Metodi statistici per l'amministrazione delle imprese - appunti

Appunti di metodi statistici per l'amministrrazione delle imprese

Integrazione e riferimenti agli esercizi del libro "Statistica per le analisi economico-aziendali" - David Anderson, Dennis Sweeney, Thomas Williams

Introduzione alla probabilità

1.1 Esperimenti e conteggi

La probabilità è una misura numerica di verosimiglianza del verificarsi di un evento.

Concetti base probabilità

1. Esperimento causale di natura probabilistica: processo che genera risultati ben definiti. Per ogni singola ripetizione di un esperimento, uno e solo uno dei possibili risultati sperimentali si verificherà. (es1. lancio di moneta di carattere aleatorio; es2. controllo di qualità su un pezzo prodotto campionario)

2. Risultati sperimentali (o punto campionario = elemento dello spazio campionario) (es1. 2 risultati: testa o croce; es2. 2 risultati: difettoso o non)

3. Spazio campionario: insieme risultati possibili in un Esperimento (i risultati sperimentali), indicato con “S” (es1. S={T, C} ; es2. S={D, ND})

es.: popolazione di 40 soggetti: residenti al Nord 22 e CentroSud 18 di cui Occupati e NonOccupati

Gli esiti sperimentali possono essere a più di una dimensione in quanto estratti con più di una caratteristica.

es.: lancio 3 volte una moneta → Cardinalità {, } = ∗ ∗ = = 8 dello Spazio Campionario: 1 2 3 { } sarei potuta arrivare alla cardinalità dello spazio anche attraverso le regole del conteggio

Regole del conteggio

Regole utili per essere in grado di identificare e contare i risultati sperimentali per l’assegnazione delle probabilità

• Esperimento in più passi, se un esperimento può essere descritto come una sequenza di k passi con =1∏ , , … , → ∗ ∗ … ∗ = risultati 1 2 rappresentato graficamente nel diagramma ad albero, per identificare tutte le possibilità (es. nel lancio prima di una moneta, poi di un’altra) = = = 2 → = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 es.: 3 lanci 1 2 3
• Combinazioni, il numero di combinazioni di N elementi distinti presi a “n” a “n” alla volta calcolo coefficiente binomiale: corrisponde a calcolare al denominatore l’elemento di sotto fattoriale ed al numeratore prendo elemento sopra CB e lo moltiplico per i numeri più piccoli di lui, per un totale di numeri che ho sotto es.: ho 10 titoli su cui investire ma devo fare dei portafogli solo di 3 titoli. quanti tipi di investimenti differenziati posso fare se ho 10 titoli da prendere a 3 a 3?

10 ∗ 9 ∗ 8 = 720 ( ) = = = 120 3 3! 3 ∗ 2 ∗ 1 ! = ( ) = ( ) = oss.: in generale − !(−)!! = ( − 1)( − 2) ∗ … ∗ 2 ∗ 1 per cui sappiamo: ! = ( − 1)( − 2) ∗ … ∗ 2 ∗ 1 0! = 1 es. 5!=5*4*3*2*1=120 10 10( ) = ( ) es.: 7 3

n.b.: in questo caso non contava l’ordine in cui i 3 oggetti venivano selezionati dai 10 es.: investire su Fiat, Generali, Juventus FC è uguale a investire su J, G, F

• Permutazioni, il numero delle permutazioni di N elementi distinti presi “n” alla volta (importante l’ordine di selezione) se invece conta l’ordine degli elementi, allora il conteggio è diverso, bisogna aggiungere casi a S.

! ( ( ( = ! ( ) = ∗ − 1) ∗ − 2) … − + 1) = (−)! es.: devo scegliere 3 titoli da 10, ma so già che investirò: 80k€ su titolo 1, 40k€ su titolo 2, 20k€ su titolo 3, quindi conta l’ordine dei tre elementi 310 = 10 ∗ 9 ∗ 8 = 720

1.2 Definizione probabilità

Condizioni di base per l’assegnazione delle probabilità:

• Probabilità di un risultato sperimentale generico E [, )() ] 0 ≤ ( ≤ 1 ∀1) (appartiene all’intervallo chiuso e limitato)
• ⟹ { }, , … , = 2) (collezione di tutti i risultati sperimentali) ∑ ) ⇒ ( = =  vengono date le probabilità degli eventi 

Avviene l’assegnazione della probabilità ai risultati sperimentali, 1- metodo classico: se i casi sono equiprobabili: - metodo della frequenza relativa: quando i dati consentono di stimare la proporzione del numero di volte in cui il risultato sperimentale si verificherà se l’esperimento viene ripetuto un numero elevato di volte - metodo soggettivo: quando non è possibile assumere realisticamente che i risultati sperimentali siano ugualmente probabili e sono disponibili pochi dati rilevanti. (basato su esperienza o intuito) si esprime quindi un grado di fiducia da 0 a 1 nel verificarsi del risultato sperimentale.

1{1,2,3,4,5,6} = (3) = es.: lancio di un dado regolare 65 3 1 (risultato ≥ 2) = (risultato pari) = =; 6 6 2

Eventi e le loro probabilità

“E” evento: insieme di punti campionari (o di risultati) () = probabilità di un evento = somma delle probabilità dei punti campionari che costituiscono l’evento

es. 12 pg. 143: ho in mano 52 carte, 4 semi, 13 carte per seme 4 1 → = { , , , } () = = a) estrazione di un asso = 52 13 13 1 → = { , 2 , … , 10 , ; , } () = = b) estrazione di un fiore = 52 43∗4 3 → () = = c) estrazione di una figura = 52 13 = +

es. 13 pg. 143: lancio 2 dadi, e ,1 2 1 2 a) quanti valori può ricoprire x? {2,3,min = 1 + 1 = 2 ; max = 6 + 6 = 12 → = … ,12} 11 ( = 7) =? → b) gli eventi elementari di S non sono equiprobabili

Ogni incrocio della tabella è equiprobabile ( = 2, = 5 = ( = 4, = 1) es.: ; poiché ci sono M = 36 (6x6) risultati sperimentali

1 2 1 2 1 → ogni incrocio ha probabilità pari a 36 → (7) = ( = 6, = 1) + ( = 5, = 2) + ⋯ + ( = 1, = 5)

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 6 1 = + + + + + = = 36 36 36 36 36 36 36 6 (ovvero la somma delle probabilità degli incroci che danno 7)

1.3 Eventi e probabilità

Relazione di base alla probabilità

Per visualizzare graficamente la probabilità utilizziamo i diagrammi di Venn: rettangoli con ideale area = 1: evento certo che raccoglie i possibili eventi sperimentali = spazio )() = () + ( = 1 campionario (raffigurato da tutto il rettangolo)

All’interno di ho dei sottoinsiemi che sono i possibili eventi: , - evento ̅ - evento ovvero il suo complementare (oppure negato) = evento che consiste in tutti i punti campionari che non sono A → )( = 1 − () ∪ unione di due eventi: = evento contenente tutti i punti campionari che appartengono ad A o a B o a entrambi. ∩ intersezione di due eventi: = evento contenente i punti campionari che appartengono sia ad A che a B casi particolari in cui si hanno 2 eventi:

• Legge della somma ( ∪ ) = () + () − ( ∩ ) probabilità dell’unione correzione eccesso nel calcolo
• Legge della somma per eventi mutuamente escludentisi: eventi mutuamente escludentisi (o incompatibili): due eventi quando non hanno punti campionari in → ∩ = 0 comune (quando un evento si verifica l’altro non può verificarsi) ( ∩ ) = (∅) = 0 ( ∪ ) = () + () probabilità della disgiunzione (̅ ̅) → ∩ = 1 − ( ∪ ) proprietà:

es. 19 pg. 150: automobili affittate per lavoro o per motivi propri () = 45,8% () = 54% ( ∩ ) = 30%

a) probabilità di affittarlo per lavoro o per motivi propri? ( ) = ( ∪ ) = () + () − ( ∩ ) = 45,8% + 54% − 30% = 69,8%

b) probabilità di affittarlo né per lavoro, né per motivi propri? (̅ ̅̅̅̅̅ ) ∩ = 1 − 69,8% = 30,2%

2.1 Probabilità condizionata

Spesso la probabilità di un evento è influenzata dal fatto di sapere se un evento collegato si è già verificato.

Vogliamo sapere P(A), conosciamo P(B) evento condizionante, calcoliamo allora la nuova probabilità P(A|B), →sfruttando a nostro vantaggio le informazioni già esistenti probabilità condizionata: probabilità di un evento A data la condizione (“|”) dell’evento B.

es.: popolazione di 40 soggetti: residenti al Nord 22 e CentroSud 18 di cui Occupati e NonOccupati N CSO 19 13 32 3 5 8 22 18 40 si suppone di estrarre un soggetto dalla popolazione in modo casuale.

Tutti i valori sono probabilità congiunte: in quanto sono le probabilità dell’intersezione di due eventi, ossia → )( ∩ ) = 19/40 ( ∩ = 3/40 devono valere congiuntamente queste condizioni: ; tabella prende il nome di “tabella delle probabilità congiunte”

Probabilità marginali: ovvero le distribuzioni di probabilità riferite ai numeri margine della tabella, forniscono le probabilità di ciascun evento separatamente (si trovano sommando le probabilità della riga 22 8 )() = = 11/20 ( = = 1/5 o della colonna corrispondente della tabella): ; 40 40 si possono vedere anche come le probabilità dell’esperimento unidimensionale, cioè solo residenza {, } {, } o solo occupazionale

Inoltre, si può considerare solo una parte della tabella (eventi), quella di interesse. ad esempio, si può → limitare l’attenzione ai soli residenti a nord ossia si condiziona l’esperimento all’evento N. 19 3 |)(|) = ≅ 0,86 ( = ≅ 0,14 pertanto, si possono calcolare le probabilità condizionate: e 22 22 (|) si legge: “probabilità di O dato N”; “probabilità di O condizionato a N”, “probabilità di O noto N”

Probabilità condizionata: (∩) (∩)(|) = (|) = in generale, A e B eventi, o() ()̅ graficamente: se si è realizzato, non si realizza. vogliamo calcolare l’area della parte di A che sta in B, rapportata a B

• (∩) = (|) ∗ () ( ∩) = (|) ∗ ()

Da cui si ricava la legge del prodotto: o (utilizzata per calcolare la probabilità dell’intersezione) 19 22( ∩ ) = ( ∩ ) = (|) ∗ () = ∗ = 19 es.: 22 40

Eventi Indipendenti: si ha che A è indipendente da B, se la sua probabilità non è condizionata da B, ovvero se (|) = () (|) = () la o (la probabilità di A/B non cambia, sapendo che si è realizzato B/A) 1{1,2,3,4,5,6} = () = es.: X è l’esito del lancio di un dado a 6 facce. con 6: ≥ 3 : eventi: 3 1 4 2() = = () = = 6 2 6 3

(∩) ({4,6}) 2 3 1 (|) = = = ∗ = () 2/3 6 2 21 → →() = (|) = A e B sono indipendenti 2 → (|) = () → si ha inoltre l’indipendenza è simmetrica → Legge del prodotto per eventi indipendenti: (∩) (∩) → → → (|) = () = (|) () = ( ∩) = () ∗ () ma() ()

es. 25 pg 157: attitudine ad usare la carta di credito tra i giovani ed i meno giovani. G: età tra 18 e 24 () = 0,37 () = 0,14 (|) = 0,19 probabilità che sia stato un giovane ad effettuare una transazione con CC (̅ |) = 0,81

a) probabilità che un giovane faccia una transazione con carta di credito? ( ∩ ) = 0,19 ∗ 0,37 = 0,0703 (tramite regola del prodotto) (∩) 0,0703 (|) = = = 0,502 () 0,14

b) tra i meno giovani, qual è la probabilità di usare la carta di credito? (̅ ∩ ) = 0,81 ∗ 0,37 = 0,2997 (̅ ) = 1 − () = 1 − 0,14 = 0,86 (̅ ∩) 0,2997 (|̅ ) = = ≅ 0,348 () 0,86

c) interpretazione tra i giovani circa metà usano la CC, mentre tra i meno giovani solo 1/3 usa la carta di credito → CC è più utilizzata tra i giovani

2.2 Teorema di Bayes

Spesso in un’analisi si inizia con la stima delle probabilità a priori (iniziali) di specifici eventi di interesse, poi da altre fonti otteniamo ulteriori informazioni sugli eventi. Il teorema di Bayes, quindi rappresenta un mezzo per eseguire i calcoli delle probabilità a priori riviste, ovvero alle probabilità a posteriori.

Processo di revisione delle probabilità: nuove applicazione probabilità a probabilità a priori informazioni teorema di Bayes posteriori es.: abbiamo 2 fornitori e , che ci vendono dei componenti, che possono essere funzionanti (G – good) 1 2 o non funzionanti )( ) = 0,65 → ( = 0,35 1 2) )( | = 0,98 (| = 0,95 1 2 |̅ |̅ → ( ) ( ) se troviamo un componente non funzionante è più probabile che venga da o ?

1 2 1 2 oss.: ci vende più pezzi (sarebbe più facile che il pezzo fallato venga da lui) 1 vende meno pezzi (ma ne vende di più che non funzionano) 2 noi conosciamo:(̅ (̅| |) )= 1 − 0,98 = 0,02 = 1 − 0,95 = 0,05; 1 2̅ ( | ) ∗ ( ) ∩ ̅( ) 0,02 ∗ 0,85 0,0131 1 |̅ 1)( = = = = = 0,4262 1 ̅ ̅̅ ( ) 0,02 ∗ 0,85 + 0,05 ∗ 0,35 0,0305) + (( | ) ∗ ( | ) ∗ ( ) 1 2 1 2 ̅ ( | ) ∗ ( ) ∩ ̅( ) 0,0175 2 2 |̅ 1) ( = = = = 0,5738 2 ̅ ̅̅) ( 0,0305) + (( | ) ∗ ( | ) ∗ ( ) 1 2 1 2̅ quindi, è più probabile che provenga da 2 (|), (|) si tratta di ribaltare la prospettiva: essendo note bisogna calcolare)() = ( ∩ + ( ∩ ), ∩ = , in generale, se 1 2 1 2) ) )() = (| ∗ ( + (|

∗ ( ),da cui la regola del prodotto, questo risultato il teorema delle probabilità totali (partizioni) ∪ ∪ … ∪ = se 1 2 3 =→ ∑ )() = (| ∗ ( ) Teorema di Bayes: Il teorema di Bayes è applicabile quando gli eventi per i quali vogliamo calcolare le probabilità a posteriori sono mutuamente escludentisi e la loro unione è l’intero spazio campionario (eventi def. “collettivamente esaustivi”). In tal caso il teorema può essere utilizzato per calcolare qualunque probabilità a posteriori ( |). = 1 , , … . . = − ∩ ≡ ∅⋃1 2 3 ( ) ( )| ) ∗ ( | ) ∗( ( |) = = )+( )+⋯+(( )| ) ∗ ( | ) ∗ ( | ) ∗ ( ∑ ( )| ) ∗ 1 2 1 2 =1

Distribuzioni di probabilità discrete

3.1 Variabili casuali discreta, media