Metodi e modelli per l'ingegneria - concetti fondamentali

Sistema

Si definisce sistema un insieme complesso e organizzato di componenti legati da relazioni di causa e effetto. Per poterlo analizzare, tuttavia, è necessario innanzitutto capirne l’orientamento.

Sistema orientato

Si definisce sistema orientato un sistema in cui le variabili siano state suddivise in variabili di ingresso e variabili di uscita.

SISO

Si definisce SISO un sistema avente un singolo ingresso e una singola uscita.

Variabili

In un sistema si distinguono in genere due tipi di variabili:

• Di ingresso: sono le variabili indipendenti o cause, che si dividono in:
  • Variabili manipolabili: il cui andamento nel tempo può essere arbitrariamente imposto, che rappresentano gli ingressi veri e propri del sistema e possono essere comandati;
  • Variabili non manipolabili: il cui andamento nel tempo non può essere influenzato da uno sistema di controllo, in quanto casuali e agiscono indipendentemente dalle azioni esterne.
• Di uscita: sono le variabili dipendenti o effetti.

Modello

Si definisce modello matematico di un sistema l’insieme di equazioni e parametri che permettono di determinare gli andamenti nel tempo delle uscite, noti quelli degli ingressi.

OSS: per effettuare un modello, dopo aver necessariamente individuato l’orientamento del sistema, bisogna verificare che il sistema sia lineare, stazionario e causale.

Lineare

Un sistema y(t)=T[x(t)] (dove T = trasformazione) si definisce lineare se soddisfa due condizioni:

• Omogeneità: se l’ingresso è moltiplicato per una costante, allora l’uscita risulta moltiplicata per la stessa costante, ovvero T[a·x(t)]=a·y(t) (a ∈ C);
• Additività: se si sommano tra loro due ingressi, allora l’uscita risulta la somma delle relative trasformazioni, ovvero y₁(t)+y₂(t)=T[x₁(t)]+T[x₂(t)].

OSS: la linearità può essere semplicemente verificata osservando l’equazione differenziale e controllando che le derivate non sono moltiplicate tra loro o con la funzione f(x) ma solo per costanti. Si studieranno dunque solo equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Stazionario

Un sistema si dice tempoinvariante o stazionario quando soddisfa la proprietà di traslazione nel tempo di cause ed effetti, cioè quando si verifica che y(t-τ)=T[x(t-τ)].

Causale

Un sistema si dice causale o non anticipativo, quando l’ingresso non anticipa l’uscita.

OSS: Integratore e derivatore sono funzioni lineari. Tuttavia, l’integratore puro è non anticipativo, mentre il derivatore puro è anticipativo in quanto richiede di conoscere cosa succederà dopo l’istante t di derivazione.

[Il modello matematico non può essere trasformato direttamente in soluzione attraverso l’integrazione, in quanto questa risulta difficile. Allora si applica al problema oggetto la trasformata di Laplace che crea un problema immagine, trasformando l’equazione differenziale in un’equazione algebrica, la cui soluzione, detta soluzione immagine y(s), è più semplice da trovare. Dalla soluzione immagine si può ricavare la soluzione del problema oggetto applicando l’antitrasformata di Laplace.]

Trasformata di Laplace

Sia data una funzione oggetto f(t):R->C e ad essa sia associata una funzione immagine F(s):C->C. Se f(t) è definita per t∈[0,+∞[ , è continua a tratti in [0,+∞[ , è integrabile in ogni intervallo limitato [0,T] , allora si definisce trasformata di Laplace.

Tale integrale converge se s∈C o s∈A, dove A⊂C.

Maggiorata da un esponenziale

Si dimostra che tutte le funzioni maggiorate da un esponenziale ammettono trasformata di Laplace F(s) per tutti i valori di s tali che γ-Re(s)<0, cioè Re(s)> γ, dove γ∈R.

Corollario

Si conclude che tutte le funzioni maggiorate da un esponenziale convergono in un semipiano di convergenza che coincide con la parte del piano complesso posta alla destra della retta verticale individuata da γ, detta ascissa di convergenza. Si conclude inoltre che ammettono trasformata di Laplace tutte le seguenti funzioni: esponenziali positivi e negativi, tutti i polinomi del tipo... + 0, sin( ) cos( )seni e coseni e tutti i derivati dal prodotto tra queste funzioni.