Meccanica Razionale - Esercizi Svolti

Piano delle fasi - esempio

U(x) = a₂x²e^-bx, x ∈ R, a, b > 0

U(0) = 0 ⇔ x = 0

U(x) = 0 ⇔ x² → 0 ⇔ x = 0

U(x) passa per O(0,0,0)

U'(x) = 0 ⇔ 3ax² - abx² = 0 ⇔ x(3a - abx) = 0

U''(x) = - 3abx³x = 0 ⇔ x = 3/b

U''(x) > 0 ⇔ x ∈ (0, 3/a)

U''(x) = 0 ⇔ x > 0

x = 3_√3 / b, x > 3_√3 / b

3 √b² = 6bx + 48 - abx = 0

p = 1/b E_a

UU(0) ≤ E ≤ U(3^√3) → 1 orbita chiusa

E = U(0) → 1 orbita degenere e punto di eq. instabile

U(x) = ax²e^-bx, x ∈ R, a, b > 0

U(0) = 0 ⇔ x² = 0 ⇔ x = 0

x = 0 ⇔ U(x) = 0

U(x) passa per O(0,0,0)

U(x) > 0 ⇔ x ≠ 0 ⇔ e^bx > 0 ∀ x ∈ R

lim_{x → +∞} U(x) = 0; lim_{x → -∞} U(x) = ∞

U'(x) = 0 ⇔ 3ax²e^-bx + ax⁽³⁾(-b)e^-bx = 0 ⇔ (3ax² - abx³) = 0

3ax² - abx³ = 0 ⇔ x(3a - abx) = 0 ⇔ x = 0 ∧ x = ³⁄_b

U'(x) > 0 ⇔ x < ³⁄_b ∀ x ∈ R

U''(x) = -b e^-bx(3ax² - abx⁽³⁾) + e^-bx(6ax - 9abx²)

U''(x) = 0 ⇔ -b⁽³⁾ax² + abx⁽³⁾ - abx⁽³⁾ + 6ax - 3abx²) = 0 ⇔ b⁽²⁾x² - 6bx + 6x = 0

x = 0 ∧ b⁽²⁾x² - 6bx + 6x = 0 ⇔ x_(1,2) = ^{6 ± √(36 - 24)}⁄_2b = 3 ± √3

U''(x) > 0 ⇔ x > 0 ∧ x = ^√3⁄_b; x = ^{3 + √3}⁄_b; x = ^{3 - √3}⁄_b

p = + ³⁄₂ (E_+U)

E = U(x) = 1 orbita degener ∧ punto di eq. stabile

E U(0) = E U(³⁄_b) = 1 orbita di limite quindi periodica

E = U(0) = 1 orbita degener ∧ punto di eq. instabile

E U(0) = orbite di limite non periodiche

P = \sqrt{\frac{2}{m} (\text{E} + U(x))}

U(x) = ax^3 e^{-bx} → \text{E} - U\left(\frac{3}{b}\right) = a \frac{9}{b^3} e^{-3} + \frac{27 a}{3 b^2} → a \frac{27 a}{b^5 e^3} → E \lt U(0) \hspace{10pt}

\longrightarrow \hspace{10pt} \hat{b} = \pm \sqrt{\frac{2}{m}(\text{E} + U(\hat{x}))} \hspace{10pt} \rarr \hat{\phi}(\hat{x}) = - \sqrt{\frac{2}{m}(\text{E} + ax^3 e^{-bx})}

Studio della f.\limits _r.ne \hat{\phi}(x)

\hat{\phi}(x) < 0 \hspace{10pt} \rarr \hspace{10pt} \left(\frac{\text{E}}{m} + ax^2 e^{-bx}\right) x \rarr 0 \hspace{10pt} \rarr \hspace{10pt} \text{E} + ax^2 e^{-bx} \rarr y \hspace{10pt}

x^3 e^{bx} = \frac{\text{E}}{a}x^3 = \frac{\text{E}}{a} e^{-bx} \hspace{10pt} \Longrightarrow la funzione passa per (\alpha,0)

x = 0 \hspace{10pt} \rarr \hspace{10pt} \hat{\phi}(0) = \pm \sqrt{\frac{2 \text{E}}{m}} \hspace{10pt} la f.\limits _r.ne passa per \hspace{10pt} (0, \frac{\sqrt{2 \text{E}}}{m}) \hspace{10pt} \land \hspace{10pt} (0, -\frac{\sqrt{2}}{m^E})

\lim_{x \to \pm \infty} \hat{\phi}(x) = \pm \sqrt{\frac{\text{E}}{m}}

\hat{\phi}'(x) = \frac{1}{\hat{\phi}} \hat{\phi}(3ax \cdot x^{-2} - bx \hat{\gamma}) \frac{e^{-bx}(3ax^2 - a^bx)}{m \hat{\phi}}

\hat{\phi}(x) = e^{-\frac{1}{x^2}(-6 L_x \hat{x}^3 + a \hat{x}^3 + 6 ax)} \overline{m}f \frac{\hat{x}^{-b2} - a(b x)}{m^\frac{1}{2}(2_{m} += (\text{E} + ax^2 e^{-bx_x)}})

\left|\begin{array}{cc}\begin{align*} & \\& \\& \\& \\& \\& \end{align*}\end{array}\right| \text{valutiamo lo studio di } \hat{\phi}'(x)

Il grafico dell'orbita sarà \left(cerchio lungo anche delle funzioni \text{con il men}o che {\text{ è simmetrico rispetto}} \hspace{10pt} all'asse x \right)

\text{E} =-U(0) \begin{align*}& \begin{array}{ll}\begin{tabular}{cc}O\left|& \\0\end{align*}\end{array}\right.\left|\begin{array}{ll}\begin{align*} & \\& \\a & \\\end{align*}\end{array}\right| \end{align*}\end{tabular}\text{il grafico della funzione}\end{align*}\begin{align*}& \\\text{Il grafico verifichi anche che} \hspace{10pt} \rarr \hspace{10pt} p_2(e^{-x}) = \pm\\& \\\end{align*}\end{align*}\end{align*}

Lo grafico della funzione della forma identicamente nulla \text{se} \text{U}(\text{U}(o) ottenuta \hspace{10pt} altra cui