Microeconomia: Utilità

CAPITOLO 4: UTILITÀ

I filosofi in età vittoriana consideravano l'utilità come indicatore di benessere complessivo di un individuo.In età moderna invece siamo passati a considerare l'utilità come un mezzo per descrivere le preferenze dei consumatori, perché quello che conta è stabilire se un paniere può dare utilità maggiore, non importa stabilire di quanto.

FUNZIONE DI UTILITÀ

Assegna un numero ad ogni paniere di consumo. I panieri più preferiti ottengono quindi un valore più elevato.x > y ⇔ x e y ∉ x m(u(x)) u(y) ha significato ordinale quindi le preferenze sono transitività ma poniamo ovvero una funzione di utilitàA>B>C>A ⇔ u(A) > u(B) > u(C) > u(A) è impossibile.

Data una funzione di utilitá ordinale possiamo ricavarne infinite altre per mezzo di trasformazioni monotone

TRASFORMAZIONE MONOTONA

È una funzione che trasforma ciascun numero U in un altro numero in modo da mantenerne l'ordine. (moltiplicazione per n° positivo, somma, elevazione a potenza dispari.)u1 > u2 allora f(u1) > f(u2).

COSTRUZIONE DI UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

Se le preferenze sono complete, riflessive e transitive possiamo sempre trovare una f(u) che rappresenti le preferenze. Basta tracciare la diagonale e misurando la distanza dall'origine si attribuisce un n° crescente alle curve, più alte sono, più valori elevati avranno.

CAPITOLO 4 - UTILITA’:

I filosofi in età vittoriana consideravano l'utilità come indicatore di benessere complessivo di un individuo. In età moderna invece siamo passati a considerare l'utilità come un mezzo per descrivere le preferenze dei consumatori perché quello che conta è stabilire se un paniere può dare utilità maggiore, non importa stabilire di quanto.

FUNZIONE DI UTILITA’

Assoccia un numero ad ogni paniere di consumo, i panieri preferiti ottengono quindi un valore più elevato. x > y se e solo se u(x) > u(y) ha significato ordinale quindi le preferenze sono transitive ma non può avere una funzione di utilità a > b > c > a → u(A) > u(B) > u(C) > u(A) è impossibile

Data una funzione di utilità ordinale possiamo ricavarne infinite altre per mezzo di trasformazioni monotone

TRASFORMAZIONE MONOTONA

è una funzione che trasforma ciascun numero u in un altro funzione in modo da preservarene l’ordine (moltiplicazione per n° positivo, somma, elevazione a potenza dispari...) u1 > u2 allora f(u1) > f(u2)

COSTRUZIONE DI UNA FUNZIONE DI UTILITA’

Se le preferenze sono complete, riflessive e transitive possiamo sempre trovare una f(u) che rappresenti le preferenze, basta tracciare la diagonale e misurando la distanza dall'origine si attribuisce un n° crescente alle curve, più alte sono, più valori elevati avranno.

ALCUNI ESEMPI DI FUNZIONI DI UTILITÀ

CONSIDERIAMO UNA FUNZIONE DI UTILITÀ μ(x₁, x₂) = x₁ x₂ COME SARANNO LE CURVE?

SAPPIAMO CHE LA CURVA È L'INSIEME DEI PUNTI x₁ E x₂ TALI CHE K = x₁ x₂, RISOLVENDO PER x₂ SI OTTIENE x₂ = K/x₁

E SE υ(x₁, x₂) = x₁² x₂²? È UNA TRASFORMAZIONE MONOTONA DI μ(x₁, x₂) È IL SUO QUADRATO QUINDI LE CURVE HANNO LA STESSA FORMA

PERFETTI SOSTITUTI

μ(x₁, x₂) = qx₁ + bx₂ DOVE q E b SONO NUMERI POSITIVI CHE RAPPRESENTANO IL VALORE CHE IL CONSUMATORE ATTRIBUISCE AI BENI 1 E 2, LA SUA INCLINAZIONE È QUINDI -q/b DATO CHE x₂ = -^q/_b x₁

PERFETTI COMPLEMENTI

μ(x₁, x₂) = min {x₁, x₂} AD ESEMPIO CI INDICA IL N° MINIMO TRA SCARPE DX E SX CHE POSSIEDE IL CONSUMATORE, IL N° MINIMO PERCHÈ OGNI UNITÀ IN PIÙ È PER LUI SUPERFLUA

LA FORMA GENERALE È QUINDI μ(x₁, x₂) = min {ax₁, bx₂} CON a E b NUMERI POSITIVI CHE RAPPRESENTANO LA PROPORZIONE IN CUI I BENI VENGONO CONSUMATI

QUASI-LINEARI

SONO CURVE CHE CORRISPONDONO CIASCUNA ALLA TRASLAZIONE DELL'ALTRA, IN VERTICALE

x₂ = K - φ(x₁) → μ(x₁, x₂) = K : φ(x₁) + x₂ QUI φ È LINEARE PER IL BENE 2 MA NON PER IL BENE 1 PER QUESTO È DETTA QUASI-LINEARE

COBB-DOUGLAS

u(x₁, x₂) = x₁^c x₂^d con c e d numeri positivi

Godono di convessità e monotonicità sono regolari per eccellenza

Possiamo riscrivere le Cobb-Douglas come trasformazioni,

Logaritmica : v(x₁, x₂) = c ln x₁ + d ln x₂ Potenza 1/c+d = v(x₁, x₂) = x₁^⌠/c+d x₂^d/c+d ma se α = c/(c+d) u(x₁, x₂) = x₁^α x₂^1-α

UTILITA' MARGINALE

Se il consumatore ha un paniere (x₁, x₂) come varia l'utilità di questo consumatore se aumentiamo di poco la quantità di x₁?

UTILITA' MARGINALE

è il saggio che misura la variazione dellautilità totale che unione di una piccola quantità di uno dei beni.

MU₁ = ΔU = [u(x₁ + Δx₁, x₂) - u(x₁, x₂)] / Δx₁ ➔ MU₁ = ΔU/Δx₁ ➔ ΔU = MU₁ Δx₁

MU₂ = ΔU/Δx₂ ➔ ΔU = MU₂ Δx₂

UTILITA' MARGINALE e MRS

Il saggio marginale di sostituzione misura l'inclinazione della curva di indifferenza e può essere interpretato anche come il saggio al quale si è disposta sostituire x₂ con x₁

L'utilità marginale permette di calcolarlo immediatamente, se si prende una variazione nel consumo di ciascun bene (Δx₁, Δx₂) che mantengano l'utilità costante e consenta quindi di spostarci lungo la curva di indifferenza, dobbiamo avere quindi

MU₁Δx₁ + MU₂Δx₂ = ΔU

MA ΔU DEVE ESSERE 0 PER RIMANERE SULLA STESSA CURVA

AVREMO PERCIÒ CHE IL RAPPORTO TRA LE UTILITÀ MARGINALI È UGUALE

ALLA VARIAZIONE DEI DUE BENI RAPPORTATA TRA LORO.

MRS = ^Δx₂/_Δx1 = -^MU₁/_MU2 ⇒ HA SEGNO NEGATIVO PERCHÉ PER AVERE UNA

QUANTITÀ MAGGIORE DI X₁ DOVREMO AVERE UNA

QUANTITÀ MINORE DI X₂ PER AVERE UTILITÀ UGUALE

CALCOLO MRS CON DERIVATE

IN ECONOMIA, IN GENERE MARGINALE EQUIVALE A DERIVATA

INFATTI L'UTILITÀ MARGINALE DEL BENE 1 È:

MU₁ = lim_Δx1→0 ^{u(x₁+Δx₁, x₂) - u(x₁, x₂)}/_Δx1 = ^{∂u(x₁, x₂)}/_∂x1

È UNA DERIVATA PARZIALE RISPETTO X₁ PERCHÉ X₂ RIMANE COSTANTE

CALCOLANDO QUINDI MRS CON IL DIFFERENZIALE AVREMO

dU = ^{∂u(x₁, x₂)}/_∂x1 dx₁ + ^{∂u(x₁, x₂)}/_∂x2 dx₂

minuto incremento minuto incremento QUESTE VARIAZIONI

dell’utilità derivante dell’utilità derivante DEVONO ESSERE TALI

da una piccola variazione da una piccola variazione CHE dU SI ANNULLI

dx₁ dx₂

dU = ^∂u/_∂x1 dx₁ + ^∂u/_∂x2 dx₂ → LUNGO LA CURVA dU=0 QUINDI

^∂u/_∂x1 dx₁ + ^∂u/_∂x2 dx₂ = 0 → dU dx₂ = -dU dx₁ → ^dx₂/_dx1 = -^∂u/_∂x1 ^∂u/_∂x2 = -^MU₁/_MU2