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ESEMPIO

Misuratore di posizione con resistenza variabile:

- variabile in ingresso: posizione (mm) da 0 a 10 mm

- variabile in uscita: tensione (V) da 0 a 10 V

Fisso 0 mm in corrispondenza di 0 V e 10 mm in corrispondenza di 10 V. Per fare questo sposto

fino a che lo strumento campione misura 0 mm (posizione vera), quando sono a tale posizione

imposto 0 V sullo strumento che sto tarando. Stessa cosa a fondo scala.

Supponiamo di prendere la misura del punto i=2 (cioè 20% dell’input ovvero 2mm). Sulla seconda

colonna della tabella scriverò 2mm (valore vero). Nelle colonne successive scriverò i valori di

tensione che ottengo dallo strumento che sto tarando in corrispondenza di 2 mm per le fasi di salita

e di discesa, tale operazione si ripete per n cicli. La tensione

potra valore 2 oppure 1,98, oppure 2,01 ecc.. 10V =

V 2

,

01

=

V 2

V S ij

V i V D ij i=2 10mm

20%

2 mm

2

, 01 2 0

, 01

= = =

E 100 100 0

,

1 %

S ij 10 10

Linearità dipendente: retta passante per due punti (il max e min della scala):

Linearità indipendente: retta interpolante i valori acquisiti mediante regressione lineare:

Campo di misura: intervallo di valori della grandezza da misurare in cui è garantito l’insieme delle

prestazioni dello strumento. Oltre a questo campo lo strumento misura ancora ma non sono

garantite le sue prestazioni, al limite se aumento troppo so rompe.

Campo scala: campo all’interno del quale lo strumento è opportunamente tarato e calibrato. Di

solito è minore o uguale al campo di misura.

Campo di lavoro: tratto di misura effettivamente utilizzato nell’applicazione. Conviene farlo

lavorare nel tratto alto del fondo scala perché in tal modo l’errore che commetto pesa di meno. Ad

esempio, se l’errore commesso dallo strumento è dell’ordine dell’1% di un fondo scala pari a 50, se

misuro intorno a 1 commetto un errore di ±0,5 (quindi da 0,5 a 1,5!!!), se misuro intorno a 50 avrò

che lo stesso errore di 1% pesa molto peno (quindi da 49,5 a 50,5!!!).

Campo di funzionamento: massimo range dello strumento oltre il quale ho rottura certa. Di solito è

il doppio rispetto al campo di misura.

Un tempo gli strumenti in logica cablata disponibili rendevano necessaria una caratteristica lineare

dello strumento, al giorno d’oggi i software integrati nei moderni sistemi sono cmq in grado di

gestire segnali anche se questi sono non lineari. I sistemi meccanici generalmente non sono lineari

perché presentano attriti e giochi.

PRESTAZIONI DINAMICHE

Il digramma di Bode da generalmente una relazioni I/O per un comando sinoidale a regime.

Vorrei capire con che velocità e in che modo l’output segue l’input prima di portarsi a regime.

La trasformata di Laplace può essere applicata solo ad una equazione lineare. Pertanto possiamo

scrivere il modello di una equazione differenziale lineare a parametri costanti:

− −

n n 1 m m 1

d y d y d u d u

+ + + = + + +

A A ... A y (

t ) B B ... B u (

t )

− −

n n 1 0 m m 1 0

− −

n n 1 m m 1

dt dt dt dt

Determinare un sistema significa conoscere i coefficienti del modello e l’ordine dell’equazione.

Giroscopio: strumento in grado di

plottare in tempo reale su un nastro

l’andamento di una grandezza

misurata.

Il sistema funziona producendo una

coppia elettrica (mediante la corrente

che passa nell’avvolgimento che è

prodotta dalla tensione applicata)

generata tra il magnete permanente e la

spira magnetizzata. Tale coppia è poi

contrastata da quella della molla

altrimenti il sistema si sposterebbe tutto

fino a portarsi all’equilibrio. La

rotazione che si ottiene mette in

rotazione uno specchio riflettente il

quale proietta l’andamento sul foglio.

Lo schema a blocchi del sistema è il seguente: x

k

ϑ

i C

V V 1 / R

k 1

k M

p M

T c

L

τ β

+ + +

2

s 1 Is s k

+

s 1

T R

La funzione di trasferimento del traduttore è la seguente:

B

A dV

dV dV

+ = τ

0

+ = + =

V V

1 M

A A V B V V k V

M M

=> =>

M p

1 0 M 0 p T M T p

A dt A

dt dt

0 0

V k

( ) =

τ M T

+1 =

s V k V => ( )

τ +

T M T p V s 1

p T

Ragioniamo sull’ordine dei sistemi:

SISTEMI DI ORDINE ZERO

A fronte di qualsiasi legge di input il sistema è talmente pronto che la forma dell’uscita nel tempo

segue perfettamente l’ingresso tramite un coefficiente di proporzionalità. Praticamente risponde

sempre bene a quaslisi dinamica. Un esempio è la resistenza elettrica. I sistemi reali in effetti non

sono mai di ordine zero, però magari tagliano a frequenze talmente elevate per l’applicazione in cui

le sto usando che le posso praticamente considerare di ordine zero.

SISTEMI DI ORDINE UNO

In questi sistemi ho un solo parametro che è la costante di tempo e che è anche la radice del

denominatore, è solo una ed è reale pertanto il sistema non è in grado di darmi componenti

armoniche. Ciò significa che questi sistemi non oscillano (a meno ovviamente di applicare una

forzante armonica).

Si ricorda che gli zeri del denominatore sono denominati poli e coincidono con le radici che

annullano il denominatore. Ogni radice è una costante di tempo. Sistemi del primo ordine hanno

una sola costante di tempo. Se una radice del denominatore è zero, allora si dice che il

denominatore ha un polo nell’origine.

Un altro modo per indicare le costanti è il seguente:

dy (

t ) + =

A A y (

t ) B u (

t )

1 0 0

dt =

A 1

1 α

=

A

Supponiamo per semplicità che otterremo dunque:

0 =

B 1

0 B

A 1 1

dy (

t ) τ = = = =

α 0

1 K

+ =

y (

t ) u (

t ) si vede che ; α

α

A A

dt 0 0

Vediamo ora come risponde il sistema ai vari comando analizzando nel dominio di Laplace e nel

dominio del tempo le risposte: = >

u (

t ) 0

Diamo un comando a impulso (oscillazione libera) finito ( per ) la cui trasformata

t 0

è: T

+∞  

T − ( )

st

e h

∫ ∫

− − −

= = ⋅ = − = −

st st sT

u ( s ) u (

t ) e dt h e dt h 1 e

 

s s

 

0 0 0

→ → ∞

Un comando impulsivo (dove e ):

T 0 h h

=

u ( s ) A A = hT

Dunque la trasformata di Laplace diventa:

α

+ =

s

y ( s ) y ( s ) A

Da cui ricaviamo l’andamento dell’uscita nel dominio di Laplace:

α

A A / K

= = = t

y ( s ) A

α τ (1)

1

+ + T

s s 1

+

s 1

α

Possiamo impostare l’equazione differenziale per un comando a impulso:

dy (

t ) α

+ =

y (

t ) 0

dt = +

y (

t ) y (

t ) y ( t )

La soluzione dell’equazione è del tipo dove

g p

λ

= t

y (

t ) Ce

- è la soluzione dell’omogenea associata e si calcola ponendo l’equazione differenzia

g

uguale a zero

=

y (

t ) 0

- è la soluzione particolare e si calcola con le condizioni al contorno, nel nostro caso è

p

nulla perché il sistema è uguagliato a zero (l’impulso vale nell’istante iniziale ma successivamente è

come se non avessi nessuna forzante, ovvero il sistema è in oscillazione libera).

λ

y (t )

Dunque sostituendo nell’equazione è possibile ricavare il valore di :

g ( ) λ α

=

λ λ α

λ λ

λ α − + =

− − t

− + = => =>

t t e 0

Ce Ce 0

Il valore della costante C è ricavabile mediante la condizioni al contorno, ad esempio in questo caso

=

y ( 0 ) KA

si richiede : λ

− ⋅

= + = + = =

0

y ( 0

) y ( 0

) y ( 0

) Ce 0 KA => C KA

g p

La soluzione di tale equazione rappresenta l’andamento della risposta nel dominio del tempo ed è il

t

seguente: α

= =

t τ

y (

t ) KAe KAe

Infatti se ne facciamo la trasformata ritroviamo la relazione (1): +∞

( )

+∞ +∞ +∞ α

 

− +

s t

e KA K

( )

∫ ∫ ∫

α α

− − − − +

= = ⋅ = = − = =

st t st s t

y ( s ) y (

t ) e dt KAe e dt KA e dt KA A

 

α α τ

+ + +

s s s 1

 

0 0 0 0

Come si nota la funzione di trasferimento del sistema in oscillazione libera mi da esattamente

l’andamento della variabile y, che coincide con la soluzione dell’omogenea associata.

Pertanto si può dire che la soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata restituisce un

andamento della variabile x che coincide con quello che ottengo se studio il sistema in oscillazione

libera, ovvero con comando ad impulso di ampiezza unitaria (A = 1). Si nota inoltre che per un

sistema di ordine 1 non si hanno componenti armoniche perché le radici sono tutte reali positive.

Si noti che l’andamento può essere approssimato secondo la curva

esponenziale t

α

= =

t τ

y (

t ) Ae Ae τ

<<

Soltanto quando , nel grafico sono riportate le curve per

T

T

diversi rapporti , per questo rapporto molto prossimo allo zero

τ

la curva è pari a quella esponenziale.

Diamo un comando a gradino la cui trasformata è:

+∞

+∞ +∞  

st u

e

∫ ∫

− −

= = ⋅ = − =

st st 0

u ( s ) u e dt u e dt u  

0 0 0 s s

  u

0 0 0 0 t

Dunque la trasformata di Laplace dell’equazione diventa:

u

α

+ = 0

s y ( s ) y ( s ) s

u Ku K

= = =

0 0

y ( s ) u

( ) ( ) 0

α τ

+ +

 

1

s s s s 1 (2)

+

 

s s 1

α

 

CALCOLO DELL’ANTITRASFORMATA CON METODO DEI FRATTI SEMPLICI

Ogni rapporto al cui denominatore è presente un polinomio di grado n può essere scomposto

mediante il metodo dei fratti semplici in una somma di n termini nel seguente modo:

K k k k

= = + + + +

G ( s ) ... ...

1 i n

+ + +

n

P ( s ) s p s p s p

1 i n  

k −

 

− = p t

1 1

L k e

Dove ciascuno dei singoli termini ha per anti trasformata il termine pertanto

i

  1

+

s p

 

1

− −

= + + + +

p t p t

p t

G (

t ) k e ... k e ... k e

l’antitrasformata sarà il termine: 1 i n

1 i n ( )

+

s p

k

Per trovare l’ i-esimo coefficiente moltiplico a destra e a sinistra per il termine :

i

i

k k k

( ) ( ) ( ) ( )

+ = + + + + + + +

s p G ( s ) s p ... s p ... s p

1 i n

i i i i

+ + +

s p s p s p

1 i n

( )

→ −

s p

Faccio il limite per e questo mi da esattamente il valore del coefficiente:

i

[ ]

( )

+ =

lim s p G ( s ) k

i i

→ −

s p i y (t ) y (s )

La risposta nel dominio del tempo si ricava effettuando l’antitrasformata di :

τ τ

K K / k / k

= = = +

1 2

y ( s ) u u

( ) ( )

τ 0 0

+ ⋅ +

   

1 1

s s 1 1 s 0

+ +

   

s s s

τ τ

    τ

 

1 K /

+ ⋅ =

 

lim s u k

 

1

+ ⋅ = = −

0 1

τ  

 

lim s y ( s ) k 1 k Ku

=> =>

 

τ

→ −

s 1 / +

τ 1 0

1  

s s

 

τ

s 1 / τ

 

τ

K /

( )

⋅ + ⋅ =

( ) lim 1 s 0 u k

⋅ + ⋅ =

lim 1 s 0 y ( s ) k 0 2 =

 

1 k Ku

=> =>

s 0

2 +

  2 0

s s

s 0 τ

   

t

1 t −

− −  

t = − τ

=> y (

t ) Ku 1 e

− ⋅

= + = − +

0 t

τ τ

y (

t ) k e k e Ku e Ku  

0  

1 2 0 0

Possiamo impostare l’equazione differenziale per un comando a gradino:

dy (

t ) α

+ =

y (

t ) u 0

dt = +

y (

t ) y (

t ) y ( t )

La soluzione dell’equazione è del tipo dove

g p

λ

= t

y (

t ) C e

- è la soluzione dell’omogenea associata e si calcola ponendo l’equazione

g 1

differenziale uguale a zero.

=

y (

t ) C

- è la soluzione particolare e si calcola con le condizioni al contorno

p 2 λ

y (t )

Dunque sostituendo nell’equazione omogenea associata è possibile ricavare il valore di :

g ( ) λ α

=

λ λ α

λ λ

λ α − + =

− − t

− + = => =>

t t e 0

Ce Ce 0 C , C

Il valore delle costanti è ricavabile mediante la condizioni al contorno, ad esempio in

1 2

questo caso si richiede: − ⋅

= = −

= + =

0 t

y ( 0

) 0 C Ku

y ( 0

) C e C 0

=> => 1 0

1 2

−∞

+∞ = =

+∞ = + =

t

y ( ) Ku C Ku

y ( ) C e C Ku

=> => 2 0

0 1 2 0

L’andamento della risposta nel dominio del tempo è il seguente:

 

t

( ) −

 

α

= − = − τ

t

y (

t ) Ku 1 e Ku 1 e

 

0 0  

Infatti se ne facciamo la trasformata ritroviamo la relazione (2):

+∞ +∞ +∞ +∞ ( )

∫ ∫ ∫ ∫

α α

− − − − − +

= = − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

st t st st s t

y ( s ) u (

t ) e dt Ku (

1 e ) e dt Ku e dt Ku e dt

0 0 0

0 0 0 0

+

∞ +

( )

α

    α α

− − +  

+ −

st s t  

e e 1 1 s s K

 

= − − − = − = = =

 

Ku Ku Ku Ku Ku u

     

( ) ( ) ( )

α α α α τ

0 0 0 0 0 0

+ + + + +

 

s s s s s s s s s 1 s

 

   

0 0 t *

Tempo di assestamento ( ): è il tempo oltre il quale

l’errore tra il comando e l’uscita è entrato in una certa

±

( x %)

banda di tolleranza rispetto al valore di regime.

La tolleranza è definibile come la differenza tra il valore

t *

Ku

da raggiungere e il valore raggiunto al tempo

0

tutto riportato al valore finale:

− *

Ku y (

t )

= 0

x % Ku 0

 

t *

 

− − τ

Ku Ku 1 e

 

0 0 t *

t * ( )

( )

  τ

= −

=> => => t * log x %

=

= τ

log x % log( e )

τ

x % e

=

x % Ku 0 y (t )

Ku 0

98

% Ku

τ

t * / y (

t *) / Ku 0

0

0 0 63 % Ku

1 63% 0

3 95%

4 98% τ t

τ

4

= >

u (

t ) u t

Diamo un comando a rampa ( per ) la cui trasformata è:

t 0

0 +∞

+∞ +∞  

st

e u

∫ ∫

− −

= ⋅ ⋅ = ⋅ = − =

st st 0

u ( s ) u t e dt u e dt u

    

0 0 0 2

s s

 

0 0 0

Dunque la trasformata di Laplace dell’equazione diventa:

u

α

+ =

s y ( s ) y ( s ) 0 u

2

s 0

u K

u K

 

= = =

0 0

y ( s ) u

( ) ( )

α τ 0

+ +

 

2 2

1

s s s s 1 (3)

+

2 t

 

s s 1

α

 

Possiamo impostare l’equazione differenziale per un comando a rampa :

dy (

t ) α

+ =

y (

t ) u t

 0

dt  

t

τ τ

 

= − + τ

L’andamento della risposta nel dominio del tempo è il seguente: y (

t ) K u t e

  

0  

t

In una prima fase avremo il transitorio e (perché se è piccolo il termine esponenziale conta

 

t

τ τ

 

= − + τ

ancora) => y (

t ) K u t e

  

0  

t

In una seconda fase, quando comincia ad essere grande, il termine esponenziale diventa

trascurabile e il sistema assume il seguente andamento:

( )

τ τ

= − = −

y (

t ) K u t K u t K u

  

0 0 0

Ovvero ottengo una retta con la stessa pendenza del comando ma traslata verso il basso di un

termine che dipende dalla costante di tempo del sistema, più il sistema è lento più la costante di

tempo è grande e maggiore è questo errore. Risposta di un sistema di ordine 0

Risposta di un sistema di ordine 1

K u

 0 Comando

u

 0

Pertanto questo fatto mi dice che se ho il plottaggio nel tempo della risposta posso immediatamente

τ

stimare la costante di tempo

SISTEMI DEL SECONDO ORDINE =

A m

2 =

A c

1

Nel tipico sistema massa/molla/smorzatore abbiamo: =

A k

0 =

B 1

0

+ + =

m

y (

t ) c

y (

t ) ky (

t ) u (

t )

 

c k 1

+ + =

y (

t ) y (

t ) y (

t ) u (

t )

 

m m m

Dunque ottengo i seguenti valori dei parametri:

A k k

σ = = σ 2

=

0 =>

n n

A m m

2

A c c

ξ = = ξσ 2

=

1 2

=> n

A A m

2 km

0 2

Dunque il sistema da studiare diventa il seguente:

ξσ σ 2

+ + =

y (

t ) 2 y (

t ) y (

t ) Ku (

t )

 

n n

La trasformata del sistema assume la seguente forma:

y ( s ) K

= = ( )

G ( s ) 2

ξσ σ

+ +

2

u ( s ) s 2 s

n n = >

u (

t ) 0

Diamo un comando a impulso (oscillazione libera) finito ( per ) che equivale a

t 0

risolvere l’omogenea associata:

ξσ σ 2

+ + =

y (

t ) 2 y (

t ) y (

t ) 0

 

n n λ

= t

La soluzione di questa equazione è sempre del tipo ma questa volta abbiamo due radici

y e

λ pertanto sostituiamo nell’equazione e ricaviamo:

1

, 2

( ) )

(

2 2

ξσ ξ σ σ

± −

2

2 4 4

λ

− 2

λ ξσ λ σ

− + =

t 2

e 2 0 => λ ξ ξ σ

= = ± −

n n n 2 1

n n 1

, 2 n

2 ξ

Le soluzioni sono dunque le seguenti e dipendono dal valore di :

) )

( (

λ ξ ξ σ λ ξ ξ σ

= − − = + −

;

2 2

1 1

1 n 2 n

MOTO APERIODICO (il sistema non oscilla)

λ λ

ξ > ,

Se => Le radici sono reali e distinte e la

1 1 2

soluzione assume forma classica:

λ λ

− −

= +

t t

y (

t ) C e C e ovvero una qualsiasi combinazione

1 2

1 2

lineare delle due radici. Il sistema non ha oscillazioni

armoniche. Possiamo pensare in questo caso al sistema di

secondo ordine come somma di due sistemi del primo ordine

λ λ

1 / ,

1 /

con due costanti di tempo distinte .

1 2

MOTO APERIODICO CRITICO

ξ λ λ σ

= =

=

1

Se => Le radici sono reali e uguali e la soluzione assume forma

1 2 n

( )

−σ

= +

t t

y (

t ) e C tC C

particolare: . La presenza di che moltiplica dipende dal metodo di

n 2

1 2

risoluzione analitica delle equazioni differenziali.

MOTO OSCILLATORIO (SMORZATO)

ξ < λ λ λ ξσ ξ σ

1

Se => Le radici sono complesse e coniugate = ± = ± −

2

Re( ) Im( ) 1

( ( ) ( ) )

1

, 2 n n

ζσ ξ σ ξ σ

= − + −

t 2 2

La soluzione assume forma particolare: y (

t ) e C cos 1 t C sin 1 t

n 1 n 2 n

Per le formule goniometriche di somma e sottrazione ricavo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ξ σ ξ σ ξ σ ξ σ

⋅ − + ⋅ − = Φ ⋅ − + Φ ⋅ − =

2 2 2 2

C cos 1 t C sin 1 t C sin cos 1 t C cos sin 1 t

1 n 2 n n n

)

( ξ σ

= − + Φ

2

C sin 1 t

n ( )

ζσ

− ξ σ

= ⋅ ⋅ − + Φ

=> t 2

y (

t ) e C sin 1 t

n n

( )

ξ

Dove − = Φ

2

arcsin 1

In tal caso il moto presenta una componente armonica libera

che provoca delle oscillazioni anche se il sistema non è

soggetto a forzanti armoniche. = >

u (

t ) u

Diamo un comando a gradino finito ( per ) che equivale a risolvere l’equazione:

t 0

0

ξσ σ 2

+ + =

y (

t ) 2 y (

t ) y (

t ) u

 

n n 0

) )

( (

λ ξ ξ σ λ ξ ξ σ

= − − = + −

;

2 2

1 1

1 n 2 n

MOTO APERIODICO (il sistema non oscilla)

λ λ

ξ > ,

Se => Le radici sono reali e distinte e alla soluzione dell’omogenea

1 1 2

associata che abbiamo già calcolato per la risposta impulsiva aggiungiamo l’integrale particolare:

= +

y (

t ) y (

t ) y (

t )

g p

λ λ

− −

= +

t t

y (

t ) C e C e

1 2

g 1 2

=

y (

t ) C

p 3 C , C , C

Applicando le condizioni al contorno si ricavano :

1 2 3

Da cui si ricava la seguente soluzione particolare:

MOTO APERIODICO CRITICO

λ λ ϖ

ξ = =

=

Se => Le radici sono reali e uguali e la soluzione assume la forma:

1 1 2 n

= +

y (

t ) y (

t ) y (

t )

g p

( )

−σ

= +

t

y (

t ) e C tC

n

g 1 2

=

y (

t ) C

p 3 C , C , C

Applicando le condizioni al contorno si ricavano :

1 2 3

Da cui si ricava la seguente soluzione particolare:

MOTO OSCILLATORIO (SMORZATO)

ξ <

Se => Le radici sono complesse e coniugate

1

λ λ λ ξω ξ ω

= ± = − ± −

2

Re( ) Im( ) 1

1

, 2 n n

= +

y (

t ) y (

t ) y (

t )

g p )

(

ζσ ξ σ

= ⋅ ⋅ − + Φ

t 2

y (

t ) e C sin 1 t

n

g 1 n

=

y (

t ) C

p 2 C , C , C

Applicando le condizioni al contorno si ricavano e la

1 2 3

soluzione ha il seguente andamento: Ku

= −

= C 0

y ( 0 ) 0 => 1 Φ

sin

+∞ = =

y ( ) Ku C Ku

=>

0 2 0

Poiché si ottiene:

ξ

Φ = − 2

sin 1 )

(

 

ζσ

− t

e n ξ σ

= + ⋅ − + Φ

2

 

y ( t ) Ku 1 sin 1 t

0 n

ξ

− 2

 

1

 

Nell’ordine 1 la risposta a rampa presenta un errore a regime tanto maggiore quanto più grande è la

τ

costante di tempo . Nell’ordine 2 la risposta a rampa presenta un errore a regime tanto maggiore

σ

quanto più è piccola la .

n

RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN SISTEMA La risposta in frequenza si ottiene

π

2

=

u (t ) dando un comando armonico del tipo

T ϖ seguente:

s ϖ

=

u (

t ) u sin t

0

Il sistema, dopo un breve transitorio in

ϕ t

y (t ) cui da una condizione iniziale si porta

a regime, oscillerà secondo l’armonica

seguente:

y ( )

ϖ ϕ

= +

y (

t ) y sin t

0 t 0

TRANSITORIO REGIME Nello studio della risposta in frequenza

Questa parte dipende Questa parte dipende solo dall’input, NON siamo interessati al transitorio

dalle caratteristiche del ovvero dalla forma del segnale in pertanto NON considereremo

sistema (insomma dalla ingresso. Lo studio della risposta in

omogenea associata) frequenza riguarda solo questa parte. l’omogenea associata.

Dimostriamo che dando un input armonico di questo tipo otteniamo una risposta armonica del

sistema della forma indicata: ϖ ϖ

u u

= =

ϖ

= 0 0

u ( s )

u (

t ) u sin t => (1)

( )( )

ϖ ϖ ϖ

+ + −

0 2 2

s s j s j y ( s ) = G ( s )

Assumiamo che il sistema sia uno qualsiasi avente funzione di trasferimento .

u ( s )

G ( s )

u ( s )

Per il teorema dei fratti semplici possiamo scrivere il termine come somma di n termini

(dove n è il grado del polinomio in s al denominatore della funzione di trasferimento) più altri due

termini derivanti dalla trasformata dell’input (1):

ϖ

u k k k h h

= = = + + + + + +

y ( s ) G ( s )

u ( s ) G ( s ) ... ...

0 1 i n 1 2

ϖ ϖ ϖ

+ + + + + −

2 2

s s p s p s p s j s j

1 i n

 

ϖ

u u

[ ]

( ) ( )

ϖ ϖ ϖ

= − = − =

h lim s j G ( s )

u ( s ) lim s j G ( s ) G ( j )

0 0

 

( )( )

ϖ ϖ

1 + −

s j s j 2 j

ϖ ϖ  

→ →

s j s j  

ϖ

u u

[ ]

( ) ( )

ϖ ϖ ϖ

= + = + = − −

h lim s j G ( s )

u ( s ) lim s j G ( s ) G ( j )

0 0

 

( )( )

ϖ ϖ

2 + −

s j s j 2 j

ϖ ϖ  

→ − →

s j s j

L’antitrasformata i tale funzione sarà pertanto: u u

ϖ ϖ

ϖ ϖ

− − − −

= + = + + + + + − −

p t p t p t j t j t

y (

t ) y (

t ) y (

t ) k e ... k e ... k e G ( j ) e G ( j ) e

0 0

1 i n

g p 1 i n 2 j 2 j

Dove: − −

= + + + +

p t p t

p t

y (

t ) k e ... k e ... k e (dipende dalla funzione di trasferimento del sistema e

1 i n

g 1 i n

influisce solo nel transitorio).

u u

ϖ ϖ

ϖ ϖ

= − −

j t j t

y (

t ) G ( j ) e G ( j ) e

0 0 (dipende dall’input ed è ciò che conta a regime)

p 2 j 2 j u u

ϖ ϖ

ϖ ϖ

= = − −

j t j t

0 0

y (

t ) y (

t ) G ( j ) e G ( j ) e

Nello studio in frequenza assumiamo che ovvero

p 2 j 2 j

trascuriamo la parte transitoria.

Sapendo dai numeri complessi e dal teorema di eulero che:

ϖ = + ϖ ϖ ϖ

G ( j ) Re j Im = −

j t

e cos t j sin t

;

ϖ = − ϖ ϖ ϖ

G ( j ) Re j Im = +

j t

e cos t j sin t

Sostituendo queste relazioni nell’equazione ricavata (e svolgendo i calcoli) si ottiene:

( )

ϖ ϖ

= +

y (

t ) u Im cos t Re sin t

0 Dunque l’andamento può essere rappresentato come un

Asse segmento verticale che si allunga e si accorcia al variare

complesso Asse di t. Se prendiamo gli assi complessi questo segmento

reale può essere anche rappresentato con un vettore rotante

ϖ

Im cos t

Im ϖ

+ t

2 2

Re Im (in un sistema di assi ruotata di un angolo ) di

ϕ Re ϖ ϕ

+

t

modulo e angolo , pertanto si può

ϖ +

2 2

Re Im

Re sin t

ϖ t scrivere nella forma equivalente:

( )

ϖ ϕ

= + ⋅ +

2 2

y (

t ) u Re Im sin t

0

La parte reale dell’output è in fase con l’input mentre la parte immaginaria è sfasata di 90° rispetto

ϕ

a quella reale e pertanto l’output totale risulta sfasato di un angolo .

Si vede da quest’ultima espressione che i termini ampiezza e sfasamento possono essere così

ricavati: ϖ

= + =

2 2

y u Re Im u G ( j )

0 0 0

 

Im

ϕ =  

arctg Re

 

RISPOSTA IN FREQUENZA PER UN SISTEMA DEL PRIMO ORDINE

K 2

y ( s ) y K K

ϖ = = = = =

G ( j ) 0 τ ϖ

+

y ( s ) K u ( s ) u 1 j τ ϖ τ ϖ

+ +

2 2 2 2

1 1

= =

G ( s ) 0

=>

τ +

u ( s ) s 1 τϖ

   

0 ( )

ϕ τϖ

= − = −

   

arctg arctg arctg

K 1

   

Plottaggio del modulo adimensionato:

K 2

K K

ϖ = = =

G ( j ) τ ϖ

+

1 j τ ϖ τ ϖ

+ +

2 2 2 2

1 1 y 1

=

0

τϖ

   

0 ( )

ϕ τϖ

= − = −

   

arctg arctg arctg Ku τ ϖ

+ 2 2

1

K 1

    1

0

ϖ τ = ⋅

= y 0

,

707 Ku

Per =>

1 / 0,707

0 0

Cioè l’ampiezza dell’uscita è pari al 70.7% ϖ

dell’ampiezza che dovrebbe avere l’uscita in condizioni

statiche (le condizioni statiche sono quelle per cui se do τ

1 /

u

un input di ampiezza al sistema staticamente il

0

=

y ku

sistema si porta a , è legato al discorso delle prestazioni statiche che abbiamo analizzato

0 0

precedentemente).

Plottaggio del modulo adimensionato in scala logaritmica:  

y

 

0

20 log  

In tal caso sull’asse delle ordinate abbiamo il termine: Ku

  τ

0 ϖ

1 /

 

 

y 1

 

  =

0

20 Log 20 Log

    -3dB

Ku τ ϖ

+

  2 2

 

1

0

ϖ τ ≅ −

= 20 Log ( 0

, 707 ) 3

dB

Per =>

1 / -20dB/dec

Di solito la curva rossa (quella vera) viene approssimata con le due tangenti in verde che si

ϖ τ

=

intersecano proprio per .

1 /

Il significato di questo grafico è il seguente: il sistema risponde bene fino a frequenze inferiori a

τ oltre le quali l’ampiezza dell’uscita va sotto il 70% dell’ampiezza statica. In realtà per

1 /

frequenze elevate può anche darsi che il sistema scenda con pendenza molto maggiore di

-20dB/dec, questo perché i sistemi reali sono di ordine inifinito (siamo noi che decidiamo se

approssimarli con ordine 0,1,2… a seconda dei campi di frequenze in cui li utilizziamo). Dipende

tutto dal campo di utilizzo che voglio avere.

Ogni ordine di grandezza dell’ampiezza (ogni decade di ampiezza) corrisponde ad un range di 20

dB infatti (da 0 a 20 oppure da 20 a 40 ecc…):

( ) = ⋅ =

20 Log 1 20 0 0 ϕ

( ) = ⋅ =

20 Log 10 20 1 20 τ

1 /

( ) ϖ

= ⋅ =

20 Log 100 20 2 40

Pertanto sbagliare di qualche dB significa fare errori molto

grandi. -

ϖ ≅

= 20 Log (

1

) 0 dB

Per =>

0 ≅ −

ϖ τ

= 20 Log ( 0

, 707 ) 3

dB

Per =>

1 / -

ϖ τ ≅ −

= 20 Log ( 0

, 099 ) 20 dB

Per =>

10 / ≅ −

ϖ τ

= 20 Log ( 0

,

099 ) 40 dB

Per =>

100 /

RISPOSTA IN FREQUENZA PER UN SISTEMA DEL SECONDO ORDINE

y ( s ) K ' K

= = =

G ( s ) ξ

2 2

ξσ σ

+ +

2 s 2

u ( s ) s 2 s + +

s 1

n n σ

2

σ n

n ξ=0

 

y

 

0

20 Log  

Ku

 

0 ξ<1

Il periodo di oscillazione è il

σ ϖ

seguente: n

ξ>1 π

2

=

T σ ξ

− 2

1

n

Decremento logaritmico:

-40dB/dec

È definito come il logaritmo tra

due massimo successivi.

Da cui ricavo lo smorzamento

del sistema.

ϖ

Overshoot %:

-90°

-180°

y ku

δ = max 0 2

ξπ ξ

− −

/ 1

ku e

0

Di solito è intorno al 7%

Il picco di overshoot è tipico dei sistemi sotto smorzati, in particolare i sistemi si dividono in:

ξ

< <

0 0

,

707

- sistemi fortemente sotto smorzati - in questi sistemi è ancora possibile vedere

overshoot ξ

< <

0

, 707 1

- sistemi debolmente sotto smorzati - pur essendo sotto smorzati non presentano

più overshoot ξ >

1

- sistemi sovra smorzati - totale assenza di overshoot

Per sistemi sotto smorzati il massimo della curva NON coincide con la frequenza propria ma è un

σ σ ξ

po’ prima di essa, per trovarlo deriviamo il modulo: = − 2

1

s n

ϖ 1

d G ( j ) ϖ =

σ σ ξ G ( j )

= − 2

1

= => e il picco vale:

0 max ξ ξ

ϖ n − 2

G ( j ) 2 1

dt max 1

ξ

< < ξ

< <

0 0 0

, 707

Da ciò si vede che il picco massimo può esistere solo se ovvero .

2 σ

Un sistema del II ordine sovra smorzato (con due radici reali n 1/τ

2

distinte) può essere visto come la sovrapposizione di due 1/τ

sistemi del I ordine, tra i due ovviamente comanda quello con 1 -20dB/dec

la costante di tempo più alta, ovvero il più lento.

σ τ

La (come la del primo ordine) costituisce di nuovo il

1 /

n

punto di incrocio dei due asintoti di bassa e di alta frequenza, -20dB/dec

però NON corrisponde più ad una frequenza per la quale ho un

ampiezza pari a -3 dB. Il sistema scende mediamente con -40 -40dB/dec

dB/dec, ovvero ogni ordine di grandezza di frequenza

corrisponde a due ordini di grandezza dell’ampiezza.

σ

Si può trovare una corrispondenza tra la e le due costanti

n

τ τ -90

,

di tempo :

1 2 -180

τ τ τ τ

1 1 1 / 1 /

= = = =

G ( s ) 1 2 1 2

( )

( )( ) ( ) τ τ

+ 1

τ τ τ τ τ τ

+ + + + + 2 2

σ ξσ σ

2 + +

2

s 1 s 1 s s 1 s 2 s Da cui

+ +

2

s s

1 2

1 2 1 2 1 2 n n n

τ τ τ τ

1 2 1 2

1

σ =

ricavo che: n τ τ

1 2 σ

τ

1 /

In questo caso si vede che -3dB li raggiungo per , pertanto per sono molto più in basso di

n

1

τ

1 /

-3 dB. Poiché taglio già a non conviene portarsi dietro tutta il sistema di secondo ordine,

1

pertanto sistemi di questo genere è preferibile approssimarli direttamente con sistemi del primo

ordine.

τ τ

1 / 1 /

Se e sono abbastanza lontani (caso in figura) si riescono a vedere i due flessi in

1 2 τ τ

1 / 1 /

corrispondenza di e , se invece le costanti di tempo sono vicine allora si vede un unico

1 2 σ

flesso per -90° in corrispondenza di n

Un sistema del secondo ordine sotto smorzato può presentare una risposta ad un comando a gradino

con overshoot piccolo come mostrato a sinistra, in realtà non è l’uscita che è sbagliata ma il

comando che probabilmente è costituito da un gradino non sufficientemente veloce e pertanto la

risposta che ottengo è quella a destra tipica di un comando a rampa:

In generale, guardando un diagramma di Bode, se l’ordinata presenta anche dei valori negativi

allora siamo in scala logaritmica. Se si dispone di un diagramma di Bode sperimentale è bene

guardare prima la fase, perché di solito è quella che perde di più all’aumentare della frequenza, se

partissi dall’ampiezza rischierei poi di avere una perdita sulla fase troppo ottimistica.

Il sistema di sinistra è approssimato con una fase di un sistema del I ordine, quello di destro con una

fase del secondo ordine.

Se si assume la frequenza in scala logaritmica si vedono bene le direzioni delle tangenti. Per un

τ

sistema del primo ordine l’intersezione dei due asintoti è proprio la frequenza pari (dove ho -3

1 / σ

dB), per un sistema del secondo ordine l’incrocio degli asintoti è proprio la frequenza pari a n

ζ = 0 .

707

(dove ho -3 dB solo se ). LO SPAZIO DEGLI STATI

Passando alle trasformate di Laplace: = +

s X ( s ) A

X ( s ) B

U ( s )

= +

Y ( s ) C

X ( s ) D

U ( s )

( ) −

1

= − ⋅ ⋅

X ( s ) Is A B U ( s )

( )

( ) −

1

= ⋅ − ⋅ +

Y ( s ) C sI A B D U ( s )

Ogni elemento della matrice così ottenuta rappresenta la funzione di trasferimento tra l’uscita

i-esima e l’ingresso j-esimo.

ESEMPIO – SERVOVALVOLA PNEUMATICA PROPORZIONALE IN PORTATA

x

v

F

ss F fl

V

SET K V

p RIF K

V Tx V

F / B SET x

v

F fl

Le equazioni che regolano il sistema sono le seguenti:

di

= ⋅ +

V R i L

RIF dt

( )

− =

V V K V

SET F / B p RIF

= ⋅

F k i

ss F β

− = + +

F F m

x x kx

 

ss fl v v v

=

V K x

F / B Tx v

Abbiamo cinque equazioni differenziali, l’ordine del sistema è la somma degli ordini delle

equazioni differenziali pertanto:

1 + 0 + 0 + 2 + 0 = 3

Tale sistema può essere dunque riscritto come un sistema di 3 equazioni differenziali del primo

ordine. di

( )

− = ⋅ +

V V k R i L

SET F / B p dt

β

⋅ − = + +

k i F m x x kx

 

F fl v v v

[ ]

di 1 ( )

= − − ⋅

V V k R i

SET F / B p

dt L

2

d x d dx

=

v v

2

dt dt dt

 

d dx 1 dx

β

= + + ⋅ −

kx k i F

v v

 

v F fl

 

dt dt m dt

Scelgo gli input e gli output:

=

u V

1 SET

=

u F

2 fl

=

y x

v

Scelgo gli stati: di

=

x

 1 dt

=

x i

1 dx

=

=

x x v

x

=> 

2 v 2 dt

=

x x

3 v d dx

=

x v

 3 dt dt

[ ]

1

= − − ⋅ +

x k k x R x k u

 1 p Tx 2 1 p 1

L

=

x x

 2 3

1 [ ]

β

= − − + ⋅ −

x x kx k x u

 3 3 2 F 1 2

m

 

− −

     

x R / L k k / L 0 x k / L 0

 1 p Tx 1 p  

u

        1

= +

x 0 0 1 x 0 0

     

   

2 2 u

 

   

   

β 2

− − −

x k / m k / m / m x 0 1 / m

   

 

3 f 3

Si ottiene dunque la matrice delle funzioni di trasferimento, in questo caso le funzioni sono due

perché due sono gli ingressi e ho un solo output:

 

y ( s ) y ( s )

[ ] =

G ( s )  

u ( s ) u ( s )

 

1 2 F fl

i

V F x

1

SET ss v

1 k

k β

+ +

2

p ms s k

F

+

Ls R

V

F / B k

Tx

Si può scrivere almeno una delle due funzioni di trasferimento dallo schema a blocchi:

k k

f p

( )

( ) β

+ + +

2

x G ( s ) Ls R ms s k

= =

v k k k

+

V 1 G ( s ) H ( s ) + f p Tx

1 ( )

SET ( ) β

+ + +

2

Ls R ms s k

CONVERTITORI TERMICI/MECCANICI

I due pezzi vengono laminati insieme e quindi giuntati nel loro punto di contatto.

, C’è una temperatura di riferimento alla quale i due materiali presentano la stessa

lunghezza. Poiché i due coefficienti di dilatazione termica sono differenti in

seguito ad un aumento di temperatura una lamina si deforma più dell’altra. La

temperatura è una grandezza che può frequentemente influire sulla precisione

degli strumenti, talvolta essa può essere compensata con sistemi meccanici, in

altri casi si rende invece necessario misurarla per controllarla.

CONVERTITORI MECCANICI/PNEUMATICI

Lo spostamento dell’otturatore permette di variare la

resistenza R . Se l’otturatore è chiuso la pressione p è

x u

pari alla pressione di alimentazione (l’unica perdita è

R costituita dalla resistenza fissa R ma tale perdita si

p R

x annulla se non c’è passaggio di portata, si noti inoltre

p

0 A che più il diametro della resistenza fissa è piccolo e più

la valvola è sensibile allo spostamento del cassetto). La

resistenza variabile funziona da sfiatatoio attraverso il

quale passa una portata laminata, tale perdita di portata

fa diminuire la pressione nella camera della valvola. Al

limite la pressione p può diminuire fino al valore p .

p u 0

Bisogna considerare inoltre che nel condotto p non

u u

passa portata (tale valvola può essere pensata per

comandare i pilotaggio di una valvola a cassetto dove i

=

G G

valori di portata sono trascurabili, si ha ).

1 2

p

R p G

p R p u Ugello R

p

0 x u A 1 Ugello R

x

A x aum

G G

2 1 G

p

p 0 2

x p

p p p

u x cr 0 u

A

α =

tg R

La curva caratteristica può essere generalmente approssimata con una retta (operazione di

p ,

0

linearizzazione), tra le rette possibile generalmente si utilizza la secante all’ellisse nei punti ( )

A

p , G

e ( ). Per ottenere la linearizzazione scriviamo la retta passante per questi due punti:

cr sonic

− − −

p p p bp 1 b

= = =

R A cr A A dove grazie alla normativa CETOP abbiamo nota l’equazione

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅

G C p C

sonic A anr anr

vera e propria dell’ellisse che rappresenta la caratteristica dell’ugello R:

2

 

p −

 

b

u p p

p = =

  ρ b

u cr

= ⋅ ⋅

G C p

da cui perché

ρ

= ⋅ ⋅ ⋅ −

G C p 1 A sonic A anr

  p p

A anr −

1 b A A

 

 

ρ è la densità del gas in condizioni standard (Ambient Normal References) pari a 20 °C e 1 bar.

anr

La retta secante che linearizza la caratteristica dell’ugello fisso R ha dunque equazione seguente:

ρ

C ( )

= −

G p p

anr

1 A u

1 b G

2

Adesso dobbiamo linea rizzare la caratteristica dell’ugello variabile cost

Rx. Per fare questo cercheremo l’equazione della retta tangente alla

=

p p

caratteristica vera nel punto .

u A

Anche di questa disponiamo dell’equazione dell’ellisse dell’ugello: p

p p

0 u

A

2

 

p −

 

b

0 p

p =

  b 0

dove e

ρ

= ⋅ ⋅ ⋅ −

G C ( x ) p 1 u

  p

u anr −

1 b A

 

 

= ⋅

C ( x ) k x p p

(NB: in questo caso è la pressione di valle che è fissa mentre varia quella di monte , al

0 u

=

p p

limite il massimo divario di pressione si ha quando )

u A

( ) ( ) ( )

− − − − −

p p p p / b p 1 1 / b p b 1 b 1

= = = = =

R 0 A 0 0 0 0 p

ρ ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

G C ( x ) p C ( x ) p C ( x )

ρ

⋅ ⋅ ⋅

C ( x ) b

0

sonic A anr A anr anr

anr

b

La retta secante che linearizza la caratteristica dell’ugello variabile Rx ha dunque equazione

seguente: ρ

C ( x ) ( )

= −

G p p

anr

2 u 0

1 b

Questa equazione è non lineare perché anche la capacità dipende dalla x. Per linearizzarla scriviamo

p , x

lo sviluppo di Taylor al primo ordine in un intorno di un punto :

u

∂ ∂

G G

( ) ( )

= + ⋅ − + ⋅ −

G G ( p , x ) p p x x

2 2

2 2 u u u

∂ ∂

p x p , x

u p , x u

u

Sapendo inolytr ρ

ρ ∂ ⋅

∂ ⋅ ⋅ G k

G k x ( )

= ⋅ −

= p p

2 anr

2 anr

Dove: u 0

∂ −

∂ −

p 1 b x 1 b

u p , x

p , x u

u =

G G

Uguagliando le due equazioni di portata si ottiene:

1 2

( )

x p p k

x

+

u 0

k p p

A u

C x C

= − +

p x

u k

x k

x

+ +

1 1

C C

CONVERTITORE UGELLO/OTTURATORE (FLAPPER/NOZZLE)

x = 0 Φ Φ

p p

p u 0

A 1 2

Φ Φ p

p G G

0

A 1 2 1 2

p

x u

p

u

È bene che il foro della prima resistenza (quella variabile) sia più grande di quello della resistenza

fissa, se infatti fosse troppo piccolo avrei in esso tutte le perdite e non avrei una sufficiente

sensibilità alla posizione dell’otturatore. Quello che faremo ora è ricavare la caratteristica dinamica

(mentre invece prima abbiamo ottenuto quella statica) partendo dai dati sperimentali, ovvero linea

rizzando dei grafici come indicato nella figura di seguito: G

G G 2

Ugello Ugello

1 2 aum

=

p p

x =

= u u

G G

1 2 x aum

p p p p x

x

p p

u 0 u

A

u u p , x

Per fare questo dobbiamo linearizzare le tre curve in un intorno di un punto .

u

G ( ) ( )

= + ⋅ − = + −

G G ( p , x ) p p G k p p

1

1 1 u u u 1 1 u u

p

u p , x

u

∂ ∂

G G

( ) ( ) ( ) ( )

= + ⋅ − + ⋅ − = + − + −

G G ( p , x ) p p x x G k p p k x x

2 2

2 2 u u u 2 2 u u 3

∂ ∂

p x p , x

u p , x u

u

k , k , k p , x

Dove sono le pendenze delle rette tangenti alle curve nei punti e sono ricavabili

1 2 3 u

guardando i grafici dei dati sperimentali. La caratteristica statica in tal caso è già ricavata perché è

p

sufficiente eguagliare le portate e scrivere in funzione di x.

u

Nel caso dinamico, durante il transitorio, c’è sempre una variazione di portata che può essere così

espressa: ρ ρ ρ

dM d V dV d d

ρ

− = = = + =

G G V V (perché per noi il volume dell’ugello è fisso)

1 2 dt dt dt dt dt 1

1 / n

  −

1

p ρ ρ    

n d p dp

=

n n

ρ ρ  

pv p v =

=> =>  

=  

i

   

i

i i p

   

dt np p dt

 

i i i

1 −

1

 

ρ  

d 1 p dp

n

 

=  

u u u

 

⋅ ⋅

dt R T n p dt

 

 

gas u i

i

Supponiamo che la trasformazione sia isoterma n = 1 (approssimazione eccessiva): significa

pensare ad una valvola molto molto lenta in cui ho tutto il tempo di far disperdere il calore

attraverso le pareti:

V dp

− = u

G G

1 2 R T dt

gas u i

Sapendo che le portate hanno le seguenti espressioni lineari ricavate prima:

( )

= + −

G G k p p

1 1 1 u u

( ) ( )

= + − + −

G G k p p k x x

2 2 2 u u 3

Otteniamo: V dp

( )( ) ( )

− − − − = u

k k p p k x x =

dove G G

1 2 u u 3 R T dt 1 2

gas u i

δ δ

− = − =

p p p

Chiamiamo ; x x x

u u u

δ

V d p V

( ) ( )

δ δ

− + = − δ δ δ

− + = −

u

k k p k x k k p ( s ) s p ( s ) k x ( s )

=>

2 1 u 3 2 1 u u 3

R T dt R T

gas u

gas u i

i k

− 3

( )

δ − −

p ( s ) k K

k k

= = =

u 3 2 1

δ τ

    +

x ( s ) s 1

V V

( )

− + +

k k s s 1

   

( )

2 1 −

R T R T k k

   

   

gas u gas u 2 1

i i

CONSIDERAZIONI SUI TRANSITORI IN REGIME DINAMICO – SISTEMA ATTUTATORE

SERVOVALVOLA V

SET

p p V

1 2 F / B

x F

E

V e t

F / B Q Q

1 2

e

V V x

SET RIF v Il ritardo della valvola

C dipende da quanto

questa è veloce.

Q ,Q Il caso ideale vuole che non si crei

x accumulo (massa costante) per

1 2 fare questo occorre che le portate

v siano uguali, inoltre le pressioni

A A A A devono variare poco.

3 2 1 4 p , p Le pressioni sono tanto più

grandi quanto più grandi sono

1 2 le inerzie (perché devo

accelerare oggetti più pesanti)

Ho un ritardo sulla velocità

x

 perché l’attuatore è un

integratore puro (infatti ho

errore a regime nullo pur

avendo un solo controllo

proporzionale)

ε

Centro chiuso Centro critico Centro aperto

(ricoprimento positivo) (ricoprimento nullo) (ricoprimento negativo)

Possiamo avere diverse simmetrie di aree:

= − =

A A A A

1 2 1 3

oppure

= =

A A A A

3 4 2 4

A p s A A

1 2

Q Q

Q Q

1 2

L

Centro aperto Centro critico v v

O

p p

1 2

A

D

1 2

A A

A ,A Centro chiuso

2 4 p 3

4

A ,A

1 3 Q Q

T 4 3

v v

ε x

v = −

Q Q Q

− −

p p p p 1 1 4

v v

= =

Q C A 2 Q C A 2

s 1 s 2

... …

ρ = −

ρ

1 d 1 2 d 2

v v Q Q Q

2 3 2 v

v

= = = =

A A A A A

Dove a centro critico abbiamo: 1 2 3 4 v

= =

Q Q Q

In generale se non abbiamo accumulo si ha .

L 1 2

= −

Q C A p p

1 d v s 1 − = −

p p p p

Si ottiene: => s 1 2 T

= −

Q C A p p

2 d v 2 T ( ) ( )

− = − − −

− + − = − + − 2 p p p p p p

p p p p p p p p

=> => s 1 s T 1 2

s 1 s 1 2 T s 1

− − ∆

p p p

=

Q C A s T L

Dunque: ρ

L d v =

Q C A

Q L d v

L A

v Per linearizzare questa superficie è possibile

trovare l’equazione del piano tangente ad

essa in un punto qualunque della superficie

stessa.

= + ∆

Q K A K p

L Q v pQ L

∂ ∂

Q Q

= =

;

K K

L L

Q p

∂ ∂

A p

Q

v L ∆

∆ A , p

A , p

v L v L

p p

s T ∂

K p

= − =

Q L

K P

∆ ∂

K A

p p v ∆

A , p

Q

L v l

3 3

m m

K [ ] K [ ]

Q p

2

sm sPa

Q ∆

p L

aum −

p p

s T

102 −

− ⋅ 11

1 10

240

95 210 −

− ⋅ 11

2 10 1%

90 20%

p L

p p

s T

p L

p p

s T x

5

% x v

v max

II ordine K K

x Q K

pQ

p p

1 2 ATTUATORE

Q Q

1 2

x 0

= −

V V Ax

2 2 0

= +

V V Ax

1 1

0

= =

V V Ax

1 2 0

0 0 ± x

La corsa è .

0

Scriviamo l’equazione di continuità della massa in un dato volume:

( )

ρ ρ

( ) dm d V d dV

∑ ∑

ρ ρ

− = = = +

Q Q V

IN OUT dt dt dt dt =

Q 0

Per ogni camera avremo (trascurando le portate di fuga ):

OUT

ρ ρ ρ

dV

d dV d dx d

ρ ρ ρ ρ ρ

= + = + + = +

1

Q V V A V A

x

1 0 

1 1 1 1

0 0

dt dt dt dt dt dt

Per la comprimibilità dei fluidi abbiamo:

ρ ρ ρ

d dV dp d dp β

= = − =

=> dove è il coeff. di comprimibilità.

ρ β β

V dt dt

Abbiamo quindi per ogni camera:

V dp (1)

− = 1

Q A

x 1

0

 β

1 dt

V dp (2)

− = 2 2

A x Q 0

 β

2 dt

Posso dunque fare (1) - (2):

V d V d

− = ∆ − = ∆

2

Q 2 A

x p Q A

x p

 

=>

β β

L L L L

dt 2 dt

A questa aggiungiamo la relazione di equilibrio dello stelo:

γ

∆ ⋅ − − − =

p A m

x x F 0

 

L e V

TRASDUTTORE F / B

V

= F / B

k max V

È riassumibile come un guadagno statico , si

T x x F / B max

0

ricorda che in tutti i sistemi è importante che il trasduttore abbia x

− x x

una dinamica molto più veloce degli altri componenti affinchè il 0 0

feedback non arrivi in ritardo.

CONTROLLO V

x

Il controllo può essere PID o solo proporzionale. Dovrò avere un guadagno tra e pari

SET x SET

=

k k

a perché il campo di variazione del trasduttore deve coincidere con quello del comando.

SET T x ( )

= ⋅ −

V G V V

Avremo quindi: rif c SET F / B Si

nota che il disturbo di un sistema è sempre il duale di potenza della variabile controllata (se

controllo una posizione il duale è una forza, se controllo una portata il duale è la pression).

L’attuatore pneumatico è analogo al motore elettrico infatti nel primo entro con una portata per

controllare lo spostamento e devo passare dalla pressione, nell’altro entravo con una tensione per

controllare lo spostamento e dovevo passare per la corrente. In entrambi la forza è un disturbo.

A

Esiste quindi una caratteristica statica tra e questo significa che se apro la luce di una certa

x

v

quantità ottengo una certa velocità costante.

Il sistema è dunque del 5 ordine (vedi le equazioni indicate), possiamo trasformarlo in un analogo

sistema costituito da una parte del II ordine per la servo valvola, una parte del secondo ordine per

l’attuatore e una parte del primo ordine per passare dalla velocità alla posizione, otterremo:

La

rigidezza pneumatica:


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DETTAGLI
Esame: Meccatronica
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher steo_berto di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccatronica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino - Polito o del prof Sorli Massimo.

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