Meccanica: il moto

MECCANICA

Studio del moto dei corpi.

Si studia come avviene il moto dei corpi e le relazioni con le sue cause.

• cinematica: caratteristiche
• dinamica: cause

PUNTO MATERIALE

Oggetto privo di dimensioni ma dotato di massa (astrazione).

POSIZIONE

Determinata dal vettore posizione (in funzione del tempo) in un dato sistema di riferimento.

r(t) = x(t)i_x + y(t)i_y + z(t)i_z

La successione delle posizioni nel punto P nello spazio determina la sua traiettoria.

QUIETE

Particolare stato di moto, con vettore posizione che non varia nel tempo in un dato sistema di riferimento.

MOTO RETTILINEO

La traiettoria è una retta orientata.

Il sistema di riferimento è una retta orientata.

DIAGRAMMA ORARIO

Grafico della funzione x(t), come varia x in funzione del tempo.

Velocità

Velocità media: V_mm = (x - x₁)/(t - t₁) = Δx/Δt

Velocità istantanea:

v_ist = lim_{∆t → 0} ∆x/∆t = dx/dt

La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo (tangente).

Il segno della velocità indica il verso del moto.

Per una retta, x(t), v(t)

Moto ∆t(t), come calcolare x(t)

∆t(t) = dx/dt

dx = ∆t(t) dt

∫(da x₀ a x) dx = ∫(da t₀ a t) ∆t(t) dt

x - x₀ = ∫(da t₀ a t) ∆t(t) dt

x(t) = x₀ + ∫(da t₀ a t) ∆s(t) dt

Relazione tra velocità media e istantanea:

v_m = ∆x/∆t = ∫(da t₀ a t₁) ∆s(t) dt/∆t

v_m = la velocità media per l'intervallo temporale

(l'area si riduce ad un rettangolo)

Moto rettilineo uniforme

v = cost

x(t) = x₀ + v ∫(da t₀ a t) dt

x(t) = x₀ + v(t - t₀)

Legge oraria è una retta

Lo spazio è funzione lineare del tempo.

In tempi uguali percorsi spazi uguali

Si calcola sempre e descrive sempre

La velocità media coincide con quella istantanea

Equazioni Differenziali

• Moto armonico

• Fermo

• Moto rettilineo uniforme

• Moto uniformemente accelerato

• Moto smorzato

Esercizio:

Ex 1.1:

• t₂ = 4,8 s

• v_B = 360 m/s

t₀ = 0 v_t0 = 0 x₀ = 0

a = g = 9,8 m/s²

t_B x₁, B₁ = ?

x(t) = x₀ + v₀t + ¹⁄₂ gt²

x(t₂) = ¹⁄₂ gt₂² + B₁ = ^2B_h⁄_g

Sosso

• x(t₂) = 0

• v = 360 m/s

(x(t₂) = 0

-> B_h - v_S (t₂ - t₁) = 0 )

B_h - v_S (t₂ - ^2B_h⁄_g ) = 0

B_h + v_S ^2B_h⁄_g - v_S t₂ = 0

B_h = ¹⁄₂ ( ²⁄_g + ^{v2_s 2}⁄_g ) = 8,38 km

B₁ = 98,6 m

B_h - v_S (t₂ - t₁) = 0

t₂ - t₁ = ^B_h⁄_vS = 0,2 s tempo del suono

Se trascuro le suono:

B_h - ¹⁄₂ g t² = 0.5 · 9.8 · 4.8² = 112,8 cm

moto circolare uniformemente accelerato

Q_T = costante

a_T = Rα ⇒ α = costante

ω(t) = ω₀ + α ∫dt

ω(t) = ω₀ + αt

Θ(t) = Θ₀ + ∫ω(t) dt = Θ₀ + ω₀t + ¹/₂ αt²

Q_N = costante

a_N = Rω² (aumento quadraticamente nel tempo)

ω × r = v (modulo ω R_c = v)

dv/_dt = d(ω × R_c)/_dt

= dω/_dt × R_c + ω × dR_c/_dt = α × r + ω × v

= αRũ + ωvÂ_N