Metodi numerici per l'ingegneria

Revisionato il 28/06/2026

di __Paola8__

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Appunti di metodi numrici per l'ingegneria sui seguenti argomenti trattati: sistemi lineari, sistemi non lineari, interpolazione di funzioni, pb di Cauchy e metodi di risoluzione, considerazioni …

Esame metodi numrici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marini Donatella

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2008-2009

126 pagine

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Estratto del documento

Risoluzione di sistemi lineari

Dati un vettore b ∈ ℝ^m e una matrice A ∈ ℝ^n×m si cerca x ∈ ℝ^m t.c.

Ax = b

CNS per avere un'unica soluzione → A non singolare, cioè det A ≠ 0 quindi A invertibile.

Soluzione:

x = A^-1b → Costoso

Non si calcola x se non è necessario, A^-1 ma si cerca di risolvere il sistema. Questo è molto costoso. Nel caso di alcune matrici si hanno però dei costi contenuti.

Nel seguito sono mostrate le soluzioni di tali matrici.

Matrice A diagonale

A = ^➠ ⁰^{d₂₂ …}^{… d_mm}

CNS → d_ii ≠ 0 ∀i

Sistema costituito da n equazioni indipendenti tra di loro:

{ x₁ = b₁ ⁄ d₁₁

…

x_m = b_m ⁄ d_mm

Costo: m ops

A triangolare superiore

A = ^{u₁₁ u₁₂ u₁₃ … u_1m}^{0 u₂₂ u₂₃ …}^{0 u₃₃ …}^{… u_mm}

CNS → u_ii ≠ 0 ∀i

Sistema:

{ x₁ = b₁ ⁄ u₁₁

…

x_n = b_m ⁄ u_mm

A inferiore

A = ^{l₁₁ 0 …}^{l₂₁ l₂₂ 0}^{l₃₁ l₃₂ l₃₃ …}^…^{l_m1 l_m2 l_m3 … l_mm}

CNS → l_ii ≠ 0 ∀i

Sistema:

x₁ = b₁⁄l₁₁

x₂ = (b₂ - l₂₁x₁) ⁄ l₂₂

…

x_m = (b_m - ∑ l_ijx_j)⁄l_mm

Risoluzione di sistemi lineari

Ax = b con A∈ℝⁿˣⁿ

Dati un vettore b∈ℝᵐ e una matrice A∈ℝᵐˣⁿ si cerca x∈ℝⁿ t.c.: Ax = b.

CNS per avere un’unica soluzione → A non singolare, cioè det A ≠ 0 quindi A invertibile.

Soluzione: x = A⁻¹b → COSTOSO.

Non si calcola A⁻¹ se non è necessario, ma si cerca di risolvere il sistema. Questo è molto costoso. Nel caso di alcune matrici si hanno però dei costi contenuti. Nel seguito sono mostrate le soluzioni di tali matrici.

Matrice A diagonale

A =

[d₁₁ 0 ... 0]
[0 d₂₂ ... 0]
[...]
[0 0 ... dₘₘ]

CNS ⇒ dᵢᵢ ≠ 0 ∀ i

Sistema costituito da m equazioni indipendenti tra di loro:

x₁ = b₁ / d₁₁
[...]
xₘ = bₘ / dₘₘ

Costo: m ops

A Triangolare superiore

A =

[u₁₁ u₁₂ u₁₃ ... u₁ₘ]
[0 u₂₂ u₂₃ ... u₂ₘ]
[0 0 u₃₃ ...]
[...]
[0 0 ... uₘₘ]

CNS ⇒ uᵢᵢ ≠ 0 ∀ i

Sistema:

xₘ = bₘ / uₘₘ
[...]
x₁ = (b₁ - Σᵢⱼ₌₂ᵐ uᵢⱼ xⱼ) / u₁₁

Inversione

A =

[ℓ₁₁ 0 ... 0]
[ℓ₂₁ ℓ₂₂ 0 ...]
[ℓ₃₁ ℓ₃₂ ℓ₃₃ ...]
[...]
[ℓₘ₁ ... ℓₘₘ]

CNS ⇒ ℓᵢᵢ ≠ 0 ∀ i

Sistema:

2e₁ = b₁ / ℓ₁₁
x₂ = (b₂ - ℓ₂₁ x₁) / ℓ₂₂
[...]
xₘ = (bₘ - Σᵢⱼ₌₁ᵐ₋₁ ℓᵢⱼ xⱼ) / ℓₘₘ

Si parte dall'ultima equazione

Si parte dalla prima equazione.

Geometrico termine:

_kj

Il costo per il calcolo del generico termine k è dato da m operazioni. In totale COSTO = m(m+1)/2 ⇒ O(m²)

Nei caso di una generica matrice A si potrebbe usare il METODO di CRAMER che permette di trovare la soluzione esatta data da:

dove A_i è ottenuta sostituendo alla colonna i il vettore dei termini noti. Il costo per il calcolo di un determinante è O(m!). In questo ca

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