Meccanica Razionale: vincoli

Vincoli

Assegnato un sistema materiale S, si dice:

• Configurazione: all'istante t₀. L'insieme delle posizioni occupate dai punti del sistema in quell'istante rispetto a un dato osservatore
• Un sistema si dice libero (rispetto ad un osservatore) quando può assumere qualsiasi configurazione (posizione) nello spazio fisico
• Un sistema si dice vincolato, quando la sua libertà di movimento è limitata da altri corpi (macchine, ambiente...)
• Le condizioni che limitano le posizioni e le velocità dei punti del sistema S sono dette vincoli: Matematicamente, i vincoli sono descritti da equazioni e disequazioni che legano le coordinate dei punti Pi di S e le derivate rispetto al tempo.

Si consideri il sistema di punti materiali S: [P_i] i=1,2,...,N Un generico vincolo verrà descritto da

f(x₁, y₁, z₁, ..., x_N, y_N, z_N, ẋ₁, ẏ₁, ż₁, ..., ẋ_N, ĵN, ż_N, t) ≥ 0

Ci saranno tante condizioni quanti sono i vincoli.

1) Si dice GRADO DI LIBERTÀ del sistema S, il numero di parametri scalari indipendenti, necessari e sufficienti per individuare in ogni istante le possibili configurazioni del sistema.

Il numero di gradi di libertà di S dipende dal sistema considerato.

I parametri scalari sono le coordinate LAGRANGIANE q₁,..., q_n. Le derivate rispetto al tempo q̇₁,..., q̇_n sono dette VELOCITÀ GENERALIZZATE.

CLASSIFICAZIONE DEI VINCOLI

1) Un vincolo si dice BILATERO se le relazioni che legano coordinate e derivate sono equazioni.

f_i(x₁, y₁, z₁,..., z_m, ẋ₁,..., ż_m, t) = 0   i = 1,..., m

con m pari al numero di relazioni (vincoli) presenti.

*) Il vincolo è invece UNILATERO se c'è almeno una disuguaglianza fra le relazioni presenti.

2) Un vincolo è FISSO se le relazioni f_inon dipendono esplicitamente dal tempo:

f_i(x₁,..., z_m, ẋ₁,..., ż_m) > 0   i = 1,..., m

Se ciò non è vero, allora il vincolo è MOBILE

1)

_∂f/_∂x(x₀, y₀) ≠ 0

2)

_∂f/_∂y(x₀, y₀) ≠ 0

(_∂f/∂x)² + (_∂f/∂y)² ≠ 0

∇f(x₀, y₀) ≠ 0

∀(x, y) ∈ C

Ovvero f(x, y) = 0 ha soluzioni e sono continue in C ≠ ∅ e le derivate parziali sono diverse da zero

3) La funzione f(x, y) descrive una curva sul piano, e i punti che costituiscono la curva sul piano definiscono l’insieme C, l’attenzione non il dominio

Attenzione: nonostante otteniamo una curva, la funzione la scriviamo come f(x, y) perché consideriamo il caso più generale possibile, cioè ad esempio, come la circonferenza, possiamo avere 2 valori di x per alcuni y (e viceversa).

Vincoli Multipli

Abbiamo visto che per il caso di vincolo semplice valgono le condizioni

|∇P(x, y, z₀)| ∈ C ≠ ∅

|∇P ≠ 0|

Consideriamo due funzioni che potrebbero esprimere vincoli multipli:

1. x² + y² + z² = 0
2. x² + y² = 0

per le quali le condizioni sopra dette non sono verificate e che non rappresentano dunque vincoli semplici.

(a) equivalente alla tre equazioni: x = 0, y = 0, z = 0 per cui: C = ∅

(b) equivalente alle due equazioni: x = 0, y = 0, lascia libero l'unico parametro z: l'insieme C coincide con l'asse z, nei punti del quale le condizioni suddette non sono soddisfatte

Risulta essere molto utile ricondurre i vincoli multipli ad una sovrapposizione di vincoli semplici in modo opportuno. Questo perché essendo valide le condizioni sopra citate |∇P(x₀, y₀, z₀)| ∈ C ≠ 0, |∇P ≠ 0|

Possiamo allora affermare che sia in condizioni statiche che dinamiche una superficie si definisce priva d'attrito quando è capace di esplicare reazioni vincolari perpendicolari ad esso e di verso qualsiasi.

Cambiamento Di Coordinate Lagrangiane

Abbiamo introdotto un sistema di coordinate Lagrangiane associato ad un estremo {P₁, P₂, ..., P_n} con l' (contrattivo) parametro indipendente variabile in intervalli aperti e tali che per esso si possono scrivere le equazioni.

1. x_k = x_k(q₁, q₂, ..., q_n)
2. y_k = y_k(q₁, q₂, ..., q_n)
3. z_k = z_k(q₁, q₂, ..., q_n)

(*)      k = 1, 2, ... , m

Soddisfacenti le condizioni enunciate

l'aver imposto che gli intervalli di variabilità siano aperti comporta che le configurazioni del sistema {P₁, P₂, P_m} così rappresentate non sono in generale tutte le configurazioni possibili, ma soltanto di una configurazione {P₁', P₂', P_m'} ∈ V

ossia tali che i punti P₁', P₂', ..., P_m' cadano in convenzione interna {P₁', P₂', P_m'} ciò fa sì che in generale occorra più di un sistema di coordinate Lagrangiane per "rappresentare" (nel senso della (*)) tutte le configurazioni del sistema considerato, mentre alcuno di questi sistemi di coordinate costituisce una rappresentazione di carattere locale.