Metodi matematici per l'ingegneria

L[H(x)sin(x)](s)=π/2-arctan(s)

L[H(x)sin(x)](s)=π/2+arctan(s)

L[H(x)sin(x)](s)=π+arctan(s)

02. Sia f(x) una funzione derivabile con f'(x) trasformabile secondo Laplace in Re(s)>a. Se f(x) è trasformabile secondo Laplace in Re(s)>b, si ha che ∀s∈C con

Re(s)>max(a,b) +

Lf'(s)=sLf(s)-f'(0 )

+

Lf'(s)=Lf(s)-f(0 )

+

Lf'(s)=sLf(s)-f(0 )

+

Lf'(s)=sLf(s)+f(0 )

03. Sia H(x) la funzione di Heaviside e sia f(x)=xsin(x)H(x). Allora, ricordando che L[sin(x)H(x)](s)=1/(1+s ), si ha

2

2 2

L[-xsin(x)H(x)](s)=1/(1+s )

2 2

L[-xsin(x)H(x)](s)=-2s/(1+s )

2 2

L[-xsin(x)H(x)](s)=-s/(1+s )

2 2

L[-xsin(x)H(x)](s)=s/(1+s )

04. Scrivi le formule per la trasformata di f' e di f", e per la derivata n-esima della trasformata di f.

Lezione 024

01. Sia g(x) una funzione la cui trasformata di Laplace è G(s)=1/(s +4) e sia F(s)=2/[(s-1) +4]. Allora l'antitrasformata di Laplace di F(s) è

2 2

-x

f(x)=2e G(x)

x

f(x)=2e G(x)

x

f(x)=2e g(x)

-x

f(x)=2e g(x)

02. Sia H(x) la funzione di Heaviside. L'antitrasformata di Laplace di F(s)=1/(s+4) è

-4x

f(x)=4e H(x)

-4x

f(x)=e H(x)

4x

f(x)=4e H(x)

4x

f(x)=e H(x)

03. Sia H(x) la funzione di Heaviside. Ricordando che la trasformata di Laplace di x H(x) è f(s)=2/s e la trasformata di Laplace di cos(ωx)H(x) è g(s)=s/(s +ω ),

2 3 2 2

si ottiene che l'antitrasformata di Laplace di F(s)=1/s +3s/(s +9) è

3 2

2

f(x)=x H(x)+cos(3x)H(x)

2

f(x)=½x H(x)+cos(x)H(x)

2

f(x)=½x H(x)+3cos(3x)H(x)

2

f(x)=x H(x)+3cos(x)H(x)

04. Definisci l'antitrasformata di Laplace e calcola l'antitrasformata di 1/(s+1).

01. Si consideri il problema di Cauchy y''+2y'+5y=0, y(0)=2, y'(0)=4. Se si trasformano secondo Laplace entrambi i membri dell'equazione, indicando con Y(s) la

trasformata di y, si ottiene l'equazione

2

(s +2s+5)Y(s)=s

2

(s +2s+5)Y(s)=2s

2

s +2s+5=sY(s)

2

s +2s+5=2sY(s)

02. Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente e antitrasformando secondo Laplace, si ottiene che la soluzione del problema di Cauchy, per t>0, è

-t

y(t)=[2cos(2t)-sin(2t)]e H(t)

t

y(t)=[2cos(2t)-sin(2t)]e H(t)

-t

y(t)=[cos(2t)-sin(2t)]e H(t)

-t

y(t)=[cos(2t)-2sin(2t)]e H(t)

03. Si consideri il problema di Cauchy (moto armonico forzato): y''+y=t, y(0)=0, y'(0)=0. La soluzione,se H(t) è la funzione di Heaviside, per t>0, è

y(t)=[t+sin(t)]H(t)

y(t)=[t-sin(t)]H(t)

y(t)=[cos(t)-t]H(t)

y(t)=[t-cos(t)]H(t)

04. Risolvi il problema di Cauchy y"(t)+y(t)=t ch(t), con y(0)=1 e y'(0)=0, usando la trasformata di Laplace. La funzione ch(t) è il coseno iperbolico di t.

Lezione 026

01. Si consideri il problema di Cauchy: ty''(t)+2y'(t)+ty(t)=sinh(t)H(t), y(0)=0, y'(0)=0, per t>0 (dove H(t) è la funzione di Heaviside). Trasformando secondo

Laplace entrambi i membri dell'equazione e indicando con Y(s) la trasformata di y(t), si ottiene

2 2

-(s +1)Y'(s)=1/(s +1)

2 2

-(s +1)Y'(s)=1/(s -1)

2 2

(s +1)Y'(s)=1/(s -1)

2 2

(s +1)Y'(s)=1/(s +1)

02. Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente, si ottiene che Y'(s) può essere scritto come

2 2

Y'(s)=1/[2(s +1)]+1/[2(s -1)]

2 2

Y'(s)=1/(s +1)-1/(s -1)

2 2

Y'(s)=1/(s +1)+1/(s -1)

2 2

Y'(s)=1/[2(s +1)]-1/[2(s -1)]

03. Utilizzando i risultati ottenuti nei due esercizi precedenti e ricordando le antitrasformate di funzioni note, si ottiene che la soluzione del problema di Cauchy

del primo esercizio è

y(t)=[H(t)(sinh(t)-sin(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside

y(t)=[H(t)(cosh(t)+cos(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside

y(t)=[H(t)(sinh(t)+sin(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside

y(t)=[H(t)(cosh(t)-cos(t)]/(2t), dove H(t) è la funzione di Heaviside

04. Risolvi ty"(t)+2y'(t)+ty(t)=H(t) per t>0, con y(0)=0, usando la trasformata di Laplace. H(t) rappresenta la funzione di Heaviside.

Lezione 027

01. Utilizzando il risultato dell'esercizio precedente, si ottiene che la soluzione del problema di Cauchy è

u(t)=∫sin(t-s)cos(s)ds, dove l'integrale è calcolato da 0 a t

u(t)=∫sin(t-s)cos(s)ds, dove l'integrale è calcolato da -t a t

u(t)=∫cos(t-s)sin(s)ds, dove l'integrale è calcolato da -t a t

u(t)=∫cos(t-s)cos(s)ds, dove l'integrale è calcolato da 0 a t

02. Siano u e v due funzioni trasformabili secondo Laplace e sia u∗v il loro prodotto di convoluzione. Allora

L(u∗v)=L(u v)

L(u∗v)=L(u)L(v)

L(u∗v)=L(u)+L(v)

L(u∗v)=L(u)∗L(v)

03. Si consideri il problema di Cauchy u''(t)+u(t)=H(t)cos(t), u(0)=0, u'(0)=0, per t>0 (dove H(t) è la funzione di Heaviside). Trasformando secondo Laplace

entrambi i membri dell'equazione e indicando con Y(s) la trasformata di Laplace di u(t), si ottiene

2 2

Y(s)=1/(s +1)⋅1/(s +1)

2 2

Y(s)=1/(s +1)⋅[-s/(s +1)]

2 2

Y(s)=1/(s +1)⋅1/(1-s )

2 2

Y(s)=1/(s +1)⋅s/(s +1)

04. Definisci il prodotto di convoluzione ed enuncia la formula per la trasformata di Laplace del prodotto di convoluzione.

01. Se f(x) è una funzione di variabile reale a valori reali 2π-periodica e integrabile su [0,2π], allora

il limite per k→+∞ di f(x)cos(kx) è uguale a 0

il limite per k→+∞ di ∫f(x)sin(kx)dx, dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π, è uguale a 0

2

il limite per k→+∞ di ∫|f(x)| cos(kx)dx, dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π, è uguale a 0

2

il limite per k→+∞ di ∫|f(x)| sin(kx)dx, dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π, è uguale a 0

02. Sia f(x) una funzione di variabile reale a valori reali, 2π-periodica. I coefficienti di Fourier di f(x) sono definiti come

a =1/π∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e b =1/π∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da 0 a π

k k

a =∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e b =∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da -π a π

k k

a =1/(2π)∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e b =1/(2π)∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da -π a π

k k

a =1/π∫f(x)cos(kx)dx, k≥0, e b =1/π∫f(x)sin(kx)dx, k≥1, dove entrambi gli integrali sono calcolati da -π a π

k k

03. L'identità di Parseval afferma che

2 02 k2 k2 2

1/π∫|f(x)| dx=a /2+∑(a +b )|f(x)| , dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞

02 k2 k2

1/π∫|f(x)|dx=a /2+∑(a +b ), dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞

2 k2 k2

1/π∫|f(x)| dx=∑(a +b ), dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞

2 02 k2 k2

1/π∫|f(x)| dx=a /2+∑(a +b ), dove l'integrale è calcolato da 0 a 2π e la serie è per k che va da 1 a +∞

Spiega cosa significa che un polinomio goniometrico P (x) converge in media quadratica a f(x) di periodo 2π. Enuncia l'uguaglianza di Parseval.

04. n

Lezione 029

01. Utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier dell'esercizio precedente e l'identità di Parseval, si ottiene che la somma della serie ∑1/k , per k che va da 1 a +∞, è

4

2

π /2

4

π /90

π 4

4

π /45

02. Sia f(x)=x se x∈[-π,π) e 2π-periodica su R. I coefficienti di Fourier di f(x) sono

2 k 2

a =0, a =(-1) 2/k e b =0, se k≥1

0 k k

2 k

a =0, a =2/k e b =(-1) 2/k, se k≥1

0 k k

2 k 2

a =2π /3, a =(-1) 4/k e b =0, se k≥1

0 k k

2 k 2 k

a =2π /3, a =(-1) 4/k e b =(-1) 4/k, se k≥1

0 k k

03. Sia f(x)=sin (x). Allora la serie di Fourier di f(x) è

2

Ff(x)=½-½cos(2x)

Ff(x)=½+½sin(2x)

Ff(x)=½-½sin(2x)

Ff(x)=½+½cos(2x)

04. Trova i coefficienti di Fourier di f(x) = sin x + sin x, facendo il minor numero possibile di calcoli.

2

Lezione 030

01. Sia g(x)=4 se x∈[0,π) e g(x)=0 se x∈[π,2π), 2π-periodica su R. Utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier dell'onda quadra, si ottiene che la serie di Fourier di

g(x) è

4/π ∑sin[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞

2+8/π ∑cos[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞

2+4/π ∑sin(2nx)/(2n+1), con n che va da 0 a +∞

2+8/π ∑sin[(2n+1)x]/(2n+1), con n che va da 0 a +∞

02. Sia h(x)=1 se x∈[0,π) e h(x)=-1 se x∈[π,2π) 2π-periodica si R. Utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier dell'onda quadra, si ottiene che la serie di Fourier di

h(x) è

4/π ∑sin[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞

4+4/π ∑cos[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞

2+2/π ∑cos[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞

1+1/π ∑sin[(2n+1)x]/(2n+1) con n che va da 0 a +∞

03. Sia f(x) la funzione onda quadra. Allora

i coefficienti di Fourier di f(x) sono a =1, a =0 se k≥1 e b =-2 se k≥1 dispari

0 k k

f(x) è una funzione dispari e quindi a =0 ∀k≥0

k

f(x) è una funzione pari e quindi b =0 per k≥0

k

i coefficienti di Fourier di f(x) sono a =1, a =0 se k≥1 pari e a =-2 se k≥1 dispari e b =0 se k≥1

0 k k k

Calcola i coefficienti di Fourier a , a e b per la funzione f(x) di periodo 2π, con f(x)=0 per -π≤x<0 e f(x)=1 per 0≤x<π.

04. 0 1 1

Lezione 031

01. Sia f(x) una funzione periodica con pulsazione ω e semiperiodo t, con sviluppo in serie di Fourier dato da ∑c e , con k che va da -∞ a +∞. Allora

ikx

k

-iωkx

c =1/t ∫f(x)e dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z

k iωkx

c =1/(2t) ∫f(x)e dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z

k -iωkx

c =1/(2t) ∫f(x)e dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z

k iωkx

c =1/t ∫f(x)e dx, dove l'integrale è esteso da -t a t, ∀k∈Z

k

02. Sia z=x+iy in C. Allora la funzione esponenziale f(z)=e è definita come

z

y

e [cos(x)+isin(x)]

x

e [sin(y)+icos(y)]

x

e [cos(y)+isin(y)]

x+y

e [cos(y)+isin(y)]

03. Sia f(x) una funzione di variabile reale a valori reali periodica di periodo T. Allora la pulsazione di f(x) è

ω=2&pi