Metodi e modelli per l'ingegneria - concetti fondamentali

OSS: la linearità può essere semplicemente verificata osservando l’equazione differenziale e controllando che

le derivate non sono moltiplicate tra loro o con la funzione f(x) ma solo per costanti. Si studieranno dunque

solo equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Stazionario: Un sistema si dice tempoinvariante o stazionario quando soddisfa la proprietà di traslazione nel

tempo di cause ed effetti, cioè quando si verifica che y(t-τ)=T[x(t-τ)].

Causale: Un sistema si dice causale o non anticipativo, quando l’ingresso non anticipa l’uscita.

OSS: Integratore e derivatore sono funzioni lineari. Tuttavia, l’integratore puro è non anticipativo, mentre il

derivatore puro è anticipativo in quanto richiede di conoscere cosa succederà dopo l’istante t di derivazione.

[Il modello matematico non può essere trasformato direttamente in soluzione attraverso l’integrazione, in

quanto questa risulta difficile. Allora si applica al problema oggetto la trasformata di Laplace che crea un

problema immagine, trasformando l’equazione differenziale in un’equazione algebrica, la cui soluzione,

detta soluzione immagine y(s), è più semplice da trovare. Dalla soluzione immagine si può ricavare la

soluzione del problema oggetto applicando l’antitrasformata di Laplace.]

Trasformata di Laplace: Sia data una funzione oggetto f(t):R->C e ad essa sia associata una funzione

immagine F(s):C->C. Se f(t) è definita per t∈[0,+∞[ , è continua a tratti in [0,+∞[ , è integrabile in ogni

( ) ( )

= lim

∫ ∫

intervallo limitato [0,T] , allora si definisce Trasformata di Laplace .

→

Tale integrale converge se s∈C o s∈A, dove A⊂C.

Maggiorata da un esponenziale: Si dimostra che tutte le funzioni maggiorate da un esponenziale

ammettono trasformata di Laplace F(s) per tutti i valori di s tali che γ-Re(s)<0, cioè Re(s)> γ, dove γ∈R.

Corollario: Si conclude che tutte le funzioni maggiorate da un esponenziale convergono in un semipiano di

convergenza che coincide con la parte del piano complesso posta alla destra della retta verticale individuata

da γ, detta ascissa di convergenza. Si conclude inoltre che ammettono trasformata di Laplace tutte le

(

+ − 1) +

seguenti funzioni: esponenziali positivi e negativi , tutti i polinomi del tipo

⋯ + 0, sin

( ) cos

( )

seni e coseni e tutti i derivati dal prodotto tra queste funzioni.

Trasformate notevoli [f*1(t)]:

1 → , =0

- → , =0

- !

→ , =0

- ( )

→ , =

- → , =0

- )

cos( → , =0

- )

sin( → , =0

- )

cos( → , =

- ( )

)

sin( → , =

- ( )

( ) ( ) ( )

→− , =

- ( ) → 1

- (delta di dirac)

Proprietà: ( ) { ( )}

= , =

- Linearità: la trasformata di Laplace è un operatore lineare, ovvero se e

( ) { ( )}

= , = , allora la trasformata della somma sarà uguale alla somma delle relative

trasformate, ciascuna moltiplicata per le stesse costanti delle rispettive funzioni di partenza, e

)

max( ,

l’ascissa di convergenza sarà uguale a .

{ ( )} ( )

= , = ( − )

- Traslazione nel tempo: si supponga . La trasformata della traslata

( ) ( ) ( )

=

sarà uguale a , ovvero alla trasformata di moltiplicata per . ( ) ( ),

( ) ( ), ∗

Prodotto di convoluzione: Date due funzioni e il prodotto di convoluzione

( ) ( )

∗ −

∫

individuato dal simbolo , è definito come segue: .

( ) ( ) ( ) ( ),

OSS: Se e hanno trasformate e allora la trasformata del prodotto di convoluzione sarà

uguale al prodotto delle trasformate delle due funzioni e l’ascissa di convergenza sarà uguale alla più grande

tra le ascisse di convergenza delle due trasformate. ( ) ( )

( ) ( ) = ∫

Trasformata dell’integrale: Se ha trasformata , allora la trasformata di sarà uguale

( )

( )=

a e l’ascissa di convergenza sarà uguale al massimo tra 0 e l’ascissa di convergenza della funzione.

( ) ≥ 0

Trasformata della derivata: Sia una funzione definita e derivabile per ; se esiste la sua trasformata

( ) { ( )} ( ) (0)

= −

, allora esiste anche la trasformata della sua derivata prima ed essa ha ascissa di

( ).

convergenza uguale al massimo tra 0 e l’ascissa di convergenza di La trasforma della derivata seconda

(0)

−

sarà allora uguale al prodotto tra s e la trasformata prima . Iterando il processo, si può generalizzare

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (0) (0) (0) (0)

= − − − ⋯ − −

affermando che .

( )

Teorema del valore finale: Sia una funzione trasformabile secondo Laplace e che ammette derivata. Se

lim ( ) lim ( )

esiste , allora esso è uguale a .

→ →

( )

Teorema del valore iniziale: Sia una funzione trasformabile secondo Laplace e che ammette derivata.

lim ( ) lim ( )

Se esistono e , allora essi sono uguali.

→ →

[Il sistema non è sempre definito da un’equazione lineare, dunque diviene necessario linearizzare

= =

l’equazione che lo definisce (es: rendere nella forma . Per fare ciò si considera un intorno

molto piccolo del punto di lavoro nel quale è possibile definire un andamento lineare della funzione

considerando la tangente alla funzione in quel punto. Ciò si effettua mediante l’applicazione dell’espansione

di Taylor ed una sostituzione di variabili]

Espansione di Taylor: Data un’equazione differenziale non lineare, si individui un punto di equilibrio

( )

, , ponendo che tutte le derivate siano nulle in tale punto e, assegnato un valore a , determinando

mediante sostituzione nell’equazione. Si potrà allora applicare l’espansione di Taylor che consiste nel

sostituire ogni singolo elemento dell’equazione non lineare con le rispettive derivate parziali ottenute

( ) ( )

|( , ) ∗ [ − |( , )] + |( , ) ∗ [ − |( , )]

secondo la formula . Allora si otterrà

( )

un’equazione lineare che può essere regolarmente risolta mediante l’applicazione di Laplace.

[Prima di risolvere un sistema può essere richiesto di verificare per quali valori è tempoinvariante e causale.

Per verificare che è tempoinvariante, bisogna individuare i valori per cui la t non è presente nei coefficienti

dell’equazione. Per verificare che è causale, bisogna individuare i valori per cui esso è proprio o strettamente

proprio, ovvero i valori per cui risulta n=m o m<n, dove m è il grado massimo delle derivate di u (ingressi) e

n è il grado massimo delle derivate di y (uscite).]

Antitrasformata di Laplace: Data la funzione F(s), si definisce l’antitrasformata di Laplace, e si indica con

{ ( )} ( ) ( )

= ∫

, la seguente: .

OSS: Ammettono l’antitrasformata tutte le funzioni razionali fratte formate dal rapporto tra due polinomi,

dove il grado del numeratore è strettamente minore di quello del denominatore. In questo caso, si dovrà

esprimere la funzione come somma di fratti semplici (ovvero funzioni razionali fratte aventi al numeratore

un solo numero n) che possono essere facilmente antitrasformati utilizzando le regole di trasformazione e le

trasformate notevoli. Se il grado del numeratore risulta uguale a quello del denominatore, si procede alla

divisione tra polinomi in modo da ottenere una somma antitrasformabile.

Antitrasformate notevoli:

! →

- )

→ 1(

- ( ) !

→ 1( )

-

Funzione di trasferimento: Si definisce funzione di trasferimento G(s) il rapporto tra la trasformata

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= 1 + 2 + 3 … ( ) = 1 + 2 + 3 …

dell’uscita e la trasformata dell’ingresso , definita

( ) …

( ) = =

quindi come .

( ) …

Poli: Si definiscono poli della funzione di trasferimento gli zeri della funzione di trasferimento, ovvero quei

valori che ne annullano il denominatore.

Modi: I modi di un sistema possono essere facilmente ricavati dai poli. Se i poli sono naturali del tipo , il

±

relativo modo sarà dato da . Se i poli sono complessi del tipo , ad ogni coppia coniugata saranno

( ) cos

( ).

associati i due modi e ∙

OSS: Nel caso in cui un modo si ripeta n volte, allora si scriveranno k modi nella forma , dove

∈ , 0 ≤ ≤ − 1.

Metodo della formula generale: Per antitrasformare, è necessario ridurre la funzione di trasferimento a una

somma di fratti semplici. Si applica pertanto ad essa il metodo della formula generale: esso consiste nel

[ ( )( ) ]

= − | =

determinare ogni singolo coefficiente secondo la formula . Nel caso vi

( )! +

siano poli complessi coniugati semplici, si esprime come il rapporto tra e il polinomio dai poli

complessi e si determinano i due coefficienti calcolando il prodotto tra F(s) e il polinomio nel polo somma.

≥ 2

OSS: Questo metodo si applica ai soli primi fratti semplici. Nel caso di si applica il seguente metodo.

Metodo del riporto successivo: Esso consiste nel ricavare nuove funzioni complesse sottraendo

( ) = 1, … ,

successivamente alla funzione i fratti semplici ricavati da .

Risposta: Si definisce risposta di un sistema lineare, la somma tra la risposta libera e la risposta forzata.

( )

Risposta libera: Si definisce risposta libera di un sistema lineare e si indica con , la risposta che tiene

conto solo delle condizioni iniziali del sistema stesso, trascurando l’ingresso. Essa si determina applicando

( )

l’antitrasformata di Laplace solo all’uscita .

OSS: Nel caso sia data la funzione di trasferimento, bisogna riscrivere il sistema sotto forma di equazione

differenziale e in esso sostituire le condizioni iniziali per determinare la nuova funzione di trasferimento. Es:

( ) (0) (0) (0)

= − − − ( )

Risposta forzata: Si definisce risposta forzata di un sistema lineare e si indica con , la risposta che tiene

( )

conto anche dell’ingresso del sistema. Essa si determina moltiplicando per la funzione di trasferimento

ed applicando al prodotto l’antitrasformata.

OSS: Nel caso l’ingresso sia uguale al delta di Dirac, allora l’uscita sarà uguale alla funzione di trasferimento;

tale risposta all’impulso può essere calcolata anche come la derivata della risposta al gradino.

Risposta armonica: Si definisce risposta armonica di un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile la

risposta del sistema ad una eccitazione di tipo sinusoidale. ( + ),

Risposta a regime: Dato un ingresso sinusoidale del tipo la risposta a regime è determinata

|

( ) ( ) ( )| [