità di misura tipicamente adottato è il Sistema Internazionale (SI) che poggia sulla definizione delle seguenti sette u.d.m. (unità di misura):

• Massa: kilogrammo (Kg)
• Tempo: secondo (s)
• Lunghezza: metro (m)
• Intensità di corrente elettrica: ampere (A)
• Quantità di sostanza: mole (mol)
• Temperatura: kelvin (K)
• Intensità luminosa: candela (cd)

Esistono poi due altre u.d.m., adimensionali: il radiante (u.d.m. dell'angolo piano) e lo steradiante (u.d.m. dell'angolo solido). Dalle u.d.m. principali si ricavano in base alle cosiddette leggi di coordinamento quelle di tutte le altre grandezze. Ad esempio:

• Forza: newton (N) – 1 N = 1 m kg
• Frequenza: hertz (Hz) – 1 Hz = 1 s^-1

1.3 Misurare come esperimento aleatorio

Date le cause di incertezza discusse precedentemente, si può pensare di modellare la misurazione come una variabile aleatoria. Tutto ciò poiché nell'eseguire diverse misurazioni sulla stessa grandezza, non si ottiene sempre lo stesso risultato: le misure ottenute però sono comprese all'interno di una fascia di valori.

Col crescere del numero di misurazioni aumenta il grado di fiducia che si pone nell'ipotesi che il valore del misurando sia contenuto nella succitata fascia. In conclusione, per stimare il valore di un misurando è necessario ripetere la misurazione più volte, realizzando un'analisi statistica sulle stesse.

1.4 Frequenza statistica e probabilità di un evento

Si definisce frequenza statistica di un evento E (singolo risultato di un esperimento aleatorio) il rapporto tra il numero di volte n che si è verificato E ed il numero totale N degli esperimenti: f(E) = n/N.

Aumentando le sperimentazioni eseguite, la frequenza statistica di un evento E approssima sempre meglio la probabilità di occorrenza P(E): P(E) ≈ f(E).

1.5 Densità di probabilità e funzione di distribuzione

Per lo studio di un processo di misurazione come esperimento aleatorio, bisogna considerare i risultati di N determinazioni sperimentali di una stessa grandezza come una variabile aleatoria X: {x₁, x₂, ..., x_N}.

La funzione di distribuzione cumulativa P(X ≤ x) di una variabile aleatoria X esprime la probabilità che X assuma valori inferiori a x.

La funzione densità di probabilità (p.d.f) si definisce come la derivata della funzione cumulativa. La funzione p(x) dx esprime la probabilità di X di essere compresa tra x e x + dx.

Generalizzando, la probabilità che X assume un valore internamente ad un range determinato è nota dalla conoscenza della p(x).

Si dimostra che un fenomeno aleatorio complesso (come una misurazione) è associato ad una p.d.f. che si presenta come quella di una variabile gaussiana:

La rappresentazione della p.d.f. di una variabile aleatoria necessita di molteplici misurazioni. Nella pratica, il numero di misure è limitato e quindi ciò che si ottiene sono le frequenze statistiche.

1.6 Parametri sintetici di una variabile aleatoria

Il comportamento di una variabile aleatoria X è intimamente collegato alla quantità:

μ = ∫ x p(x) dx

Se la X modella i risultati di una misurazione, non disponendo di p.d.f., ma solo di un campione costituito dal risultato di N misurazioni, discretizzando la formula precedente e ricordando che la frequenza di ciascuna delle misure vale f(x_i), si trova la cosiddetta media campionaria:

x̄ = (1/N) Σ x_i

Essa, col crescere di N, dà una stima buona della media statistica μ.

Nel caso in cui i valori di X sono molto diversi tra loro, non è bene pensare che il loro valore medio rappresenta una stima del misurando. Si introduce pertanto la varianza come:

σ² = ∫ (x - μ)² p(x) dx

Questa relazione rende conto della dispersione della variabile X.

1.7 Gli strumenti di misura

Uno strumento di misura è un dispositivo grazie al quale si instaura una corrispondenza tra una grandezza e la sua misura. Ciò si ottiene traducendo una sollecitazione apportata alla grandezza da misurare nella risposta di un'altra grandezza misurabile più facilmente.

Tale strumento può essere analogico (la risposta si legge su una scala graduata) e digitale (la risposta è rappresentata in cifre su un supporto visivo). Alcuni dispositivi sono dotati di interfacce per la comunicazione su un computer su cui trasferire, immagazzinare ed elaborare i dati.

Le caratteristiche generali si possono classificare in:

• Intervallo di misura: dato dal valore minimo (soglia) e dal valore massimo (portata) della grandezza in esame che lo strumento è in grado di fornire.
• Prontezza: la rapidità con la quale uno strumento risponde ad una variazione della grandezza.
• Sensibilità: la minima variazione della grandezza apprezzabile sullo strumento.

1.8 Importanza delle incertezze nelle misure fisiche

Con la parola errore non ci si riferisce ad uno sbaglio: essa assume il significato di incertezza da associare alla misura. Infatti nessuna quantità fisica si può misurare con completa certezza. Il valore vero è il risultato di una misura ideale, priva di errore: quindi una misura con tali caratteristiche nella pratica è irrealizzabile. Gli errori si suddividono in:

• Disturbi
• Errori sistematici
• Errori aleatori

I disturbi sono errori occasionali che scompaiono se la misura viene ripetuta. Sono eliminabili da parte di un attento sperimentatore. Nella trattazione della teoria della misura sono più importanti gli errori della categoria 2 e 3.

Gli errori sistematici alterano la misura sistematicamente in eccesso o in difetto: non si rilevano con la ripetizione delle misure, ma confrontando risultati di misure eseguite con strumenti o procedure diverse.

Gli errori casuali possono avvenire con uguale probabilità sia in difetto che in eccesso rispetto al valore vero: tipicamente si distribuiscono simmetricamente intorno alla media aritmetica. Se si adopera per la misura uno strumento di scarsa sensibilità i valori delle misure ripetute coincidono e come incertezza di misura si usa l'errore di sensibilità strumentale.

1.9 Incertezza assoluta e relativa

Nessuna grandezza fisica può essere determinata con precisione assoluta in quanto risulta sempre affetta da incertezza. La precisione della misura dipende dal modo in cui la grandezza è misurata (tipo di strumento, procedura, etc.). Si supponga di eseguire una misura con una riga millimetrata e che ad esempio la lettura sia tale che: x = (16.5 ± 0.05) cm.

La misura è affetta da incertezza assoluta pari a 0.05 cm.

A parità di incertezza assoluta una misura può essere più o meno accurata a seconda del valore della grandezza misurata. L'incertezza relativa della misura è data da: e = (Δx / x) * 100%.

Se x = (46.3 ± 0.5) cm si ha che: e = (0.5 / 46.3) * 100%.

1.10 Propagazione degli errori

In generale, si supponga di considerare un legame del tipo y = f(x₁, x₂, ..., x_n). L'incertezza sulla variabile y si calcola partendo dalle incertezze delle singole variabili:

Δy = √(Σ (∂f/∂x_i)² (Δx_i)²)

Se le variabili indipendenti non sono statisticamente correlate, si ottiene:

Δy = √(Σ (Δx_i)²)

dove è la covarianza tra la coppia di variabili x_i e x_j.

Il valore della funzione cui si sovrappone l'incertezza è: y ± Δy.

Se si vuole ad esempio calcolare la resistenza elettrica R di un resistore, ricordando la legge di Ohm (R = V/I), si trova che:

ΔR = R √((ΔV/V)² + (ΔI/I)²)

Capitolo 2

2.1 Misure di resistenza: metodo volt-amperometrico

Dalla definizione stessa di resistenza, si intuisce che il metodo più immediato per una sua misura è quello volt-amperometrico (si misura la tensione ai capi del resistore, la corrente che lo attraversa e si calcola il rapporto). L'uso di strumenti di misura altera le grandezze da misurare, compreso il valore della resistenza. Si parla di effetto di carico in relazione all'inserimento della strumentazione di misura che altera le grandezze in gioco. Esso sarebbe assente solo in presenza di strumenti ideali.

Nella figura 2.1, gli effetti di carico fanno sentire il loro peso nel senso che la tensione e la corrente misurate dal voltmetro e dall'amperometro non corrispondono a quelle associate al resistore (e quindi la resistenza effettiva non risulta pari al loro rapporto). Nella succitata figura, l'amperometro è a monte del voltmetro e un'aliquota di corrente da esso misurata circola nel voltmetro stesso. Detta R_v la resistenza esibita dal voltmetro, tale contributo vale I_v = V_v/R_v, quanto la corrente che fluisce nell'amperometro. Detta I_m (pari alla somma di I e I_v) e la tensione ai capi del voltmetro, la resistenza misurata, trascurando gli effetti degli strumenti, vale:

R = V_m/I_m.

La misura della resistenza R è più piccola di quella reale in quanto la corrente misurata dall'amperometro è somma di due contributi. Nella misurazione è presente incertezza, dovuta agli strumenti, tanto più piccola quanto più piccola è R_v rispetto a R_m.

Per risolvere il problema nella misurazione di R, si pensa alla configurazione della figura 2.2.

In questo secondo caso, il voltmetro misura una tensione somma di due aliquote, la tensione su R e la caduta di tensione ai capi dell'amperometro. Se R_a è la resistenza interna dell'amperometro, si può scrivere:

V_m = V + I_mR_a.

Tralasciando gli effetti degli strumenti, la resistenza misurata vale:

R = V_m/I_m - R_a.

L'incertezza è tanto più piccola quanto più è trascurabile la caduta di tensione sull'amperometro. Sembrerebbe che l'idea alla base di questa seconda topologia sia equivalente a quella della prima. Non è così e ce ne si accorge andando a valutare il termine correttivo: la soluzione con un termine correttivo più basso è la migliore.

Dalla prima misura si può stimare R senza correzione R = V_m/I_m per poi confrontarla con R_a e R_v, resistenze interne rispettivamente dell'amperometro e del voltmetro. Se R è prossima a R_a, la configurazione da scegliere è quella secondo la quale R_a è trascurabile nel parallelo; se R è più vicina a R_v, si sceglie la configurazione secondo la quale R_v è trascurabile nella serie.

2.2 Misura di resistenza di valore basso con metodo della caduta di potenziale

Quello della caduta di potenziale è un metodo che consente misurazioni di resistenze con un'incertezza più piccola rispetto al metodo volt-amperometrico.

Fissato un resistore campione di resistenza R_c (un resistore cioè dalla resistenza e dall'incertezza nota nominalmente, quando è percorso da corrente di intensità minore della corrente massima sopportabile), lo si inserisce in serie ad un resistore di resistenza R.

Nel circuito della figura 2.3, è evidente la presenza di un amperometro in serie al generatore, allo scopo di fornire indicazioni sulla corrente che circola nel circuito. Il metodo in oggetto prevede due letture con lo stesso voltmetro, una ai capi di R_c, l’altra ai capi di R. Se si suppone che R_c e R siano in serie, si può scrivere:

V_c/R_c = V/R.

Da cui si trova il valore incognito desiderato:

R = R_c (V/V_c).

Si può ridurre ulteriormente l'incertezza della misurazione con opportuni accorgimenti. La resistenza R non è nota, ma si può conoscere il suo ordine di grandezza (dato che si conosce il materiale di cui è fatto il resistore e quindi la resistività e le dimensioni).

Se si sceglie un resistore campione dalla resistenza dello stesso ordine di R, le cadute V e V_c sono prossime tra loro. Idealmente, si può pensare di ottenere V ≈ V_c.

In tal caso, nel rapportare le due tensioni, gli effetti introdotti dal voltmetro sono gli stessi, nelle due misure.

La misurazione può essere migliorata ulteriormente. Usare lo stesso voltmetro non consente di eseguire le misure contemporaneamente. Allora è necessario mantenere stabile la corrente durante l'arco di tempo per le misurazioni. In più, è bene non far variare con la temperatura R_c e R.

L'alimentazione allora è di tipo reostatico con l'uso di un potenziometro dalla stabilità nota. Infine si esegue un'ulteriore misura di R_c: il valore ottenuto la seconda volta è confrontato con il primo per essere certi che non sia cambiata. Se le due misure di R_c sono compatibili allora la misura è andata a buon fine. Se così non fosse è necessario...