Meccanica Razionale: vincoli

Vincoli

Assegnato un sistema materiale S, si dice

Configurazione: all'istante t₀. L'insieme delle posizioni occupate dai punti del sistema in quell'istanterispetto a un dato osservatore

1. Un sistema si dice libero (rispetto ad un osservatore)quando può assumere qualunque configurazione (posizione)nello spazio fisico.
2. Un sistema si dice vincolato, quando la sualibertà di movimento è limitata da altri corpi(incastri, cerniere ...).
3. Le condizioni che limitano le posizioni e levelocità dei punti del sistema S sono dettevincoli: Matematicamente i vincoli sono descritti daequazioni o disequazioni che legano le coordinate dei puntiP_i di S e le derivate rispetto al tempo.

Si consideri il sistema di punti materiali S: P_i,

Un generico vincolo verrà descritto da

f(x₁, y₁, z₁, ..., x_N, y_N, z_N, ẋ₁, ẏ₁, ż₁, ..., ẋ_N, ẏ_N, ż_N, ℰ) ≥ 0

Ci saranno tante condizioni quanti sono i vincoli.

Vincoli

Assegnato un sistema materiale S, si dice

Configurazione: Gli istanti t_o. L'insieme delle posizioni occupate dai punti del sistema in quell'istante rispetto a un dato osservatore

1. Un sistema si dice Libero (rispetto ad un osservatore) quando può assumere qualunque configurazione (posizione) nello spazio fisico
2. Un sistema si dice vincolato, quando la sua libertà di movimento è limitata da altri corpi (incastri, armieri, ...)
3. Le condizioni che limitano le posizioni e le velocità dei punti del sistema S sono dette vincoli. Matematicamente i vincoli sono descritti da equazioni o disequazioni che legano le coordinate dei punti P_i di S e le derivate rispetto al tempo

Si consideri il sistema di punti materiali S: {P_i} i=1,2,3,...N

Un generico vincolo verrà descritto da

f(x₁, y₁, z₁, ..., x_N, y_N, z_N, ẋ₁, ẏ₁, ż₁, ..., ẋ_N, ż_N, t) ≥ 0

Ci saranno tante condizioni quanti sono i vincoli

1) Si dice GRADO DI LIBERTA' del sistema S il numero di parametri scalari indipendenti, necessari e sufficienti per individuare in ogni istante le possibili configurazioni del sistema.

Il numero di gradi di libertà di S dipende dal sistema considerato.

I parametri scalari sono le coordinate LAGRANGIANE q₁...q_m

le derivate rispetto al tempo q̇₁,...,q̇_m sono dette VELOCITA' GENERALIZZATE.

CLASSIFICAZIONE DEI VINCOLI

1) Un vincolo si dice BILATERO se le relazioni che legano coordinate e derivate sono equazioni.

f_j(x₁,y₁,z₁,...,z_m,ẋ₁,...,ż_m,t) = 0 ; j = 1,...,m

con m pari al numero di relazioni (vincoli) presenti.

✶) Il vincolo è invece UNILATERO se c'è almeno una disuguaglianza fra le relazioni presenti.

2) Un vincolo è FISSO se le relazioni f_j non dipendono esplicitamente dal tempo:

f_j(x₁,...,z_m,ẋ₁,...,ż_m) ≷ 0 ; 5 = 1,...,m

Se ciò non è vero, allora il vincolo è MOBILE

3) Un vincolo si dice OLONOMO (o di posizione) quando

la f_k non dipendono dalla velocità:

f_j (x₁, x₂, x₃, ..., x_m, t) > 0            j = 1, ..., m

In caso la f_k pongano delle relazioni anche fra

le velocità generalizzate il vincolo è detto

ANOLONOMO (o do mobilità).

4) Un sistema S - P₁, P₂, ..., P_N libero nello spazio ha

3N gradi di libertà.

In caso ci siano vincoli bilateri (equazioni) con

equazioni indipendenti, il numero di coordinate

lagrangiane libere (e quindi di gradi di libertà)

diventa l = 3N - m            (l = caratteristiche mancanti)

Quindi, l = 3N - m coordinate lagrangiane sono

sufficienti a individuare la configurazione del

sistema.

5) Al contrario, vincoli unilateri non riducono

i gradi di libertà; essi si limitano a restringere

gli intervalli di valori che le coordinate lagrangiane

possono assumere.

6) INDIPENDENZA DELLE EQUAZIONI VINCOLARI

Consideriamo m_k equazioni vincolari per vincoli

olaterici e olonomi:

f₁ (x₁, ..., x_n, t) = 0

...

f_m (x₁, ..., x_n, t) = 0

(*)

Vogliamo sapere se le m equazioni sono indipendenti.

Si calcola allora la matrice Jacobiana:

𝒵 =

_{𝜒₋ 𝜓₋}