Metodi di progettazione meccanica

Metodi di progettazione meccanica

Risoluzione iperstatiche

• Metodo forze
• Metodo spostamenti → eq linea elastica
• Metodo energetico

In Ansys abbiamo a che fare con elementi finiti sensibili alla dimensione dell'elemento stesso. Qualsiasi gradiente → tensione, temperatura è sensibile alla dimensione degli elementi. Per avere sufficiente precisione devo arrivare a saturazione con una mesh sufficientemente fitta. Invece le grandezze basate su metodo dell'energia sono insensibili alle dimensioni dell'elemento. Si dice che l'energia di deformazione è mesh indipendent.

Considerazioni su una struttura semplice

Consideriamo una struttura semplice: trave nel piano.

• F
• F1 2Asta a trazione
• Ff

Leghiamo in un grafico forze e spostamenti di questo sistema monoassiale nel caso generale di un sistema non lineare elastico.

• FdF
• dWdFW f

L'area sottesa dalla curva descrive il lavoro che sta compiendo la forza F, tale area la chiamiamo W. Applichiamo un incremento dF e df alla trave. Voglio calcolare dW. Scompongo l'area in un rettangolo e in un triangolo.

La forza esterna genera tensioni sulla struttura, cioè le reazioni che sorgono all'interno per riequilibrare il carico esterno. Posso calcolare la densità di energia di deformazione U e dU:

σ σd dUU εεd ∫δ δ ε σ= ×U d V [J]{to t vol δ U ∫δ δ ε σ= ×U d V [J]{to t vol δ U

In un sistema equilibrato e congruente (spostamenti sono congruenti con tensioni) abbiamo la conservazione dell'energia (trascurando le dissipazioni).

δ δ=equivalenza aree : U W ∫δ σδε=F f d Vvol Sistema monoassiale: riduco tutto ad una stessa direzione. Posso estendere tutto al caso multiassiale.

Principio lavori virtuali

Se penso alla struttura come una in cui rispetto congruenza, ma non in equilibrio, se impongo l'equilibrio verrà δ δ=U W automaticamente soddisfatto. Quando imponiamo uno spostamento virtuale unitario possiamo calcolare una generica forza F nel caso multiassiale.

df v: virtuale v F vT{ } { }∫δ σ δ ε=F f d Vv v vVol I tensori sigma e epsilon sono le reazioni della forza applicata. σ e ε possono essere due tensori: ad esempio se l'asta è nel sistema di riferimento globale.

δ =f 1v T{ } { }∫ σ δ ε=F d Vv vVol Relazione che lega le epsilon virtuali agli spostamenti.

{ } { }δ ε ε δ= fv{ } : vettore delle deformazioni virtuali che mi corrisponde un df = 1ε Per un sistema lineare elastico: T T{ } { } { } { }∫ ∫σ δ ε δ σ ε= =F f d V d Vv vv vVol Voldf = 1.0!!v Se scriviamo: { } { }∫ Tε σ= =TF F d Vvv v Vol Che è l'espressione finale che ci permette di calcolare F v Poniamo:  σ xx { } Tσ σ=  yy σ xy{ }{ }ε ε ε ε= , ,v xx yy xy In automatica le forze trovate rispettano l'equilibrio.

Legame tra σ ε

Consideriamo un corpo elastico generale:

{ } { }=F F , F , F , ..... F1 2 3 n{ }{ } =f f , f ....... f1 2 , n Dal teorema dei lavori virtuali:

T{ } { }∫ ε σ=F d Vii V [ ] T{ } { }∫ ε σ=F d VV diventa una matrice[ ]{{ } }σ χ ε= ↓matrice di elasticità Nel caso più semplice diventa il modulo di Young

Per Lamè:

     σ ε1 0 0xx xx    Eσ ε= 0 1 0    yy yyν− 21    ν−1σ ε    0 0xy y 2

Valide in tensione piana!! σ = 0z è ol caso più favorevole. Nei modelli tridimensionali abbiamo differenze sostanziali rispetto ai modelli piani.

Constraint factor

Fattore di costrizione σ= zzC Z ν σ σ+( )xx yy C = 0 tensione pianaz C = 1 deformazine pianaz Nei casi reali ho 0 < C < 1 , mi dice quanto mi discosto dalla tensione e deformazionezpiana.

Lego ε a f [ ]{{ } }ε = b f [ ] [ ]ε≠b poiché ε congruenti e equilibrate non indico con b anziché con epsilon sottosegnato, per distinguerle.

[ ] [ ]{ [ ] [ ][ ]{ } } { }∫ ∫T Tε χ ε ε χ= = ×F d V f b d V1 4 42 4 43Vol Vol [ ]K Matrice di rigidezza E' possibile scrivere: [ ] [ ] [ ][ ]∫ Tε χ ε=K d VVol[ ] [ ]ε=b Infatti li distinguo solo nella dimostrazione ma numericamente sono uguali! Ricavo così una definizione energetica della matrice di rigidezza.

Ricaviamola nel caso dell'asta.

Legge lineare:

x( )= + − f f f fx 1 2 1 xl= =x 0 f fx 1= =x l f fx 2 f1 F1[a] : funzione di forma essa lega gli spostamenti nodali a quelli non nodali. E' esatta solo per le giunzioni localizzate (legate cioè a un punto) [ ]{{ } }=f a fx Per definizione: ( )−  ff fdf 1 { }ε 1= = = −2 1x 1,1  xx fdx l l  1 42 432n o ta z io n e m a tr ic ia le↓ [ ] [ ]ε b è la n o s tr a : o Nel nostro caso abbiamo dei vettori perché siamo nel caso monoassiale.

Aste e travi hanno funzioni di forma esatti perché [a] è esatta e legata alla teoria del'elasticità, ho giunzoni localizzate. Se avessi elementi triangolari questi elementi sono legati a mezzo di tutto il lato. Non ho una funzione di forma esatta, devo introdurre un polinomo (lineare, parabolico).

[a]: matrice funzione di forma dell'elemento, esatta solo per elementi in cui è rispettata la teoria dell'elasticità. Nella nostra asta abbiamo:

dV = Adx Sezione costante!!

− −     l 1 1 1 -11 1 1 1 EA[ ] [ ]∫ − = − =E 1 , 1 A d x E 1 , 1 l A     1 1 -1 1l l l l l     0 E ricaviamo la matrice dell'asta.

Elementi a 8 nodi piani → il polinomio è parabolico I nodi sono centrati ai vertici e sulla mezzeria (in mezzo approssimo).

Ricapitolando

• { }f : vettore spostamenti nodali
• { }F : vettore forze nodali
• { }f : spostamenti in un generico punto della struttura

[ ]{{ } }ε ε= f

[ ]{{ } }σ χ ε= Energia interna di un sistema lineare elastico

Per definizione: 1 { } { }Tε σ=U c a s o g e n e ric o m u ltia s s ia le2 Energia immagazzinata all'interno del volume.

1 1[ ]{ [ ][ ]{{ } } { } }∫ ∫ ∫T Tε χ ε ε χ ε= = = ⇒U U dV d V f d Vto t 2 2Vol Vol Vol 1  ÷[ ] [ ] [ ]{ } { }∫ TT ε χ ε=U f d V f ÷1 4 2 4 3to t 2  ÷V o l [ ]K { } L'energia di un elemento è collegabile agli spostamenti nodali, non abbiamo alcuna fderivata! La [K] è legata invece alle funzioni di forma.

dfε = →x Se avessi: renderei il modello sensibile alla dimensione dell'elemento.xx dx Introduco un grado di approssimazione legato alla derivata dello spostamento che viene risolta numericamente da ansys. Più forte è il gradiente di ε, e più ho un elemento grande, più rischio di sbagliare perché il modello è molto sensibile. Meglio usare un criterio energetico. Vedremo che l'energia calcolata in un nodo con una mesh da 8000 elementi e una da 100 è la stessa.

J integral: per recipienti in pressione normativa ASIM fa riferimento a parametro energetico J integral. Essendo un parameto energetico permette calcoli più rapidi. Approccio locale: K , K permette il calcolo della resistenza a fatica di qualsiasi1 2 componente, indipendentemente dalla geometria, basta conoscerla.

Non ci si può riferire alla normativa eurocodice 3 in quanto ci sono geometrie non contemplate dalla normativa. A quel punto uso criterio locale basato sugli NSIF e la densità di energia.

Esercitazione 1

Provino assialsimmetrico con spallamento

• rD
• dD = 55 mm
• d = 32 mm
• r = 1.6 mm
• L = 60 mm

Svolgiamo l'analisi per metà componente, vista la simmetria. Ricaveremo il K nel caso di trazione, torsione e flessione.

Elemento plain 83 → per componenti assialsimmetrici soggetti a trazione, flessione, torsione considera come asse di simmetria l'asse y. Ha 8 nodi. Riesce a studiare carichi fuori dal piano su un elemento piano. Definisco anche l'elemento 8 nodi 183 che definiremo più avanti. Devo inserire i Key points.

• 0,1 1 5 1 6,1 1 5 2 7.5,5 6.60,5 6.6 1 6.5,5 6.62 7.5,5 5 1 7.6,5 51 7.6,3 90,3 9 2 7.5,3 90,0 2 7.5,0

General preprocessor:

Definizione materiale: material model, structural, linear, elastic, isotropic:

• E = 206000, PRXV = 0,3 (coeff di poisson)

Modellazione:

• modeling, create, keypoints, on working plane
• Inserisco keypoints.

Per cancellare: Delete keypoints

• Creo le linee e le collego: Create lines, straight lines.
• Create lines, arcs, by end keypoints and radius (prendo prima le due estremità finali dell'arco e ok, poi prendo il centro e ok, inserisco il valore del raggio).

Creo aree:

• Create, areas, arbitrary by lines (premo apply per selezionarne tante).

Voglio plottare solo le linee per suddividere le linee per la mesh:

• plot, lines

Meshing:

• Vado su meshing. Meshing, size control, manual size, lines, picked lines
• Siccome si possono meshare solo poligoni di 4 lati devo concatenare le aree dei poligoni con più di 5 lati (comando concatenate)
• Meshing, mesh, areas, mapped, 3 or 4 sided (seleziono tutte le aree da meshare), ok

Dopo aver effettuato la mesh devo applicare vincoli e carichi:

• load, define load, apply, structural, displacement

Il vincolo è in direzione x e z lungo l'asse di assialsimmetria, mentre sulla base blocco tutti i gradi di libertà (all DOF). Applico il carico di trazione: pressure, on lines. Seleziono la linea orizzontale superiore e applico un carico -100. Il meno è necessario perché ansys vede i carichi negativi di trazione.

Lancio la soluzione: solve, current LS (load step), ok

General Postprocessor

Si analizzano i risultati. Possiamo verificare che ad esempio la tensione principale massima è in corrispondenza dell'apice del raccordo ed è pari a 279MPa:

• stplot results, contour plot, nodal solution, stress, 1 principal stress.

Torsione

Applichiamo ora un carico di torsione.

Prima però dobbiamo cancellare tutti i carichi e vincoli precedenti.

• Load, define loads, delete, all load data and options.

Anche per la torsione abbiamo gli stessi vincoli della trazione. L'asse di simmetria deve rimanere fermo, al massimo può allungarsi o accorciarsi. Per appicare un momento torcente ed avere una τ di torsione pari a 100 devo usare la legge di coulomb.

J JMτ = = =p pt W tW R d /2t = ×M F d / 2t z

Risulta:

π= 3W dt 16π= ×2F d 1 0 0z 8

In ansys mettiamo:

Structural, force, on keypoints (punto in alto a dx), ok.

• seleziono una F Z

Ore eseguo il seguente step per far si che non si sovrappongano i risultati dell'analisi precedente:

• Solution, analysis type, new analysis, static, ok

Lancio la soluzione. Quando vado a vedere la tensione principale massima, ansys me la da sul nodo in cui applico la forza. Devo selezionare una serie di elementi sull'apice.

• Select, entities, selezionare elements e by numpick, dal menu a tendina selezionare box, fare un ritaglio in corrispondenza dell'apice e poi riverificare la tensione principale max, ora è all'apice.

Flessione

Plane 83 è l'unico elemento che possiamo utilizzare per un componente assialsimmetrico

Per applicare il carico di flessione, cancello tutti i vincoli e carichi precedenti:

• select, everything (riappare tutto il modello)

Dobbiamo studiare la flessione pura, non deve esserci taglio!

Non metterò quindi una forza orizzontale F all'apice in alto a destra perché questa mix provoca un taglio. Se invece applico una forza F questa viene compensata da una forza -F dall'altra parte.

Fy y y non ha alcun effetto tagliante perché al più provocherebbe uno sforzo normale, perfettamente compensato. Dovremo dire ad ansys di considerare carichi antimetrici! Complessivamente però si genera una coppia.

Voglio avere una σ pari a 100 MPa → eq di navier f ( )M 2 F d /2σ f y= = = 100πf W 3df 32

Il moment flettente è F * d/2 ma in realtà di F ne dobbiamo considerare 2!

y y π= 2F 100 dy 32

Quella sarebbe la forza teorica da applicare al modello, per come ragiona però l'elemento plain 83 con le sue funzioni di forma, dobbiamo moltiplicare quella forza per 4!!

π= 2F 100 dy 8

Questa operazione vale solo per una forza disposta verticalmente.

Dobbiamo poi dire all'elemento che si comporti con carico antimetrico.

Dobbiamo scrivere un comando sulla barra in alto:

• Scrivere : mode, 1, 1

Sono le key options dell'elemento armonico considerato.

• Load, step options, other, armonic elements, selezionare 1, antisymmetric (number of armonic waves 1, antisymmetric) → modalità manuale per fare ciò appena visto.

Vincoli: dobbiamo vincolare solo la base (all DOF) perché l'asse verticale deve essere libero di flettersi.

Fy Fx Mettiamo a forza F y

• apply, force, on keypoints

lanciamo la soluzione.

Per catturare lo schermo:

• plot controls, capture image : fotografa ciò che è nello schermo con scritte
• plot controls, style, colours, reverse video: fa apparire bianca la schermata nera.

Deformata

Per non visualizzare reazioni vincolari in viola in basso: σ ε

Per non visualizzare reazioni vincolari in viola:

• plot controls, symbols, : - all reaction- no one

Differenze tra plane 83 e 183

• Plane 83 → per componenti assialsimmetrici, un modello di elemento piano consente di studiare in campo elastico trazione, torsione, flessione.
• Se da questo modello voglio ottenere per rotazione il componente 3D mantenendo la stessa mesh per estrusione devo usare il plane 183.

Ora vogliamo far finta di avere il componente piano estruso per il suo spessore! Devo selezionare l'elemento plane 183 (corr al plane 82 delle versioni precedenti) Es: piastra simmetrica.

• Element type, add element, plane 183, cliccare su option, key option, K3, element behaviour (possiamo da qui selezionare plain stress, plain strain ecc) Plain stress per sottili spessori, plain strain per spessori elevati. Di default ansys da plain stress.

Per attivare l'elemento plane 183:

• select, everything

Per convertire l'elemento:

• modeling, move/modify, elements, modify attributes, pick all, attribute to change, element type, new attribute type, 2

Per verificare di aver effettivamente cambiato elemento andiamo su:

• element type, add edit delete, selez plane 83 e clicchiamo su delete

Se lo lascia cancellare significa che tutti gli elementi meshati sono di tipo 2! Ristudiamo il modello:

• trazione
• flessione

No torsione, non si può fare col plane 183 in quanto può gestire solo carichi in direzione x,y e non in z. Questo cambiamento andrà bene anche per il caso di albero soggetto a flessione.

Trazione

Nel caso di piastra simmetrica rispetto a y. Sulle linee orizzontali in basso blocchiamo tutti i gdl. Sull'asse di simmetria: selezionare linee verticali, simmetry BC on lines.

Se volessi mettere un vincolo dovrei mettere appoggi.