Meccanica Razionale: Vettori

Momento di un vettore

Si consideri una retta orientata r con verso e un punto T ∈ r. Si consideri anche il vettore applicato (P, J_HINT_calare_sotto), contenuto nel piano passante per T e perpendicolare ad r. (T) Il vettore (P, J_HINT_calare_sotto) è levogiro rispetto ad r ⟺ la terna (P-T, J__r) è levogira.

Nota

Le operazioni di Momento Polare e di momento Assoluto, di seguito definite, riguardano esclusivamente i vettori applicati (ovvero i vettori attraverso cui si definiscono tali momenti sono applicati e non i momenti stessi).

Momento polare

Dato il vettore applicato (P, J), si definisce Momento Polare rispetto al polo T, il vettore libero[ M_T = (P-T) × V_T ]

Momento di un vettore

Si consideri una retta orientata r con verso e_z e un punto T ε r. Si consideri anche il vettore applicato (P; J∗) contenuto nel piano passante per T e perpendicolare ad r. (H) Il vettore (P; J∗) è levogiro rispetto ad r ↔ la terna (P-T; J∗; e_z) è levogira.

Nota

Le operazioni di Momento Polare e di momento Assoluto di seguito definite, riguardano esclusivamente i vettori applicati Øwer i vettori attraverso cui si definiscono tali momenti sono applicati e non i momenti stessi.

Momento polare

Dato il vettore applicato (P; J∗) si definisce Momento Polare rispetto al polo T, il vettore libero[M_T = (P-T) × V_T]

1. Il modulo del vettore momento è ^{|M(T)| = |P-T||J|senφ} (con φ = (P-T), J; φ ∈ [0; π]; che è uguale all’area del parallelogramma costruito sui vettori (P-T) e J, area che può essere espressa dal numero reale non negativo J_h, in cui h è distanza di T dalla retta di giacitura del vettore J, detto braccio; ⇒ |M(T)| = J h.
2. M_T ha direzione perpendicolare al piano Π individuato dal punto T e dal vettore (P-T).
3. Verso di M_T tale che (P-T, J, M_T) sia una terna levogira.

Ricordiamo: L’altezza h del parallelogramma coincide con la distanza del polo T dalla retta di azione di (P-T); h è il braccio di J rispetto a T.

Proprietà del momento polare

1. |M_T| = h |J| ⇒ se |M_T| = 0 ⇔
   • J = 0
   • h = 0
   • ⏒ Il polo di calcolo appartiene alla retta di azione di (P; J)
2. M_T non varia se v si sposta sulla retta d'azione di (P, J) [h = cost]

M_T = (P-T) x J

M_T' = (P'-T) x J

Si dimostra infatti che M_T' - M_T = (P'-P) x J = 0 ⇒ M_T = M_T'

Variazione del momento al variare del polo

M_A = (P-A) x J , M_B = (P-B) x J [con M_A ≠ M_B]

M_A - M_B = (B-A) x J ⇒ M_A' = M_A + (B-A) x J

Momento assiale

Sia una retta r di versore a con O ∈ r. Considerato il vettore applicato (P, J) si ha:

M_O = (P-O) x J, M_OL = (P'-O') x J

Applicando la formula di trasposizione dei momenti otteniamo:

M_o = M_o* + (O' - O) × ȷ

Allora, volendo considerare la componente (che siamo salvaso) di tali momenti sulla retta z di versore e, moltiplichiamo scalarmante per lo stesso versore | M_o·e | = | M_o*·e | e sostituendo tale risultato nella formula di trasposizione dei momenti prima ottenuta, abbiamo:

M_o·e = M_o*·e + (O'.O) × ȷ · e

dove il prodotto misto dei tre vettori è nullo perché complanari [(O'.O) x ȷ · e = 0 : Complanarità]

Per cui risulta:

[ M_o·e = M_o*·e ] ∀ O, O' ∈ Z(1) ricordiamo però M_o ≠ M_o* perché n ≠ n

DEF.: I momenti polari di un vettore applicato (P; ȷ) rispetto ai punti di una stessa retta z hanno stessa componente su z. Tale componente che ricordiamo essere una scalare, prende il nome di momento assiale

[ M_z = M_o^*·e = (P-O) × ȷ · e ] ∀ ɵ ∈ z

Lo scalare M_z non dipende dal polo scelto su z ma soltanto dal vettore applicato (P; ȷ) e dalla retta orientata z.

Consideriamo la retta orientata z di versore z e il piano π ⊥ z e sia anche O ∈ z, O ∈ π O punto di intersezione fra la retta z e il piano π.

Ora scomponiamo il vettore J nella sua componente secondo z (J_II) e nella sua componente seconda π (J_⊥) dove per ovvie considerazioni J_II è parallelo al z e J_⊥ è invece ad esso perpendicolare.

J = J_II + J_⊥

Quindi possiamo scrivere il momento assiale come:

M_z = (P-O) x (J_⊥ + J_II) • z == (P-O) x J_⊥ • z + (P-O) x J_II • z

L’elemento (P-O) x J_II • z = 0 perché complanari

abbiamo

M_z = (P-O) x J_⊥ • z = ± |J_⊥| |P-O| sen∡ e,z = ± |J_⊥| |h|

Il segno dipende dal fatto che (P,O) sia uscente o no rispetto ad z e

Quindi M_z = 0 se

• J_⊥ = 0 ➝ (J = 0 ; J || z)
• |h| = 0 ➝ (sen∡ = 0 ➝ (P-O) || J_⊥ oppure (P-O) ⊥ J_⊥ )

NOTA: se h=0 z e J risultano essere complanari

Quindi possiamo concludere che M_r = 0 quando e solo quando J = 0 (null) oppure la retta r e complanare con la retta d’azione di (P, F)

Sistemi di vettori applicati

Consideriamo una regione di spazio Ω. Sia J una funzione vettoriale che associa ad ogni punto P ∈ Ω il vettore J(P)

1. L'insieme di vettori applicati S = { (P, J(P)) }_{P ∈ Ω} è un campo vettoriale di base Ω
2. Se l'applicazione J associa solo un numero finito di vettori applicati, allora si ha un Sistema di Vettori Applicati

S = { (P₁, J₁), (P₂, J₂), (P₃, J₃), … , (P_N, J_N) }

Risultante & Momento Risultante

1. Nel caso di campi vettoriali si ha

R = ∫_Ω J(P) dΩ , M_o = ∫_Ω (P - O) × J(P) dΩ

2. Nel caso di Sistemi Vettoriali si definiscono i vettori liberi

R = Σ^N_i=1 J_i , M_o = Σ^N_i=1 (P_i - O) × J_i

R: Risultante ovvero somma vettoriale dei singoli vettori.

M_o: Momento Risultante rispetto al polo O del sistema S come somma dei momenti dei singoli vettori rispetto ad O

Oss: Si osserva che non ha senso parlare di momento della Resultante giacché essa è un vettore libero

Formula di trasposizione dei momenti

M_A = _i=3^NΣ (P_i-A) × J_i; M_B = _i=3^NΣ (P_i-B) × J_i

M_A - M_B = _i=3^NΣ [(P_i-A) - (P_i-B)] × J_i = (B-A) × _i=3^NΣ V_i ⇒ [ M_A - M_B = (B-A) × R ]

O) M_A = M_B V A, B ε E₃ ↔ R = 0

Dim: M_A = M_B ⇒ (B-A) × R = 0 V A, B ε E₃ perché in generale (B-A) ≠ 0 V (B-A) non parallelo a R di Conseguenza R = 0 (B-A) × R = 0 ⇒ M_A - M_B = 0 ⇒ M_A = M_B

Sistemi equivalenti

Due sistemi (o campi) vettoriali si dicono equivalenti se

1. R = R'
2. Esiste un punto T tale che M_T = M_T'

Per due sistemi equivalenti il momento risultante coincide per ogni punto dello spazio

Dim.: Si consideri un generico punto O

Usando le formule di trasposizione dei momenti e la definizione di sistemi equivalenti si ha

M_O = M_T + (T - O) × R [Per il sistema S]

M_O = M_T' + (T - O) × R' [Per il sistema S']

Se i sistemi S e S' sono equivalenti, si ha per definizione R = R' ed M_T = M_T', per cui:

M_T + (T - O) × R = M_T' + (T - O) × R' ⇒ M_O = M_O'

Per due sistemi equivalenti il momento risultante coincide per ogni punto dello spazio.

Teorema di Varignon

Se i vettori di un sistema S concorrono nel punto O, il momento risultante di S rispetto al polo arbitrario 1 è uguale al momento con R vettore risultante di S

Dim: Preso un polo T, bisogna verificare che:

M_T = M_T'

M_T = ∑ (P_i - T) x J_i(*) = ∑ (O - T) x J_i= (O - T) x ∑ J_i == (O - T) x R = M_T'

(*) Dove nella prima uguaglianza abbiamo sfruttato il fatto che un momento non cambia se il vettore si sposta lungo la sua retta d'azione.

Per cui possiamo affermare:

Th: Ogni sistema di vettori concorrenti in un punto O è equivalente al solo risultante applicato in O: S - ⟨(O, R)⟩ Di Varignon dovrebbe valere anche per un sistema di vettori paralleli dove S − ⟨(C₁, R)⟩ con C₁ centro del sistema

Sistema equilibrato

Un sistema (o campo) vettoriale si dice equilibrato (o equivalente a zero) se ha risultante e momento risultante nulli: (R = 0; M = 0)

Sistema coppia (di vettori applicati)

Una coppia è un sistema formato da due vettori nella forma:

S = {(P,J), (Q,−J)}

È evidente che R = P − Q = 0

Poiché la risultante è nulla, il momento risultante della coppia non dipende dal polo; si parla quindi del momento della coppia e lo si indica col simbolo M. Abbiamo che

1. |J| è l'intensità della coppia.
2. b è la distanza tra le rette d'azione, ed è chiamata braccio (della coppia)

per cui è possibile definire M = (P−Q) × J = |J| b·e

3. Il piano π è detto piano della coppia ✎ π ⊥

Proprietà di un sistema coppia

1. Dato un sistema di vettori applicati S il risultante e il momento risultante non cambiano aggiungendo una coppia di braccio nullo.
2. Dati i vettori (P,s₁) e (T,J₁) si ha che:{(P,s₁)} ~ {(T,J₁)} + "coppia di momento M_t = (P-T) x J."

Equivalenza col sistema vettore coppia

Sia S = {(P₁, s₁), ..., (P_N, s_N)} di risultante R e momento risultante M_T rispetto ad T arbitrario. Si consideri S' = {(T,R), "coppie di momento M_T"} Si verifica che:

1. S ~ S'
2. S è "Ridotto al polo T" Il punto T è detto centro o Polo di Riduzione

NB: se R = 0 e M_T ≠ 0 il sistema si riduce ad una coppia di momento M_T.

Funzioni vettoriali

Il vettore q è funzione del parametro t₁, variabile nell’intervallo (t₁, t₂). Se ad ogni valore di t, compreso nel suddetto intervallo corrisponde uno ed un solo vettore a. In simboli si scrive {q = q(t)}.

Introducendo un riferimento cartesiano, si trova:

a(t) = a_x(t)i + a_y(t)j + a_z(t)k

E possiamo affermare quindi che ad una funzione vettoriale corrispondono tre funzioni scalari.È possibile allora estendere alle funzioni vettoriali i concetti di limite, derivate, differenziale... delle funzioni scalari.

Limite

lim _t→t0 q(t) = b quando in corrispondenza di ogni numero ε>0 esiste δ>0 tale che per ogni valore di t, nell’intervallo (t₀ - δ, t₀ + δ), t, più escluso t₀, si ha |a(t) - b| ≤ ε

Riferendosi alle componenti cartesiane dei vettori q(t) e b si ha:

lim _t→t0 a_x(t) = b_x, lim _t→t0 a_y(t) = b_y, lim _t→t0 a_z(t) = b_z

Vale anche:

lim_t→t0 a(t) = lim_t→t0 |a(t)| = |b|

1. Se b = a(t₀) diciamo che il vettore a(t) è continuo in t₀ e comunque che sono continue anche le sue componenti cartesiane

Derivata

Il vettore a(t) è derivabile in un punto t ∈ (t₁, t₂) se esiste ed è finito

lim_Δt→0 a(t+Δt) - a(t) / Δt = da/dt = a'

Se il vettore a(t) è derivabile lo saranno anche le sue componenti cartesiane, che risultano rispettivamente uguali alle derivate delle componenti cartesiane del vettore dato

da/dt = da_x/dt i + da_y/dt j + da_z/dt k

1. Se a(t), b(t) sono vettori derivabili ed r(t) è una funzione derivabile si dimostrano le seguenti relazioni:

d/dt (a·b) = da/dt · b + a · db/dt

d/dt (a × b) = da/dt × b + a × db/dt

d/dt (ra) = r da/dt + a dr/dt

Continuazione derivate

1. Nel caso particolare di un vettore di modulo costante, si deduce che la sua derivata è un vettore perpendicolare al vettore stesso oppure nulla.

I parametri si estendono per le funzioni vettoriali: il concetto di differenziabile, la regola di derivazione di funzioni composte, il concetto di derivata successiva, ecc....?

Integrali

Anche per l'integrale di una funzione vettoriale valgono definizioni, proprietà e procedimenti di calcolo relativi agli integrali delle funzioni scalari. Ricordiamo solo che l'integrale di una funzione vettoriale è a sua volta un vettore che ha per componenti gli integrali delle componenti del vettore integrando.

È importante ricordare che le operazioni di derivazione e di integrazione rispetto ad una variabile dimensionale hanno luogo e grandezze le cui dimensioni differiscono da quelle di partenza.

Funzioni vettoriali di uno o più punti

Esistono anche funzioni vettoriali di uno o più punti. In particolare la funzione a = a(P) equivalente in un sistema cartesiano a una funzione del tipo a = a(X,Y,Z), viene detta Campo Vettoriale. Tale campo è detto Uniforme se la funzione a(P) è un vettore costante.

Funzione punto variabile

Consideriamo un punto P, la cui posizione nello spazio dipenda da un parametro t, variabile nell'intervallo (t₁, t₂), sicché ad ogni valore di t nel suddetto intervallo, corrisponda una sola posizione di P: si dice, allora, che P è funzione di t; al variare di t, P descrive una curva γ e la funzione P = P(t) si chiama funzione punto variabile.

Anche il vettore a = P(t) - O è funzione di t nell'intervallo (t₁, t₂). Se inoltre P(t) è continua e derivabile in (t₁, t₂) tale sarà anche la funzione a(t). Utilizzando la rappresentazione cartesiana si ha,

a = P(t) - O = x(t) i + y(t) j + z(t) k

_da/_dt = _dP(t)/_dt = _dx(t)/_dt i + _dy(t)/_dt j + _dz(t)/_dt k